§11.5函数的幂级数展开式的应用 、近似计算 二、欧拉公式 自
一、近似计算 二、欧拉公式 §11.5 函数的幂级数展开式的应用 首页 上页 返回 下页 结束 铃
、近似计算 例1计算√240的近似值,要求误差不超过0.0001 解3240=3243-3=31-1)y5 111.4 3(1 1-491 53452.2!3853.3!312 如果取前二项作为所求值的近似值,则误差为 2=3( 1-411.4.911.4.9.14 5223853.331254.4316 <3 1.4 +- (Q12+… 52·2388181 20000 于是5240≈3 2.9926. 返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 2.9926. 一、近似计算 例 1 计算5 例1 240 的近似值 要求误差不超过 0.0001. 1/5 4 5 5 ) 3 1 240 = 243−3=3(1− ) 3 1 5 3! 1 4 9 3 1 5 2! 1 4 3 1 5 1 3(1 4 2 8 3 1 2 − − = − − . 解 于是 ) 2.9926 3 1 5 1 240 3(1 4 5 − ) 3 1 5 4! 1 4 9 14 3 1 5 3! 1 4 9 3 1 5 2! 1 4 | | 3( 2 8 3 12 4 16 2 + + + r = 20000 1 ) ] 81 1 ( 81 1 [1 3 1 5 2! 1 4 3 2 2 8 + + + . 1/5 4 5 5 ) 3 1 240 = 243−3=3(1− 20000 1 ) ] 81 1 ( 81 1 [1 3 1 5 2! 1 4 3 2 2 8 + + + . 如果取前二项作为所求值的近似值, 则误差为 下页
例2计算n2的近似值,要求误差不超过00001 解已知 n(1+x)=x-+ +…+(-1) +1 234 +…(-1<x≤1) 7+1 ln(1-x)=-x (1≤x<1), 234 两式相减得 小1+x=(1+x)-n(1-x)=2x+2x3+x5+…)(-1<x<1) 提示:这个幂级数收敛速度较慢,用于求n2较困难 因此需要寻找收敛速度较快的幂级数 返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 解 例2 计算ln2的近似值 要求误差不超过0.0001. ( 1 1) 1 ( 1) 2 3 4 ln(1 ) 2 3 4 1 + − + + = − + − + + − + x n x x x x x x n n (1 1) 2 3 4 ln(1 ) 2 3 4 − =− − − − − x x x x x x ln(1 ) ln(1 ) 1 1 ln x x x x = + − − − + )( 1 1) 5 1 3 1 2( = x+ x 3 + x 5 + − x . 已知 两式相减得 提示: 这个幂级数收敛速度较慢 用于求ln2较困难. 因此需要寻找收敛速度较快的幂级数. 下页
例2计算ln2的近似值,要求误差不超过0.0001 解已知 1+x n 1-x ln(1+x)-ln(1-x)=2(x+x3+x5+…)(1<x<1) 以x=3代入得h2=23+33+535+73+…) 如果取前四项作为n2的近似值,则误差为 :=2(1.1 9391131113313 +(a)2+…]< 3 700000 于是12=2(3+3+535+73)=06931 返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 ln(1 ) ln(1 ) 1 1 ln x x x x = + − − − + )( 1 1) 5 1 3 1 2( = x+ x 3 + x 5 + − x . 以 3 1 x= 代入得 ) 3 1 7 1 3 1 5 1 3 1 3 1 3 1 ln 2 2( 3 5 7 = + + + + . 如果取前四项作为ln2的近似值, 则误差为 700000 1 ) ] 9 1 ( 9 1 [1 3 2 2 11 + + + . ) 3 1 13 1 3 1 11 1 3 1 9 1 | | 2( 9 11 13 4 r = + + + 于是 ) 0.6931 3 1 7 1 3 1 5 1 3 1 3 1 3 1 ln 2 2( 3 5 7 + + + . 700000 1 ) ] 9 1 ( 9 1 [1 3 2 2 11 + + + . 于是 ) 0.6931 3 1 7 1 3 1 5 1 3 1 3 1 3 1 ln 2 2( 3 5 7 + + + . 下页 解 例2 计算ln2的近似值 要求误差不超过0.0001. 已知
例3利用 sinner=x3求smn9的近似值,并估计误差 解 兀×9 (弧度) 180 20 在sinx的幂级数展开式中令x 00 得 丌 sin )3+(x0)5 )7+ 2020320 207120 取前两项得 丌丌 sIn )3≈0.15643. 2020320 其误差为 2ka(2n)5<1o1(0.2)5< 300000 返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 例 3 利用 3 3! 1 例3 sin xx− x 求 sin 9 的近似值 并估计误差. 解 9 180 9 = 20 = (弧度). 在 sin x 的幂级数展开式中令 20 x = , 得 ) 20 ( 7! 1 ) 20 ( 5! 1 ) 20 ( 3! 1 20 20 sin 3 5 7 = − + − + . 其误差为 300000 1 (0.2) 120 1 ) 20 ( 5! 1 | | 5 5 2 r . 3 ) 20 ( 3! 1 20 20 sin − 0.15643. 取前两项得 3 ) 20 ( 3! 1 20 20 sin − 0.15643. 300000 1 (0.2) 120 1 ) 20 ( 5! 1 | | 5 5 2 r . 300000 1 (0.2) 120 1 ) 20 ( 5! 1 | | 5 5 2 r . 下页