界性、最大、最小值定理和介值定理)。 2.主要内容: 1)函数的概念及表示法,函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性,复合函数、反函数、 分段函数和隐函数,基本初等函数的性质及其图形,初等函数,函数关系的建立 (2)数列极限与函数极限的定义及其性质,函数的左极限和右极限,无穷小量和无穷大量的 概念及其关系,无穷小量的性质及无穷小量的比较,极限的四则运算,极限存在的两个准则:* 单调有界准则和夹逼准则,两个重要极限。函数图形的水平和铅直渐近线 (3)函数在一点连续的概念,间断点的类型,连续函数的运算法则,复合函数的连续性,反 函数的连续性,初等函数的连续性。闭区间上连续函数的性质。 3.教学方法 元微积分学是用极限的方法来研究函数的一门学科,一元函数是一元微积分课程的主要研 究对象,教学中建议 (1)第一节主要讲解中学没学过或不完整的内容,如复合函数、反函数、三角函数、反三角 函数、分段函数等。 (2)数列极限(E-N)的定义和函数极限(E-X,E-0)的定义是难点,可以略去不讲 (3)求极限是重点,重点讲解等价无穷小代换、使用两个重要极限求极限的方法。 (4)函数连续是微积分的基本条件,理解连续的概念对后续学习很重要,要注意不连续的各 种情况 (5)闭区间上连续函数的几个性质,理论性较强,仅要求了解零点定理 (6)安排一次习题课,系统地复习整章的重点内容,处理作业和习题中的问题,归纳总结解 题技巧和方法 4.学习资料:B.∏吉米多维奇,高等数学习题精选精解,中国古代数学中的极限思想,欧 拉与数e 5思考题:每节课后布置适当的作业,每单元可提供适当的复习题 第二章导数与微分(14学时) 1.教学要求: (1)理解导数的概念、几何意义及物理意义,会求平面曲线的切线方程与法线方程、会用导 数描述一些物理量。理解函数的可导性与连续性之间的关系。会用定义求部分基本初等函数导数, 尤其是求分段函数连结点处导数。 (2)熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法,了解反函数的求导法则,隐函数与 参数方程所得的函数的导数(包括对数求导法),熟练掌握基本初等函数导数公式, (3)理解高阶导数的概念。掌握初等函数一阶、二阶导数的求法。掌握几个基本函数 (x",e,sinx,cosx,lnx等)的n阶导数公式,会求一些简单函数的n阶导数。知道两个函数乘 积的n阶导数的莱布尼兹公式 (4)理解微分的概念,掌握微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。知道微分的近似计 主要内容 317
— 317 — 公 共 课 界性、最大、最小值定理和介值定理）。 2. 主要内容： (1) 函数的概念及表示法，函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性，复合函数、反函数、 分段函数和隐函数，基本初等函数的性质及其图形，初等函数，函数关系的建立。 (2) 数列极限与函数极限的定义及其性质，函数的左极限和右极限，无穷小量和无穷大量的 概念及其关系，无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算，极限存在的两个准则：* 单调有界准则和夹逼准则，两个重要极限。函数图形的水平和铅直渐近线。 (3) 函数在一点连续的概念，间断点的类型，连续函数的运算法则，复合函数的连续性，反 函数的连续性，初等函数的连续性。闭区间上连续函数的性质。 3. 教学方法： 一元微积分学是用极限的方法来研究函数的一门学科，一元函数是一元微积分课程的主要研 究对象，教学中建议： (1) 第一节主要讲解中学没学过或不完整的内容，如复合函数、反函数、三角函数、反三角 函数、分段函数等。 (2) 数列极限（ N ）的定义和函数极限（ X, ）的定义是难点，可以略去不讲。 (3) 求极限是重点，重点讲解等价无穷小代换、使用两个重要极限求极限的方法。 (4) 函数连续是微积分的基本条件，理解连续的概念对后续学习很重要，要注意不连续的各 种情况。 (5) 闭区间上连续函数的几个性质，理论性较强，仅要求了解零点定理。 (6) 安排一次习题课，系统地复习整章的重点内容，处理作业和习题中的问题，归纳总结解 题技巧和方法。 4. 学习资料：B. . 吉米多维奇，高等数学习题精选精解，中国古代数学中的极限思想，欧 拉与数 e. 5. 思考题：每节课后布置适当的作业，每单元可提供适当的复习题。 第二章 导数与微分（14 学时） 1. 教学要求： (1) 理解导数的概念、几何意义及物理意义，会求平面曲线的切线方程与法线方程、会用导 数描述一些物理量。理解函数的可导性与连续性之间的关系。会用定义求部分基本初等函数导数， 尤其是求分段函数连结点处导数。 (2) 熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，了解反函数的求导法则，隐函数与 参数方程所得的函数的导数（包括对数求导法），熟练掌握基本初等函数导数公式， (3) 理解高阶导数的概念。掌握初等函数一阶、二阶导数的求法。掌握几个基本函数 （ , ,sin ,cos ,ln x x e x x x 等）的 n 阶导数公式，会求一些简单函数的 n 阶导数。知道两个函数乘 积的 n 阶导数的莱布尼兹公式。 (4) 理解微分的概念，掌握微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。知道微分的近似计 算。 2. 主要内容：
公共课 (1)导数的概念及几何意义和物理意义,平面曲线的切线与法线,函数的可导性与连续性之 间的关系 (2)导数的四则运算,基本初等函数的导数,复合函数、反函数和隐函数以及参数方程所确 定的函数的导数,高阶导数,*两个函数乘积的n阶导数的莱布尼兹公式 (3)微分的概念及其几何意义,微分的运算法则及一阶微分形式的不变性 3.教学方法 本章节的重点是求导数的方法,难点是复合函数与参数函数二阶导数,在教学过程中应注意 引导学生掌握求导过程中的原则和技巧: (1)导数定义式(特别是强调分段函数连结处的导数要用定义求)。 (2)可导必连续,但连续不一定可导;强调不连续必不可导。 (3)复合函数求导,隐函数求导要强调y是x的函数,幂指函数的求导方法。 4)用参数方程表示的函数的三阶导数公式y=①D d (3)理解导数与微分的共同点与不同点,利用共同点很容易得出微分的运算公式,可以让学 生自己推出。但一定尽可能说明这两个概念的不同之处 (4)利用一阶微分形式不变性可以对隐函数、复合函数求微分(导数) (5)安排一次习题课,系统地复习整章的重点内容,处理作业和习题中的问题,归纳总结解 题技巧和方法。 4.学习资料:B.∏L吉米多维奇,高等数学习题精选精解,微积分的创立,牛顿与莱布尼兹 5.思考题:每节课后布置适当的作业,每单元可提供适当的复习题 第三章微分中值定理与导数的应用(13学时) 1.教学要求: (1)理解罗尔(Role)定理和拉格朗日( Lagrange)定理,知道柯西( Cauchy)定理。并能 运用定理证明一些等式、不等式。 (2)掌握用洛必达( L'Hospital)法则求不定式极限的方法 (3)知道一些简单函数的泰勒公式及麦克劳林公式 (4)理解函数的极值概念,掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。会求解较简单应 用问题的最大值和最小值,会用单调性证明一些不等式。 (5)会用导数判断平面曲线的凹凸性,会求拐点 2.主要内容: (1)微分中值定理(罗尔定理、拉格朗日定理、*柯西定理)。 (2)洛必达( L'Hospital)法则, (3)*泰勒公式 (3)函数单调性的判别,函数的极值,函数的最大值与最小值,函数图形的凹凸性、拐点 3.教学方法:本章节的理论性较强,在教学中应注意 318
— 318 — 公 共 课 (1) 导数的概念及几何意义和物理意义，平面曲线的切线与法线，函数的可导性与连续性之 间的关系。 (2) 导数的四则运算，基本初等函数的导数，复合函数、反函数和隐函数以及参数方程所确 定的函数的导数，高阶导数，*两个函数乘积的 n 阶导数的莱布尼兹公式。 (3) 微分的概念及其几何意义，微分的运算法则及一阶微分形式的不变性。 3. 教学方法： 本章节的重点是求导数的方法，难点是复合函数与参数函数二阶导数，在教学过程中应注意 引导学生掌握求导过程中的原则和技巧： (1) 导数定义式（特别是强调分段函数连结处的导数要用定义求）。 (2) 可导必连续，但连续不一定可导；强调不连续必不可导。 (3) 复合函数求导，隐函数求导要强调 y 是 x 的函数，幂指函数的求导方法。 (4) 用参数方程表示的函数的二阶导数公式 2 2 t t d y y dx x 。 (3) 理解导数与微分的共同点与不同点，利用共同点很容易得出微分的运算公式，可以让学 生自己推出。但一定尽可能说明这两个概念的不同之处。 (4) 利用一阶微分形式不变性可以对隐函数、复合函数求微分（导数）。 (5) 安排一次习题课，系统地复习整章的重点内容，处理作业和习题中的问题，归纳总结解 题技巧和方法。 4. 学习资料：B. . 吉米多维奇，高等数学习题精选精解，微积分的创立，牛顿与莱布尼兹 之争。 5. 思考题：每节课后布置适当的作业，每单元可提供适当的复习题。 第三章 微分中值定理与导数的应用（13 学时） 1. 教学要求： (1) 理解罗尔（Rolle）定理和拉格朗日（Lagrange）定理，知道柯西（Cauchy）定理。并能 运用定理证明一些等式、不等式。 (2) 掌握用洛必达（L’Hospital）法则求不定式极限的方法。 (3) 知道一些简单函数的泰勒公式及麦克劳林公式。 (4) 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。会求解较简单应 用问题的最大值和最小值，会用单调性证明一些不等式。 (5) 会用导数判断平面曲线的凹凸性，会求拐点。 2. 主要内容： (1) 微分中值定理（罗尔定理、拉格朗日定理、*柯西定理）。 (2) 洛必达（L’Hospital）法则， (3) *泰勒公式 (3) 函数单调性的判别，函数的极值，函数的最大值与最小值，函数图形的凹凸性、拐点。 3. 教学方法：本章节的理论性较强，在教学中应注意：
公共课 (1)讲解中值定理时要注意几何的直观性,注意培养学生由浅入深、由此及彼的逐步推广和 扩展定理的能力,同时注意这些定理是充分性的命题。 (2)注意未定型函数求极限的条件,归纳求极限的方法 (3)在单调性教学中注意与中学数学知识的联系。 (4)本章的重点是罗尔定理、拉格朗日定理和洛必达法则。难点是证明题,“中值”问题的证明, 不等式与等式的证明等等。选择适当的题目,讲解或练习,让学生理解“中值”的作用以及辅助函 数的作法,是突破难点的有效方法。 (5)安排一次习题课,系统地复习整章的重点内容,处理作业和习题中的问题,归纳总结解 题技巧和方法。 4.学习资料:B.∏吉米多维奇,高等数学习题精选精解,微积分发展史 5.思考题:每节课后布置适当的作业,每单元可提供适当的复习题 第四章不定积分(15学时) 1.教学要求: (1)理解原函数、不定积分概念,熟练掌握不定积分基本公式,会灵活应用这些公式直接积 分 (2)掌握第一换元法(凑微分法)与第二换元法、分部积分法,能顺利计算常见类型的不定 积分。有理函数的积分不作一般性的探讨,通过举例说明计算过程。仅要求掌握常见类型的不定 积分计算,涉及到的变量代换也是常见类型的代换,如三角代换、倒代换、简单无理根式的代换 等。不要求学生掌握特殊的、技巧性特强的积分计算方法 2.主要内容: (1)原函数和不定积分的概念,不定积分的基本性质。基本不定积分公式 (2)不定积分的换元积分法与分部积分法 3.教学方法 (1)本章节的重点之一是不定积分的概念,教师应强调不定积分与微分的互逆关系 (2)另一重点与难点是不定积分的计算,特别是湊微分法与分部积分法要重点训练 (3)安排一次习题课,系统地复习整章的重点内容,处理作业和习题中的问题,归纳总结解 题技巧和方法 4.学习资料:B.∏吉米多维奇,高等数学习题精选精解,数学软件 Mathematica在高等数 学中的运用 5.思考题:每节课后布置适当的作业,每单元提供单元复习题。 第五章定积分(15学时) 1.教学要求: (1)理解定积分的定义与几何意义,了解定积分的性质(特别是积分中值定理)。 (2)理解变上限定积分,会求其导数,熟练掌握牛顿——莱布尼兹公式。了解定积分与不定 积分的联系。 (3)能灵活应用定积分的换元法与分部积分法求定积分 (4)了解反常积分的定义,会求简单的反常积分 319
— 319 — 公 共 课 (1) 讲解中值定理时要注意几何的直观性，注意培养学生由浅入深、由此及彼的逐步推广和 扩展定理的能力，同时注意这些定理是充分性的命题。 (2) 注意未定型函数求极限的条件，归纳求极限的方法。 (3) 在单调性教学中注意与中学数学知识的联系。 (4) 本章的重点是罗尔定理、拉格朗日定理和洛必达法则。难点是证明题，“中值”问题的证明， 不等式与等式的证明等等。选择适当的题目，讲解或练习，让学生理解“中值”的作用以及辅助函 数的作法，是突破难点的有效方法。 (5) 安排一次习题课，系统地复习整章的重点内容，处理作业和习题中的问题，归纳总结解 题技巧和方法。 4. 学习资料：B. . 吉米多维奇，高等数学习题精选精解，微积分发展史。 5. 思考题：每节课后布置适当的作业，每单元可提供适当的复习题。 第四章 不定积分（15 学时） 1. 教学要求： (1) 理解原函数、不定积分概念，熟练掌握不定积分基本公式，会灵活应用这些公式直接积 分。 (2) 掌握第一换元法（凑微分法）与第二换元法、分部积分法，能顺利计算常见类型的不定 积分。有理函数的积分不作一般性的探讨，通过举例说明计算过程。仅要求掌握常见类型的不定 积分计算，涉及到的变量代换也是常见类型的代换，如三角代换、倒代换、简单无理根式的代换 等。不要求学生掌握特殊的、技巧性特强的积分计算方法。 2. 主要内容： (1) 原函数和不定积分的概念，不定积分的基本性质。基本不定积分公式。 (2) 不定积分的换元积分法与分部积分法。 3. 教学方法： (1) 本章节的重点之一是不定积分的概念，教师应强调不定积分与微分的互逆关系。 (2) 另一重点与难点是不定积分的计算，特别是湊微分法与分部积分法要重点训练。 (3) 安排一次习题课，系统地复习整章的重点内容，处理作业和习题中的问题，归纳总结解 题技巧和方法。 4. 学习资料：B. . 吉米多维奇，高等数学习题精选精解，数学软件 Mathematica 在高等数 学中的运用。 5. 思考题：每节课后布置适当的作业，每单元提供单元复习题。 第五章 定积分（15 学时） 1. 教学要求： (1) 理解定积分的定义与几何意义，了解定积分的性质（特别是积分中值定理）。 (2) 理解变上限定积分，会求其导数，熟练掌握牛顿——莱布尼兹公式。了解定积分与不定 积分的联系。 (3) 能灵活应用定积分的换元法与分部积分法求定积分。 (4) 了解反常积分的定义，会求简单的反常积分
公共课 2.主要内容 (1)定积分的概念,几何意义及物理意义,定积分的基本性质(包括定积分中值定理) (2)积分变上限函数及其导数,原函数存在定理,牛顿一莱布尼茨( Newton- Leibniz)公式。 (3)定积分的换元与分部积分法 (4)反常积分定义,反常积分的牛顿——莱布尼兹公式,p积分与q-积分的敛散性 3.教学方法 (1)本章节的重点是定积分的概念与计算,要注意它与不定积分是完全不同的两个概念。但 又有着许多相似的计算方法 (2)基本积分公式的思想对培养学生思维能力与创新能力有着很好的教育作用,是教学难点 教师在推导过程中应着重于其思想内涵 (3)反常积分的定义是利用极限将无限转化为有限的经典实例,也是高等数学的重要思想方 法,这是培养学生数学能力,树立正确的数学思想方法的一个好的内容 (4)安排一次习题课,系统地复习整章的重点内容,处理作业和习题中的问题,归纳总结解 题技巧和方法。 4.学习资料:B.∏吉米多维奇,高等数学习题精选精解,微积分发展史 5.思考题:每节课后布置适当的作业,每单元可提供适当的复习题 第六章定积分的应用(5学时 1.教学要求: (1)掌握定积分微元法(或元素法),会求直角坐标系下的平面图形的面积,会求旋转体体积 以及平行截面面积已知的立体体积,知道平面曲线弧长的计算方法 (2)了解定积分的物理应用,会求简单的变力做功、液体的压力。 2.主要内容: (1)定积分的微元法思想 (2)在直角坐标系中平面图形的面积,旋转体体积。 (3)定积分在物理上的有关应用:变力做功、液体的压力 3.教学方法: (1)定积分微元法是定积分应用的基础,教学中应讲透其原理及微元的取法与计算,进而将 面积、体积、功、压力转化为定积分。 (2)在各类应用中重难点是取微元,要讲解清楚过程与步骤,应多练习 (3)安排一次习题课,系统地复习整章的重点内容,处理作业和习题中的问题,归纳总结解 题技巧和方法 4.学习资料:B.∏吉米多维奇,高等数学习题精选精解,微积分的应用。数学软件 Mathematica在高等数学中的运用 5.思考题:每节课后布置适当的作业,每单元可提供适当的复习题。 第七章微分方程(5学时) 1.教学要求 (1)了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解的概念。 320一
— 320 — 公 共 课 2. 主要内容： (1) 定积分的概念，几何意义及物理意义，定积分的基本性质（包括定积分中值定理） (2) 积分变上限函数及其导数，原函数存在定理，牛顿—莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式。 (3) 定积分的换元与分部积分法。 (4) 反常积分定义，反常积分的牛顿——莱布尼兹公式，p-积分与 q-积分的敛散性。 3. 教学方法： (1) 本章节的重点是定积分的概念与计算，要注意它与不定积分是完全不同的两个概念。但 又有着许多相似的计算方法。 (2) 基本积分公式的思想对培养学生思维能力与创新能力有着很好的教育作用，是教学难点， 教师在推导过程中应着重于其思想内涵。 (3) 反常积分的定义是利用极限将无限转化为有限的经典实例，也是高等数学的重要思想方 法，这是培养学生数学能力，树立正确的数学思想方法的一个好的内容。 (4) 安排一次习题课，系统地复习整章的重点内容，处理作业和习题中的问题，归纳总结解 题技巧和方法。 4. 学习资料：B. . 吉米多维奇，高等数学习题精选精解，微积分发展史。 5. 思考题：每节课后布置适当的作业，每单元可提供适当的复习题。 第六章 定积分的应用（5 学时） 1. 教学要求： (1) 掌握定积分微元法（或元素法），会求直角坐标系下的平面图形的面积，会求旋转体体积 以及平行截面面积已知的立体体积，知道平面曲线弧长的计算方法。 (2) 了解定积分的物理应用，会求简单的变力做功、液体的压力。 2. 主要内容： (1) 定积分的微元法思想。 (2) 在直角坐标系中平面图形的面积，旋转体体积。 (3) 定积分在物理上的有关应用：变力做功、液体的压力。 3. 教学方法： (1) 定积分微元法是定积分应用的基础，教学中应讲透其原理及微元的取法与计算，进而将 面积、体积、功、压力转化为定积分。 (2) 在各类应用中重难点是取微元，要讲解清楚过程与步骤，应多练习。 (3) 安排一次习题课，系统地复习整章的重点内容，处理作业和习题中的问题，归纳总结解 题技巧和方法。 4. 学习资料：B. . 吉米多维奇，高等数学习题精选精解，微积分的应用。数学软件 Mathematica 在高等数学中的运用。 5. 思考题：每节课后布置适当的作业，每单元可提供适当的复习题。 第七章 微分方程（5 学时） 1. 教学要求： (1) 了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解的概念
公共课 (2)掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的求解方法。了解齐次方程及其求解过 程,了解用变量代换求解微分方程的思想 (3)知道二阶线性微分方程解的结构 (4)会解二阶常系数齐次线性微分方程 (5)会解自由项为多项式、指数函数以及它们的积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解 与通解 2.主要内容: (1)常微分方程的基本概念。 (2)变量可分离的微分方程,齐次微分方程,一阶线性微分方程。 (3)二阶常系数齐次线性微分方程,简单的二阶常系数非齐次线性微分方程(自由项为多项 式、指数函数以及它们的积的二阶常系数非齐次线性微分方程)。 3.教学方法: 微分方程是一元微积分学的实际运用,是培养学生分析问题与解决问题能力很好的教学内容, 也是数学应用于实际问题的有力证据,因此,在教学中要注意引导 (1)可分离变量方程是一种可求解的一阶微分方程的基本类型,学生应当熟练掌握。作适当 的变量代换,将微分方程转化为易于求解的微分方程,这一方法本大纲仅要求掌握齐次方程的转 化求解,其它类型思想方法类似,学生可以自学。 (2)一阶线性微分方程与二阶常系数线性微分方程是本章节的重点,难点是二阶常系数非齐 次线性微分方程,教学时注意分类 (3)安排一次习题课,系统地复习整章的重点内容,处理作业和习题中的问题,归纳总结解 题技巧和方法 4.学习资料:B.∏吉米多维奇,高等数学习题精选精解,微分方程的发展史及其应用。数 学软件 Mathematica在高等数学中的运用。 5.思考题:每节课后布置适当的作业,每单元可提供适当的复习题 说明 (1)该大纲对应全国硕士研究生入学考试数学一大纲,但由于课时限制,内容略少于数学 要求也低于数学一的要求 (2)根据每年新生报到与军训时间的不同,第一学期的实际上课时数有可能减少,教学时应 该适当减少教学内容或更改教学计划。 (3)由于课时限制,加*者和教学要求中冠以“知道”者为选讲内容,考试不考
— 321 — 公 共 课 (2) 掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的求解方法。了解齐次方程及其求解过 程，了解用变量代换求解微分方程的思想。 (3) 知道二阶线性微分方程解的结构。 (4) 会解二阶常系数齐次线性微分方程。 (5) 会解自由项为多项式、指数函数以及它们的积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解 与通解。 2. 主要内容： (1) 常微分方程的基本概念。 (2) 变量可分离的微分方程，齐次微分方程，一阶线性微分方程。 (3) 二阶常系数齐次线性微分方程，简单的二阶常系数非齐次线性微分方程（自由项为多项 式、指数函数以及它们的积的二阶常系数非齐次线性微分方程）。 3. 教学方法： 微分方程是一元微积分学的实际运用，是培养学生分析问题与解决问题能力很好的教学内容， 也是数学应用于实际问题的有力证据，因此，在教学中要注意引导。 (1) 可分离变量方程是一种可求解的一阶微分方程的基本类型，学生应当熟练掌握。作适当 的变量代换，将微分方程转化为易于求解的微分方程，这一方法本大纲仅要求掌握齐次方程的转 化求解，其它类型思想方法类似，学生可以自学。 (2) 一阶线性微分方程与二阶常系数线性微分方程是本章节的重点，难点是二阶常系数非齐 次线性微分方程，教学时注意分类。 (3) 安排一次习题课，系统地复习整章的重点内容，处理作业和习题中的问题，归纳总结解 题技巧和方法。 4. 学习资料：B. . 吉米多维奇，高等数学习题精选精解，微分方程的发展史及其应用。数 学软件 Mathematica 在高等数学中的运用。 5. 思考题：每节课后布置适当的作业，每单元可提供适当的复习题。 说明： (1) 该大纲对应全国硕士研究生入学考试数学一大纲，但由于课时限制，内容略少于数学一， 要求也低于数学一的要求。 (2) 根据每年新生报到与军训时间的不同，第一学期的实际上课时数有可能减少，教学时应 该适当减少教学内容或更改教学计划。 (3) 由于课时限制，加*者和教学要求中冠以“知道”者为选讲内容，考试不考