《高等数学》课程PPT教学课件（章节知识点）4.2 线性方程组解的结构

得到齐次线性方程组(49)的n个解 kr+ k r+2 k2 ,r+1 k 2,r+2 k2 k r,r+2 0 0 0 现在证明v,V2,…,Vn就是齐次线性方程组(49) 的一个基础解系

v , v , , v . , , , , , ,                           − − − =                           − − − =                           − − − = − + + + + + + 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1        r n n n n r r r r r r r r r k k k k k k k k k 得到齐次线性方程组（4.9）的 n-r 个解. 现在证明 v1 , v2 , ···, vn-r 就是齐次线性方程组（4.9） 的一个基础解系

先证v,v2,…,vn,是线性无关的 ● 设c1v1+c22+ 0 n-r.n-7 即 1.r+1 1,r+2 k r ,r+2 k. r.r+ r.r+ 2 ∴+C 0. n-I 0 于是可得c1=c2=…=CnF=0所以v,2,…,"n,线性无关

. 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 1 , 2 2, 2 1, 2 2 , 1 2, 1 1, 1 1 = 0                           − − − + +                           − − − +                           − − − − + + + + + +        r n n n n r r r r r r r r r k k k c k k k c k k k c 先证v1 , v2 , ···, vn-r是线性无关的. 设 c1v1 + c2v2 + ··· + cn-rvn-r = 0. 即 于是可得 c1= c2 = ··· = cn-r= 0.所以 v1 ,v2 , ···,vn-r 线性无关

再证齐次线性方程组(49)的任意一个解 都是v1,n2,…,vn线性组合 因为 kr+dr+1 -Kr+2d,+2..kind ,+1r+12,+2r+2 一K2n r,r+1r+1 r,r+20r+2

       = − − − − = − − − − = − − − −               = + + + + + + + + + + + + . , , v , , , , , , r r r r r r r r n n r r r r n n r r r r n n n d k d k d k d d k d k d k d d k d k d k d d d d      1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 再证齐次线性方程组（4.9）的任意一个解 都是 v1 , v2 , ···, vn-r 线性组合. 因为

+14r+1 k 1,r+2 +2 kind 2,r+1 ,r+2 r,r+1 r,+2cr+2 d r+1 0 0 d r 0 0

                          −  −  −  −  −  −  −  −  −  = + + + + + + + + + + + + + + n r r r r r r r r r n n r r r r n n r r r r n n d d d k d k d k d k d k d k d k d k d k d 0 0 0 0 0 0 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1          , , , , , , v

k 1,r+1 k, ,r+2 kI 2,r+1 2,r+2 2n r,r+1 k +2 k r+1 td r+2 ……· 0 0 0 0 0 11+ 22 即v是v,,…,"n的线性组合

v v v . , , , , , , r r n n r r n n n n r r r r r r r r r r d d d k k k d k k k d k k k d + + − + + + + + + + + = + + +                           − − − + +                           − − − +                           − − − =         1 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 即 v 是 v1 , v2 , ···, vn-r 的线性组合