《高等数学》课程教学资源：第九章 重积分（9.2）二重积分的计算法

§92二重积分的计算法 、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 自

一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 §9.2 二重积分的计算法 首页 上页 返回 下页 结束 铃

、利用直角坐标计算二重积分 今型区域与Y型区域 如果区域D可以表示为不等式 非X型,非Y型 (x)≤y(2(x),a≤x≤b, 则称区域D为X型区域 如果区域D可以表示为不等式 D v1(y)≤x≤v2(y),C≤yd, 则称区域D为Y型区域 12x 有的区域既是X型区域又是Y型区 域,而有的区域既不是X型区域又不是 Y型区域,但它总可以表示为若干个X 型区域和Y型区域的并 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、利用直角坐标计算二重积分 如果区域D可以表示为不等式 j1 (x)yj2 (x), axb, 则称区域D为X型区域. ❖X型区域与Y型区域 如果区域D可以表示为不等式 y1 (y)xy2 (y), cyd, 则称区域D为Y型区域. 有的区域既是X型区域又是Y型区 域, 而有的区域既不是X型区域又不是 Y型区域, 但它总可以表示为若干个X 型区域和Y型区域的并. 下页

今二重积分的计算 设八x,y)20,D={(x,y)(x)≤≤02(x),a≤x≤b} 对于x∈[a,b],曲顶柱体在x=x的截面面积为 A(x0) f(o, y)dy f(x,y) Jo,(xo) 曲顶柱体体积为 =[4(x)d女 a f(x, y)dyx q。0 o1(x) x 提示 根据平行截面面积为已知的立体体积的求法 返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 提示 z=f(x, y)为顶, 以区域D为底的曲顶柱体的体积. 此时二重积分 f x y d D  ( , ) 在几何上表示以曲面 z=f(x, y) 提示 截面是以区间[j1 (x0 ), j2 (x0 )]为底、以曲线z=f(x0 , y)为曲 边的曲边梯形. 提示 根据平行截面面积为已知的立体体积的求法.  = ( ) ( ) 0 0 2 0 1 0 ( ) ( , ) x x A x f x y dy j j . 设f(x, y)0, D={(x, y)|j1 (x)yj2 (x), axb}. ❖二重积分的计算 对于x0[a, b], 曲顶柱体在x=x0的截面面积为 曲顶柱体体积为 下页  = b a V A(x)dx f x y dy dx b a x x   = [ ( , ) ] ( ) ( ) 2 1 j j .  = b a V A(x)dx f x y dy dx b a x x   = [ ( , ) ] ( ) ( ) 2 1 j j

今二重积分的计算 设八x,y)20,D={(x,y)(x)≤≤02(x),a≤x≤b} 对于x∈[a,b],曲顶柱体在x=x的截面面积为 2(x0 A(x0) f(o, y)dy f(x,y) Jo,(xo) 曲顶柱体体积为 =[4(x)d女 O b ro2(x) f(x, y)dylan 1( b ro2(x) V=lIf(x,do= f(x,y)小ya a1(x) 注:计算一般二重积分只需取消x,y)20的限制 首贡返回下页结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 即 V f x y d f x y dy dx b a x x D    = ( , ) = [ ( , ) ] ( ) ( ) 2 1 j j  . 注 计算一般二重积分只需取消f(x, y)0的限制. 下页  = ( ) ( ) 0 0 2 0 1 0 ( ) ( , ) x x A x f x y dy j j . 设f(x, y)0, D={(x, y)|j1 (x)yj2 (x), axb}. ❖二重积分的计算 对于x0[a, b], 曲顶柱体在x=x0的截面面积为 曲顶柱体体积为  = b a V A(x)dx f x y dy dx b a x x   = [ ( , ) ] ( ) ( ) 2 1 j j .  = b a V A(x)dx f x y dy dx b a x x   = [ ( , ) ] ( ) ( ) 2 1 j j

今二重积分的计算 如果D是X型区域:D={(x,y)1(x)≤y≤02(x),a≤x≤b},则 f(x, yao f(x, y)dylan 上式也可以记为 先对y后对x 的二次积分 .b, rp2(x) f(r, do= dx f(x, y)dy 1(x) D 如果D是Y型区域:D={(x,y)v(y)≤x≤v2(y),C≤y≤d},则 d rv2(y) f(x, yao f(x,y, Ddx jdy c Jv,() 先对x后对y D dym f(x, y)dx 的二次积分 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 f x y d f x y dy dx b a x x D    ( , ) = [ ( , ) ] ( ) ( ) 2 1 j j  .    = b a x x D f x y d dx f x y dy ( ) ( ) 2 1 ( , ) ( , ) j j  . 如果D是X型区域 D={(x, y)|j1 (x)yj2 (x), axb}, 则 上式也可以记为 如果D是Y型区域 D={(x, y)|y1 (y)xy2 (y), cyd}, 则 下页 ❖二重积分的计算      先对x后对y 的二次积分    = d c y y D f x y d f x y dx dy ( ) ( ) 2 1 ( , ) [ ( , ) ] y y    = d c y y dy f x y dx ( ) ( ) 2 1 ( , ) y y .      先对y后对x 的二次积分