§94重积分的应用 、曲面的面积 二、质 、转动惯量 四、引力 自
一、曲面的面积 二、质心 三、转动惯量 四、引力 §9.4 重积分的应用 首页 上页 返回 下页 结束 铃
、曲面的面积 今曲面的面积元素 设曲面S的方程为z=(x,y),f(x,y)在 2 X. 区域D上具有连续偏导数 设d为曲面上点M处的面积元素, Ida d4在xOy平面上的投影为小闭区域da, 点M在xOy平面上的投影为点P(x,y) 因为点M处的法向量为n=(-f,-f,1), dok 所以 提示:因为M处的切平面与xOy面的夹角为(n,k),所以 dA. cos(n, k=do 又因为nk=kcos(n,k)=1,cos(n,k)=四1,所以dA=mda 所素法 返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 提示 一、曲面的面积 元素法 下页 因为点M处的法向量为n=(−f x −f y 1) 设dA为曲面上点M处的面积元素 dA在xOy平面上的投影为小闭区域d 点M在xOy平面上的投影为点P(x y) 因为M处的切平面与xOy面的夹角为(n^k)所以 dAcos(n^k)=d cos(n^k)=|n| 所以dA=|n|d −1 又因为nk=|n|cos(n^k)=1 ❖曲面的面积元素 设曲面S的方程为z=f(x y) f(x y)在 区域D上具有连续偏导数 所以
、曲面的面积 今曲面的面积元素 设曲面S的方程为z=(x,y),f(x,y)在 2 X. 区域D上具有连续偏导数 设d为曲面上点M处的面积元素, Ida d4在xOy平面上的投影为小闭区域da, 点M在xOy平面上的投影为点P(x,y) 因为点M处的法向量为n=(-f,-f1),doe 所以 Hndo=/1+f2(x,y)+f2(x,y)do 返回 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 dA | |d 1 f x (x, y) f y (x, y)d 2 2 = n = + + 一、曲面的面积 ❖曲面的面积元素 设曲面S的方程为z=f(x y) f(x y)在 区域D上具有连续偏导数 设dA为曲面上点M处的面积元素 dA在xOy平面上的投影为小闭区域d 点M在xOy平面上的投影为点P(x y) 因为点M处的法向量为n=(−f x −f y 1) 所以 下页 dA | |d 1 f x (x, y) f y (x, y)d 2 2 = n = + +
、曲面的面积 今曲面的面积元素 设曲面S的方程为z=(x,y),f(x,y)在区域D上具有连续偏 导数.则曲面的面积元素为 dA=1+ f2(x, y)+ f2(x,y)do 今曲面的面积 设曲面S的方程为z=x,y),∫x,y)在区域D上具有连续偏 导数,则曲面S的面积为 A=+/?(x, 3)+/(x,yd 或A Oz D 返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、曲面的面积 dA 1 f x (x, y) f y (x, y)d 2 2 = + + ❖曲面的面积 设曲面S的方程为z=f(x y) f(x y)在区域D上具有连续偏 导数 则曲面S的面积为 A f x x y f y x y d D 1 ( , ) ( , ) 2 2 = + + 或 dxdy y z x z A D 2 2 1 ( ) ( ) + = + ❖曲面的面积元素 设曲面S的方程为z=f(x y) f(x y)在区域D上具有连续偏 导数 则曲面的面积元素为
曲面的面积公式:A=1+()2+(9)ah 讨论: (1)曲面x=g(y,z)的面积如何求? (2)曲面y=h(,x)的面积如何求? 提 1)A fh⊥ax12⊥/Ox12 )dya 其中D是曲面在yOz面上的投影区域 (2)A=1+(2+()2aahx D 其中D是曲面在zOx面上的投影区域 首负”上”返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 曲面的面积公式 讨论 (1)曲面x=g(yz)的面积如何求？ (2)曲面y=h(z x)的面积如何求？ 提示 下页 或 dxdy y z x z A D 2 2 1 ( ) ( ) + = + (1) dydz z x y x A Dy z + = + 2 2 1 ( ) ( ) 其中Dyz是曲面在yOz面上的投影区域 (2) dzdx x y z y A Dzx + = + 2 2 1 ( ) ( ) 其中Dzx是曲面在zOx面上的投影区域