《高等数学》课程教学资源：第十章（10.5）对坐标的曲面积分

§10.5对坐标的曲面积分 、对坐标的曲面积分的概念与性质 二、对坐标的曲面积分的计算法 三、两类曲面积分之间的联系 自

一、对坐标的曲面积分的概念与性质 二、对坐标的曲面积分的计算法 三、两类曲面积分之间的联系 §10.5 对坐标的曲面积分 首页 上页 返回 下页 结束 铃

、对坐标的曲面积分的概念与性质 今有向曲面 通常我们遇到的曲面都是双侧的 例如,由方程=(x,y)表示的曲面分为上侧与下侧 设n=(cosa,cos月,cosy)为曲面上的法向量 当cosy>O时,n所指的一侧是上侧; 当cosy<O时,n所指的一侧是下侧 E:=2(x ∑一张包围某一空间区城的闭曲面,有外侧与 由方程z=x耘的曲面,有上侧 内懊之分,如果取它的法甸量的指向甸潮外, 与下侧之分,如果取它的法向量方的指 我们就认为取定曲面的外侧。 向朝上,我们就认为取定曲面的上側, 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 当cos0时 n所指的一侧是上侧 当cos0时 n所指的一侧是下侧 一、对坐标的曲面积分的概念与性质 下页 ❖有向曲面 通常我们遇到的曲面都是双侧的 例如 由方程z=z(x y)表示的曲面分为上侧与下侧 设n=(cos cos cos)为曲面上的法向量

、对坐标的曲面积分的概念与性质 今有向曲面 通常我们遇到的曲面都是双侧的 例如,由方程=(x,y)表示的曲面分为上侧与下侧 设n=(cosa,cos月,cosy)为曲面上的法向量 当cosy>O时,n所指的一侧是上侧;当cosy0时,n所指的 侧是下侧 类似地,如果曲面的方程为y=y(x,x),则曲面分为左侧与 右侧,在曲面的右侧cosB0,在曲面的左侧cosB<0 如果曲面的方程为x=x(0y,),则曲面分为前侧与后侧,在 曲面的前侧cosc∞0,在曲面的后侧cosa<0 闭曲面有内侧与外侧之分 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 当cos0时 n所指的一侧是上侧 当cos0时 n所指的 一侧是下侧 一、对坐标的曲面积分的概念与性质 下页 ❖有向曲面 通常我们遇到的曲面都是双侧的 例如 由方程z=z(x y)表示的曲面分为上侧与下侧 设n=(cos cos cos)为曲面上的法向量 类似地 如果曲面的方程为y=y(z x) 则曲面分为左侧与 右侧 在曲面的右侧cos0在曲面的左侧cos0 如果曲面的方程为x=x(yz) 则曲面分为前侧与后侧 在 曲面的前侧cos0 在曲面的后侧cos0 闭曲面有内侧与外侧之分

今曲面在坐标面上的投影 在有向曲面Σ上取一小块曲面AS,用(△O)表示△S在xO 面上的投影区域的面积.假定△S上各点处的法向量与z轴的夹 角的余弦cos相同的符号(即cos都是正的或都是负的) 我们规定AS在xOy面上的投影(△S)n为 (△a) coSy>O 类似地可以定义△S在 (△S)y= (△)yC0y<0,yOz面及在zOx面上的投影 0 cOsy≡0(△S)2及(AS)x △S 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖曲面在坐标面上的投影 下页 在有向曲面上取一小块曲面S 用() xy表示S在xOy 面上的投影区域的面积 假定S上各点处的法向量与z轴的夹 角的余弦cos有相同的符号(即cos都是正的或都是负的) 我们规定S在xOy面上的投影(S) xy为 类似地可以定义S在 yOz面及在zOx面上的投影 (S) yz及(S) zx       −      = 0 cos 0 ( ) cos 0 ( ) cos 0 ( )      xy xy xy S 

◆流向曲面一侧的流量 设稳定流动的不可压缩流体的速度场由 v(x,y, 2)=(P(x, y, 2),2(,y, 2, R(x,y, z)) 给出,∑是速度场中的一片有向曲面,函数v(x,y,2)在Σ上连续, 求在单位时间内流向Σ指定侧的流体的质量,即流量Φ 把曲面∑分成n小块:AS,△S2…,△S(△AS也代表曲面面积 在AS上任取一点(,n,) 通过Σ流向指定侧的流量Φ近似为: (5,,2) △S ∑"n2AS;> 提示通过AS流向指定侧的流量近似为 n 4 S::>>> 相关知识删首页 返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 提示通过Si流向指定侧的流量近似为 vi niSi  i i i n i  S = v n 1  ❖流向曲面一侧的流量 相关知识 下页 设稳定流动的不可压缩流体的速度场由 v(x y z)=(P(x y z)  Q(x y z)  R(x y z)) 给出 是速度场中的一片有向曲面函数v(x y z)在上连续 求在单位时间内流向指定侧的流体的质量 即流量 •把曲面分成n小块 S1  S2     Sn (Si也代表曲面面积) •在Si上任取一点(i  i  i ) •通过流向指定侧的流量近似为 >>> >>>