奥运会临时超市网点设计 摘要 本题是解决奥运会比赛主场馆的商区内迷你超市MS网点的设计问题。 首先,通过对预演的运动会的问卷调查表,统计出观众的出行规律、饮食习 惯、人均消费金额和各年龄段占总人数的百分比,再用互信息熵和相关系数分 析观众的年龄段、出行、用餐以及购物任意两者之间的关系。 由于观众按照最短路径方式抵达目的地,因此可根据图论的 Dijkstra算法 来求其最短路径,然后根据其最短路径来分析所经过的商区,每个商区的人流 量按照所经过的人次累加。由观众的出行规律和饮食习惯分别统计进出体育场 馆时的人流量和饮食用餐时的人流量,相加之和为各个商区的人流量。 已知设置商区MS的地点、大小类型和总量有三个基本要求:满足购物需 求、分布基本均衡和商业赢利。又根据参考资料,可估算出小MS日销售额为2 万,而大MS为小MS的5倍,且规模越大,赢利越多。据此,我小组建立了2 个模型:模型一假定就近消费原则,确定每个观众都在看台对应的商区进行消 费,再根据MS规模与赢利有关,得出商区的小MS需20个和大MS需400个的 规划方案。由于模型一没有考虑人流量的因素,我们在模型一的基础上提出模 型二,认为人们基本上遵循就近消费原则,但还是有一部分的人不遵循这个原 则,此时就考虑各个商区的人流量,在人流量多的地方设置较多的MS,同时还 考虑各商区MS的分布均衡性,得到小Ms需345个,大MS需333个的规划方 案 关键词:互信息熵 Dijkstra算法整数线性规划消费欲望与需求
奥运会临时超市网点设计 摘要 本题是解决奥运会比赛主场馆的商区内迷你超市 MS 网点的设计问题。 首先，通过对预演的运动会的问卷调查表，统计出观众的出行规律、饮食习 惯、人均消费金额和各年龄段占总人数的百分比，再用互信息熵和相关系数分 析观众的年龄段、出行、用餐以及购物任意两者之间的关系。 由于观众按照最短路径方式抵达目的地，因此可根据图论的 Dijkstra 算法 来求其最短路径，然后根据其最短路径来分析所经过的商区，每个商区的人流 量按照所经过的人次累加。由观众的出行规律和饮食习惯分别统计进出体育场 馆时的人流量和饮食用餐时的人流量，相加之和为各个商区的人流量。 已知设置商区 MS 的地点、大小类型和总量有三个基本要求：满足购物需 求、分布基本均衡和商业赢利。又根据参考资料，可估算出小 MS 日销售额为 2 万，而大 MS 为小 MS 的 5 倍，且规模越大，赢利越多。据此，我小组建立了 2 个模型：模型一假定就近消费原则，确定每个观众都在看台对应的商区进行消 费，再根据 MS 规模与赢利有关，得出商区的小 MS 需 20 个和大 MS 需 400 个的 规划方案。由于模型一没有考虑人流量的因素，我们在模型一的基础上提出模 型二，认为人们基本上遵循就近消费原则，但还是有一部分的人不遵循这个原 则，此时就考虑各个商区的人流量，在人流量多的地方设置较多的 MS，同时还 考虑各商区 MS 的分布均衡性，得到小 MS 需 345 个，大 MS 需 333 个的规划方 案。 关键词：互信息熵 Dijkstra 算法 整数线性规划 消费欲望与需求 1
问题简述 北京奥运会期间在比赛主场馆的周边地区需要建设迷你超市(Min permarket,以下记做Ms)网,以满足观众、游客、工作人员等在奥运会期间 的购物需求。在比赛主场馆周边地区设置的这种MS,在地点、大小类型和总量 方面有三个基本要求:满足奥运会期间的购物需求、分布基本均衡和商业上赢 利 为了得到人流量的规律,在已经建设好的某运动场通过对预演的运动会的 问卷调查,了解观众(购物主体)的出行和用餐的需求方式和购物欲望。共采 集了3次调査的数据,按以下步骤对图2中的20个商区设计M网点 、根据附录中给出的问卷调査数据,找出观众在出行、用餐和购物 等方面所反映的规律 2、假定奥运会期间(指某一天)每位观众平均出行两次,一次为进 出场馆,一次为餐饮,并且出行均采取最短路径。依据1的结 果,测算图2中20个商区的人流量分布(用百分比表示)。 3、如果有两种大小不同规模的MS类型供选择,给出图2中20个商 区内M网点的设计方案(即每个商区内不同类型M的个数), 以满足上述三个基本要求。 4、阐明方法的科学性,并说明结果是贴近实际的。 问题分析 、通过对预演的运动会的问卷调查表,统计出观众的出行规律、饮 食习惯和各年龄段占总人数的比率,并且分析观众的年龄段,出 行、用餐以及购物任意两者之间的关系。 2、由于观众到场的方式不一样,餐饮方式不一样,并且出行时均采 取最短路径,造成各个商区人流量并不均衡 3、20个商区内MS网点的设计应要满足三个基本条件,而影响MS 选址的主要因素有人流量和购物欲望。 4、阐明解决问题方法的科学性,并说明结果是贴近实际的。 三、模型假设、建立与求解 问题一:观众在出行、用餐和购物等方面所反映的规律 <1>、对附录中3个表的数据进行统计,可以分别得到观众在出行、用 餐、购物等方面的规律: 出行方面公交车 私车 出租车 地铁 总计 2010 4030 百分比 33.98° 18.96° 9.049 38.0200 用餐方面中餐 西餐 商场餐饮 总计 2382 2651 百分比 22.47% 52.5200 25.01%0 购物方面 总计 2060 4668 157 103
一、问题简述 北京奥运会期间在比赛主场馆的周边地区需要建设迷你超市（ Mini Supermarket, 以下记做 MS）网，以满足观众、游客、工作人员等在奥运会期间 的购物需求。在比赛主场馆周边地区设置的这种 MS，在地点、大小类型和总量 方面有三个基本要求：满足奥运会期间的购物需求、分布基本均衡和商业上赢 利。 为了得到人流量的规律，在已经建设好的某运动场通过对预演的运动会的 问卷调查，了解观众（购物主体）的出行和用餐的需求方式和购物欲望。共采 集了 3 次调查的数据，按以下步骤对图 2 中的 20 个商区设计 MS 网点： 1、 根据附录中给出的问卷调查数据，找出观众在出行、用餐和购物 等方面所反映的规律。 2、 假定奥运会期间（指某一天）每位观众平均出行两次，一次为进 出场馆，一次为餐饮，并且出行均采取最短路径。依据 1 的结 果，测算图 2 中 20 个商区的人流量分布（用百分比表示）。 3、 如果有两种大小不同规模的 MS 类型供选择，给出图 2 中 20 个商 区内 MS 网点的设计方案（即每个商区内不同类型 MS 的个数）， 以满足上述三个基本要求。 4、 阐明方法的科学性，并说明结果是贴近实际的。 二、问题分析 1、 通过对预演的运动会的问卷调查表，统计出观众的出行规律、饮 食习惯和各年龄段占总人数的比率，并且分析观众的年龄段，出 行、用餐以及购物任意两者之间的关系。 2、 由于观众到场的方式不一样，餐饮方式不一样，并且出行时均采 取最短路径，造成各个商区人流量并不均衡。 3、 20 个商区内 MS 网点的设计应要满足三个基本条件，而影响 MS 选址的主要因素有人流量和购物欲望。 4、 阐明解决问题方法的科学性，并说明结果是贴近实际的。 三、模型假设、建立与求解 问题一：观众在出行、用餐和购物等方面所反映的规律 <1>、对附录中 3 个表的数据进行统计，可以分别得到观众在出行、用 餐、购物等方面的规律： 出行方面 公交车 私车 出租车 地铁 总计 3602 2010 958 4030 百分比 33.98% 18.96% 9.04% 38.02% 用餐方面 中餐 西餐 商场餐饮 总计 2382 5567 2651 百分比 22.47% 52.52% 25.01% 购物方面 1 2 3 4 5 6 总计 2060 2629 4668 983 157 103 2
可得到3个表格中观众的人均消费档次为25148 人均消费金额=2每个档次的人数“该档次的金额中值,其中第六档次的消费 总人数 金额取500。平均消费金额为200.9953元。 购物欲望,从经济学角度讲为对商品的需求,它与商品价格及生活收入有关, 而人均消费金额综合了这两因素,就是对消费欲望的量化。 <2>、通过观察问卷调査数据,我们来寻找观众的年龄档,出行、用餐以 及购物任意两者之间的关系。参考利用[3]和4,把这四者当作四个随机变量, 可引用“互信息熵”来考虑到两个随机变量之间的关系。为了可以得出两分量 之间的线性相关程度我们想到了‘相关系数’。通过引用相关系数,来度量两 随机之间的关系。 方法1 符号说明: 符号 说明 符号 说明 α中的有关β的信息量 试验β p(4)a中第k项的概率 α的熵 P(B) 中第i项的概率 H①) β的熵 p(B1|4)4条件下第L项的概率 H2(B)B在a条件的熵 根据《概率论》里面熵的知识,α中的有关β的信息量为: (a,B)=H(B)-H2(B) (1) 试验β的熵 H(B)=-∑p(B)gp(B) 试验β的条件熵 H(B)=-∑p(A∑p(B1|A)gP(B1A) 将合成表中的分量带入公式(1)、(2)、(3),参考利用[和8],由数学软件 Matlab编程(程序见附录1)可得信息量表:
可得到 3 个表格中观众的人均消费档次为 2.5148 人均消费金额= 总人数 ∑每个档次的人数*该档次的金额中值 ，其中第六档次的消费 金额取 500。平均消费金额为 200.9953 元。 购物欲望，从经济学角度讲为对商品的需求，它与商品价格及生活收入有关， 而人均消费金额综合了这两因素，就是对消费欲望的量化。 <2>、通过观察问卷调查数据，我们来寻找观众的年龄档，出行、用餐以 及购物任意两者之间的关系。参考利用[3]和[4]，把这四者当作四个随机变量， 可引用“互信息熵”来考虑到两个随机变量之间的关系。为了可以得出两分量 之间的线性相关程度我们想到了‘相关系数’。通过引用相关系数，来度量两 随机之间的关系。 方法 1 符号说明： 符号 说明 符号 说明 α 试验α I(β, α) α中的有关β的信息量 β 试验β )(Ap k α中第 k 项的概率 H(α) α的熵 )(Bp i β中第 i 项的概率 H(β) β的熵 )|( ABp kl Ak 条件下β第 L 项的概率 β )( Hα β在α条件的熵 根据《概率论》里面熵的知识， α中的有关β的信息量为： α β β β )()(),( = − HHI α (1) 试验β的熵： ∑ (2) = −= n i H i BpBp i 1 β )(lg)()( 试验β的条件熵： )|(lg)|()()( 1 1 k kl n l l m k H k ∑∑ ABpABpAp = = α β −= (3) 将合成表中的分量带入公式 (1) 、(2) 、(3)，参考利用[1]和[8]，由数学软件 Matlab 编程 （程序见附录 1）可得信息量表： 3
互信息熵表 年龄段出行方式餐饮方式消费额 年龄段 0.0011 0.0212 0.055 出行方式|001 0.00018 0.0027 餐饮方式0212 0.00018 0.0046 消费额 0.0553 0.0027 0.0046 当α与β独立时,I(x,B)=0此时一个试验不含有另一个试验的任何信息。另一个 极端情形是当a的结果完全决定β的结果,此时H(B)=0,从而I(x,)=H() 由此可知,从表中可知年龄段与消费额最密切。 方法2 通过数据统计,可以得到任意两个分量的联合分布,参考利用和8],由 数学软件 Matlab的统计功能可得相关系数表: 相关系数表 年龄段出行方式餐饮方式消费额 年龄段 0.062 0.267 0.470 出行方式0.062 0.026 0.0811 餐饮方式0.267 0.026 0.105 消费额 0.470 0.081 0.105 通过观察相关系数表,我们发现年龄段与消费额的相关系数最大,也就说 年龄段与消费额线性相关的程度最好,然后依次为年龄段与餐饮方式,餐饮方 式与消费额,出行方式与消费额,年龄段与出行方式,出行方式与餐饮方式 从此表也可知年龄段和消费额关系最为密切,这同时印证了方法1中的数 据 问题二:20个商区的人流量分布 1、假设与分析
互信息熵表 年龄段 出行方式 餐饮方式 消费额 年龄段 0.0011 0.0212 0.0553 出行方式 0.0011 0.00018 0.0027 餐饮方式 0.0212 0.00018 0.0046 消费额 0.0553 0.0027 0.0046 当 α 与 β 独立时，I(α , β)=0,此时一个试验不含有另一个试验的任何信息。另一个 极端情形是当 α 的结果完全决定 β 的结果，此时 β )( Hα =0，从而 I(α,β)=H(β)。 由此可知，从表中可知年龄段与消费额最密切。 方法 2 通过数据统计，可以得到任意两个分量的联合分布，参考利用[1]和[8]，由 数学软件 Matlab 的统计功能可得相关系数表： 相关系数表 年龄段 出行方式 餐饮方式 消费额 年龄段 1 0.062 0.267 0.470 出行方式 0.062 1 0.026 0.081 餐饮方式 0.267 0.026 1 0.105 消费额 0.470 0.081 0.105 1 通过观察相关系数表，我们发现年龄段与消费额的相关系数最大，也就说 年龄段与消费额线性相关的程度最好，然后依次为年龄段与餐饮方式，餐饮方 式与消费额，出行方式与消费额，年龄段与出行方式，出行方式与餐饮方式 从此表也可知年龄段和消费额关系最为密切，这同时印证了方法 1 中的数 据。 问题二：20 个商区的人流量分布 1、假设与分析 4
1)假设奥运会期间(指某一天)每位观众平均出行两次,一次为进 出场馆,一次为餐饮,并且出行均采取最短路径。 2)假设国家体育场(鸟巢)容量为10万人,国家体育馆容量为6 万人,国家游泳中心(水立方)容量为4万人。三个场馆的每个 看台容量均为1万人,出口对准一个商区,各商区面积相同。 3)假设奥运会期间(指某一天)每位观众的行动规律为:先去体育 场馆,再去饮食用餐 4)假设各个体育场馆看台的观众的出行方式均按照问题一得到的出 行规律,即出行方式的比率。由此可估算出每个看台的各种出行 方式的观众数量。 5)假设各个体育场馆看台的观众的饮食用餐均按照问题一得到的饮 食规律,即餐饮方式的比率。由此可估算出每个看台的各种餐饮 的观众数量。 2、符号说明 符号说明 A区第i商区的人流量; 第i商区进出体育场馆时的人流量; 第i商区饮食用餐时的人流量 出行方式为xj的人流量累加概率 餐饮方式为yj的人流量累加概率 3、问题解决 1)根据地图各个要点(公交车站、地铁站、出租车站、私车停车 场、餐饮部门、商区)的位置分布,综合心理因素估画出其距 离加权图(见附录2)。 2)由于观众按照最短路径方式抵达目的地,因此参考利用四2],可 根据图论的 Dijkstra算法(见附录3)来求其最短路径,然后 根据其最短路径来分析所经过的商区。 注意:对于有n种路径结果的,每个路径可按1/n的人流量去分 析。如x1到al 3)我们还可根据目测法来估算其最短路径,所得结果与用 Di jkstra算法来求的结果一致,这更加证明了 Dijkstra算法的科 学性
1）假设奥运会期间（指某一天）每位观众平均出行两次，一次为进 出场馆，一次为餐饮，并且出行均采取最短路径。 2）假设国家体育场（鸟巢）容量为 10 万人，国家体育馆容量为 6 万人，国家游泳中心（水立方）容量为 4 万人。三个场馆的每个 看台容量均为 1 万人，出口对准一个商区，各商区面积相同。 3）假设奥运会期间（指某一天）每位观众的行动规律为：先去体育 场馆，再去饮食用餐。 4）假设各个体育场馆看台的观众的出行方式均按照问题一得到的出 行规律，即出行方式的比率。由此可估算出每个看台的各种出行 方式的观众数量。 5）假设各个体育场馆看台的观众的饮食用餐均按照问题一得到的饮 食规律，即餐饮方式的比率。由此可估算出每个看台的各种餐饮 的观众数量。 2、符号说明 符号 说明 S ,ia A 区第 i 商区的人流量; J ,ia 第 i 商区进出体育场馆时的人流量; T ,ia 第 i 商区饮食用餐时的人流量; N ,, jia 出行方式为 xj 的人流量累加概率; M ,, jia 餐饮方式为 yj 的人流量累加概率; 3、问题解决 1）根据地图各个要点（公交车站、地铁站、出租车站、私车停车 场、餐饮部门、商区）的位置分布，综合心理因素估画出其距 离加权图（见附录 2）。 2）由于观众按照最短路径方式抵达目的地，因此参考利用[2]，可 根据图论的 Dijkstra 算法（见附录 3）来求其最短路径，然后 根据其最短路径来分析所经过的商区。 注意：对于有 n 种路径结果的，每个路径可按 1/n 的人流量去分 析。如 x1 到 a1。 3）我们还可根据目测法来估算其最短路径，所得结果与用 Dijkstra 算法来求的结果一致，这更加证明了 Dijkstra 算法的科 学性。 5