那么线性方程组(1)有解,并且解是唯一的,解 可以表为 D D D3 n 1 = 2 3~3 = D D 95叫n D D 其中D是把系数行列式D中第列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式,即 1,j+1 · n D.= b n n,+1 nn
, , , , . 3 3 2 2 1 1 D D x D D x D D x D D x n = = = n = 其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即 Dj D j n n n , j n n , j nn , j , j n j a a b a a a a b a a D 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 − + − + = 那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解 可以表为 (1)
证明 用D中第列元素的代数余子式4,4y…,A 依次乘方程组(的n个方程得 (aux, +a, x, ++,x A,=b,A (a,*, +a2 r,+.+a,x)A, =b2 A ●●●非@●t●0●●意●·● n11十a,,X,+…+an =b A n nn n/ n/ 再把n个方程依次相加,得
证明 ( ) ( ) ( ) + + + = + + + = + + + = n n nn n nj n nj n n j j n n j j a x a x a x A b A a x a x a x A b A a x a x a x A b A 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 2 2 11 1 12 2 1 1 1 1 依次乘方程组( )的 个方程 得 用 中第 列元素的代数余子式 1 , , , , 1 2 n D j A j A j Anj 再把 n 个方程依次相加，得
k12 x1+… ∑ x:+∴十 好j kn kj k=1 k=1 k=1 ∑b4 k=1 由代数余子式的性质可知,上式中x的系数等于D, 而其余x(≠)系数均为;又等式右端为D 于是Dx=D/G=1,2,…,m) 当D≠0时,方程组(2)有唯一的一个解 D2= D D x = D D D
, 1 1 1 1 1 1 = = = = = + + + + n k k k j n n k j k n k j n k k j k j n k k k j b A a A x a A x a A x 由代数余子式的性质可知, Dx D ( j 1,2, ,n). j = j = , , , , . 3 3 2 2 1 1 D D x D D x D D x D D x n = = = n = x D, 上式中 j的系数等于 而其余x (i j)的系数均为0; i . 又等式右端为Dj 于是 (2) 当 D 0 时,方程组 (2) 有唯一的一个解
由于方程组(2)与方程组()等价,故 7 D2 D3 n 3 n D D D 也是方程组的(1)解
由于方程组 (2) 与方程组 (1) 等价, 故 , , , , . 3 3 2 2 1 1 D D x D D x D D x D D x n = = = n = 也是方程组的 (1) 解
二、重要定理 定理1如果线性方程细系数行列式D≠0, 则(1)一定有解,且解是唯一的. 定理2如果线性方程组(1)无解或有两个不同的 解,则它的系数行列式必为零
二、重要定理 定理1 如果线性方程组 的系数行列式 则 一定有解,且解是唯一的 . (1) (1) D 0, 定理2 如果线性方程组 无解或有两个不同的 解，则它的系数行列式必为零. (1)