《高等数学》课程教学资源：第十章（10.3）格林公式及其应用

§10.3格林公式及其应用 、格林公式 平面上曲线积分与路径无关的条件 、二元函数的全微分求积 自

一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的条件 三、二元函数的全微分求积 §10.3 格林公式及其应用 首页 上页 返回 下页 结束 铃

格林公式 单连通与复连通区域 设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围的部分都属于 D,则称D为平面单连通区域,否则称为复连通区域 今区域的边界曲线的方向 当观察者沿区域D的边界曲线L行走时,如果左手在区域 D内,则行走方向是L的正向 D D 单连通区域 复连通区域 返回 页结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、格林公式 ❖单连通与复连通区域 ❖区域的边界曲线的方向 当观察者沿区域D的边界曲线L行走时如果左手在区域 D内 则行走方向是L的正向 单连通区域 复连通区域 下页 设D为平面区域 如果D内任一闭曲线所围的部分都属于 D 则称D为平面单连通区域否则称为复连通区域

今定理1 设闭区域D由分段光滑的曲线L围成,函数P(x,y)及Q(x,y) 在D上具有一阶连续偏导数,则有 oo aP d=5Pd+Cb,一格林公式 D 其中L是D的取正向的边界曲线>> 应注意的问题 对复连通区域D,格林公式右端应包括 沿区域D的全部边界的曲线积分,且边界的 D 方向对区域D来说都是正向 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃   = +   −   L D dxdy Pdx Qdy y P x Q ( )  ❖定理1 设闭区域D由分段光滑的曲线L围成函数P(x y)及Q(x y) 在D上具有一阶连续偏导数 则有 其中L是D的取正向的边界曲线 >>> ——格林公式 定理证明 应注意的问题: 对复连通区域D 格林公式右端应包括 沿区域D的全部边界的曲线积分 且边界的 方向对区域D来说都是正向 下页

格林公式 ∫ oo aPydxdy=, Pdx+ody OX 今用格林公式计算区域的面积 设区域D的边界曲线为L,则 dy-ydx 提示:在格林公式中,令P=y,Q=x,则有 L ydx+xdy=2 dxdy, do a= dxdy=d, xdy-ydx D 返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 提示: 格林公式: ❖用格林公式计算区域的面积 下页   = +   −   L D dxdy Pdx Qdy y P x Q ( )  设区域D的边界曲线为L 则   − + = D L ydx xdy 2 dxdy  或   = = − L D A dxdy xdy ydx 2 1  在格林公式中 令P=−y Q=x 则有  = − L A xdy ydx 2 1    − + = D L ydx xdy 2 dxdy  或   = = − L D A dxdy xdy ydx 2 1 

格林公式 ∫ oo aPydxdy=, Pdx+ody OX 今用格林公式计算区域的面积 设区域D的边界曲线为L,则 A xdy-vdx 例1求椭圆x=acos, y=bsin所围成图形的面积A 解设L是由椭圆曲线,则 丌 A=f xdy-ydx=h(absin20+abcos 2d0 Labl de=ab 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 格林公式: ❖用格林公式计算区域的面积 例1 求椭圆x=acosq y=bsinq 所围成图形的面积A   = +   −   L D dxdy Pdx Qdy y P x Q ( )  设区域D的边界曲线为L 则  = − L A xdy ydx 2 1  解 设L是由椭圆曲线 则  = − L A xdy ydx 2 1  = +  q q q 2 0 2 2 ( sin cos ) 2 1 ab ab d q   = ab d =ab  2 2 0 1   = − L A xdy ydx 2 1  = +  q q q 2 0 2 2 ( sin cos ) 2 1 ab ab d q   = ab d =ab  2 2 0 1  下页