§11.7傅里叶级数 、三角级数三角函数系的正交性 函数展开成傅里叶级数 正弦级数和余弦级数 自
一、三角级数 三角函数系的正交性 二、函数展开成傅里叶级数 首页 上页 返回 下页 结束 铃 §11.7 傅里叶级数 三、正弦级数和余弦级数
、三角级数三角函数系的正交性 今三角级数 形如 a+∑( a. cosnx+ b sinn) n=1 的级数称为三角级数,其中aan,b、m=1,2,…)都是常数 今三角函数系 cOsx,Sinx,cos2x,Sin2x,……, cos nx, sin nx,… 今三角函数系的正交性 三角函数系中任何两个不同的函数的乘积在[z,z上的 积分等于零,而任何两个相同的函数的乘积在[-兀z上的积分 不等于零.> 返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、三角级数 三角函数系的正交性 ❖三角级数 形如 ( cos sin ) 2 1 1 a0 a nx b nx n n n + + = 的级数称为三角级数其中a0 an bn (n=1 2 )都是常数. 1 cos x sin x cos 2x sin 2x cos nx sin nx . ❖三角函数系 下页 ❖三角函数系的正交性 三角函数系中任何两个不同的函数的乘积在 [− ]上的 积分等于零 而任何两个相同的函数的乘积在[− ]上的积分 不等于零. >>>
二、函数展开成傅里叶级数 傅里叶系数 设(x)是周期为2z的周期函数,且能展开成三角级数 f(x)=o+2(ak coskx+bk sin kx) 且假定三角级数可逐项积分,则 f(x)dx 丌x 丌 f(x) cosnxdx(n=1,2,…) 提示:f( sinni= sinr+( ak coskxsinnx+ b, sin kxsinr) k=1 0+ 0 返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 提示: a0 − = + 0 + 0 = = + + 1 0 ( cos sin ) 2 ( ) k k k a k x b k x a 提示 f x : cos [ cos cos sin cos ] 2 ( )cos 1 0 nx a k x nx b k x nx a f x nx k k k = + + = an − = 0 + + 0 提示: = = + + 1 0 sin ( cos sin sin sin ) 2 ( )sin k k k nx a k x nx b k x nx a f x nx 二、函数展开成傅里叶级数 ❖傅里叶系数 设f(x)是周期为2的周期函数 且能展开成三角级数: = = + + 1 0 ( cos sin ) 2 ( ) k k k a k x b k x a f x 且假定三角级数可逐项积分则 − = a f (x)dx 1 0 − = a f x nxdx n ( )cos 1 (n =1 2 ) bn − = 0 + 0 + 下页
二、函数展开成傅里叶级数 傅里叶系数 设(x)是周期为2z的周期函数,且能展开成三角级数 f(x)=o+2(ak coskx+bk sin kx) 且假定三角级数可逐项积分,则 f(x)dx 丌x 丌 acosn x(n=1,2,……) f(x) sin ndx(n=1,2,…) 丌J-z 系数a02a12b1,…叫做函数fx)的傅里叶系数 返回 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 二、函数展开成傅里叶级数 设f(x)是周期为2的周期函数 且能展开成三角级数: = = + + 1 0 ( cos sin ) 2 ( ) k k k a k x b k x a f x 且假定三角级数可逐项积分则 − = a f (x)dx 1 0 − = a f x nxdx n ( )cos 1 (n =1 2 ) − = b f x nxdx n ( )sin 1 (n =1 2 ). 系数a0 a1 b1 叫做函数f(x)的傅里叶系数. 下页 ❖傅里叶系数
今傅里叶级数 三角级数 +∑( an cosnx+ b sinx) 称为傅里叶级数,其中a02a1,b1,是傅里叶系数 个定义在(-∞,+∞)上周期为2m的函数fx),如果它在 个周期上可积,则一定可以作出fx)的傅里叶级数 然而,函数fx)的傅里叶级数是否一定收敛?如果它收敛, 它是否一定收敛于函数f(x)?一般来说,这两个问题的答案都 不是肯定的 返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖傅里叶级数 三角级数 = + + 1 0 ( cos sin ) 2 n n n a nx b nx a 称为傅里叶级数 其中a0 a1 b1 · · ·是傅里叶系数. 然而 函数f(x)的傅里叶级数是否一定收敛? 如果它收敛 它是否一定收敛于函数f(x)? 一般来说 这两个问题的答案都 不是肯定的. 一个定义在(− +)上周期为2的函数f(x) 如果它在一 个周期上可积 则一定可以作出f(x)的傅里叶级数. 下页