西安电子科技大学：《高等数学》课程PPT教学课件（讲稿）第二章 导数与微分 2.5 函数的微分

西安毛子科技大学函数的微分XIDIAN UNIVERSITY定理 函数= f(x)在点x可微的充分必要条件是 y= f(x)在点可导，且A=f(x），即dy = f'(xo)Ax证（充分性）已知y=f(x)在点x可导，则=f(x)= f(x)+α (limα=0)lim Ar-0 △xf'(x)= A,故 △y= f'(x)△x+α△x = A △x + o(△x)α△x = o(△x)即y=f(x)在点xo可微，且dy=f(x)Ax

函数的微分 证 （充分性）已知 y f x = ( ) 在点 x0 可导，则 0 0 lim ( ) x y f x  → x  =   0 0 ( ) (lim 0) x y f x x    →   = + =   即 y f x = ( ) 在点 x0 可微，且 d ( ) y f x x =   0 . 故 0 ( ) , ( ). f x A  x o x  =  =  0 ( )  =  +  y f x x x   =  +  ( ) A x o x 0 d ( ) . y f x x =   定理 函数 y f x = ( ) 在点 x0 可微的充分必要条件是 y f x = ( ) 在 0 点 x 可导，且 A f x = ( )0 ，即

西安毛子科技大学函数的微分XIDIANUNIVERSITY注（1）定理表明，若f(x)存在，则Ay= f(x)Ax +o(Ax) 且 dy = f'(x)Ax(2）当f(x）±0时，有AyAy = limy=1lim1mAx=0 dy - Ar-0 f(x0)Axf(xo) Ar-=0 △x从而，当△x一→0时，△y与dy是等价无穷小，换言之，即Ay= dy + o(dy)故当Ax很小时，有近似等式△y～dy

函数的微分 0  =  +  y f x x o x ( ) ( ) 且 0 d ( ) . y f x x =   0 0 0 0 0 1 lim lim lim 1. d ( ) ( ) x x x y y y  →  →  → y f x x f x x    = = =     0 （2）当 f x ( ) 0  时，有 从而，当  →x 0 时， y 与 dy 是等价无穷小，换言之，即  = + y y o y d (d ) 故当 x 很小时，有近似等式   y yd .. 注 （1）定理表明，若 f x ( )0 存在，则