《高等数学》课程教学资源：第九章 重积分（9.3）三重积分

§93三重积分 、三重积分的概念 二、三重积分的计算 自

一、三重积分的概念 二、三重积分的计算 §9.3 三重积分 首页 上页 返回 下页 结束 铃

一、三重积分的概念 今三重积分的定义 设(x,y,z)是空间有界闭区域2上的有界函数 将Ω任意分成n个小闭区域 △V1,△v2,…·,△ 其中△v表示第个小闭区域,也表示它的体积 在每个小闭区域△n上任取一点(5,n,5),作作和 ∑f(,m21)△v 如果当各小闭区域的直径中的最大值λ趋于零时,这和的 极限总存在,则称此极限为函数(x,y,z)在闭区域Ω上的三重 积分,记作 (x, y, zdv 有页 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 设f(x y z)是空间有界闭区域上的有界函数 将任意分成n个小闭区域 v1  v2      vn 其中vi表示第i个小闭区域 也表示它的体积 在每个小闭区域vi上任取一点(i  i  i ) 作作和 一、三重积分的概念 下页 ❖三重积分的定义 i i i i n i f v =  ( , , ) 1     如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时 这和的 极限总存在 则称此极限为函数f(x y z)在闭区域上的三重 积分 记作 f x y z dv   ( , , ) 

一、三重积分的概念 今三重积分的定义 y)=1m/5,)△ 三重积分中的各部分的名称: 积分号, f(x,y,2)被积函数, f(x,y,2z)dv被积表达式, dv 体积元素, . v 2 积分变量, 积分区域 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、三重积分的概念 ❖三重积分的定义 i i i i n i f x y z dv = f v  → =  ( , , ) lim  ( , , ) 1 0      •三重积分中的各部分的名称  ————积分号 f(x y z)——被积函数 f(x y z)dv—被积表达式 dv ————体积元素 x y z———积分变量  ————积分区域

一、三重积分的概念 今三重积分的定义 y)=1m/5,)△ 今直角坐标系中的三重积分 在直角坐标系中,如果用平行于坐标面的平面来划分92 则△v=Ax2AyA,因此也把体积元素记为dhv= dxdydz,三重积分 记作 ∫(xy2=订0(xy=)dh 今三重积分的性质 三重积分的性质与二重积分的性质类似 自 返回 下页 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖直角坐标系中的三重积分 一、三重积分的概念 ❖三重积分的定义 i i i i n i f x y z dv = f v  → =  ( , , ) lim  ( , , ) 1 0      在直角坐标系中 如果用平行于坐标面的平面来划分 则vi=xiyizi  因此也把体积元素记为dv=dxdydz 三重积分 记作     f (x, y,z)dv= f (x, y,z)dxdydz 三重积分的性质与二重积分的性质类似 ❖三重积分的性质 首页

二、三重积分的计算 1.利用直角坐标计算三重积分 设积分区域为 C2={(x,y,2)=1(x,y)<≤2x,y),y1(x)≤yy2(x),a≤x≤b},>>> ∫ y2(x) f(x,y, 2)dv=dx"f(x, y, a)d2. >>> y1(x) (x,y) AZ z=22(x, Q2 zFzIlx, 返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 二、三重积分的计算 下页 1 利用直角坐标计算三重积分 ={(x y z)| z1 (x y)zz2 (x y) y1 (x)yy2 (x) axb} 则     =  b a z x y z x y y x y x f x y z dv dx dy f x y z dz ( , ) ( , ) ( ) ( ) 2 1 2 1 ( , , ) ( , , )  >>> 设积分区域为 >>>