例 4 求方程 2 0 2 2 4 4 + + x = dt d x dt d x 的通解. 解: 特征方程 2 1 ( 1) 0 4 2 2 + + = + = , 即特征根 = i 1,2 是二重根,因此,方程有四个实 值解. cost,t cost,sin t,tsin t .故方程的通解为 x (c c t)cost (c c t)sin t = 1 + 2 + 3 + 4 ,这里的 1 2 3 c ,c ,c 是任常数. 3. 欧拉方程 形为 1 0 1 1 1 + 1 + + − + = − − − a y dx dy a x dx d y a x dx d y x n n n n n n n n (4.29) 的方程称为欧拉方程. 这里 ai (i =1,2,.,n)为常数. (1) 引进变换 ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 2 2 dt dy dt d y e dt dy e dt dt e dx dy dx d dx d y dt dy dt x dy e dx dt dt dy dx dy x e t t t t t = = = − = = = = − − − − ,由归纳法知: ( ) 1 1 4 1 4 dt dy dt d y dt d y e dt d y k k k k k kt = + + + − − − 其中 1 2 1 , , , k − 都是常数,于是将上述关系式 代 入 (4.29) 得常系数齐线性方程 0(4.30) , ,., . 1 1 1 2 1 1 n n n 其中 n为常数 n n n b y b b b dt dy b dt d y b dt d y + + + − + = − − 因而可用上述的方法求出(4.30)的通解,现代回原来的变量就可得到方程(4.29)的解. 例 5 求解方程 0 2 2 2 − + y = dx dy x dx d y x 解: 作变换 ( ) 1 , 1 , ln | |, 2 2 2 2 2 dt dy dt d y dx x dt dt dx dy d dx d y dt dy dx x dy x e t x t = 即 = 则 = = = − ,把上式 代入原方程得 y y c c t e y c c x x dt dy dt d x t 2 0, ( ) , ( ln | |) 2 1 2 1 2 2 − + = 上式方程的通解为 = + 故原方程通解为 = + ,这里 1 2 c ,c 为任常数. ②从上述过程,我们知(4.30)有形如 kt y = e 的通解.从而(4.29)有形如 k y = x 的解,因此也可直 接求欧拉方程的形如 k y = x 的解,以 k y = x 代入(4.29)得到确定 K 的代数方程
k(k −1)(k − n +1) + a1 k(k −1)(k − n + 2) ++ an = 0 (4.31)则(4.31)正好是(4.30) 的特征方程 , 因 此 , 方 程 (4.31) 的 m 重实根 k=k0, 对 应 于 方 程 (4.29) 的 m 个 解 ( , , , ), , ln | |, ln | |, , ln | | 0 0 1 0 0 0 0 2 0 1 e te t e x x x x x x x k t k t m− k t k k k k m− . 而(4.31)的 m 重复根 k = + i ,对应于方程(4.29)的 2m 个实值解: sin( ln | |), ln | |sin( ln | |), , ln | |sin( ln | |) cos( ln | |), ln | | cos( ln | |), , ln | | cos( ln | |) 1 1 x x x x x x x x x x x x x x x x m m − − 例 6 求解方程 0 2 2 2 − + y = dx dy x dx d y x 解: 设 k y = x ,得到确定 K 的方程 ( 1) 1 0 ( 1) 0, 1. 1 2 2 k k − − k + = 或 k − = k = k = 因此,方程的 通解为: y (c c ln | x |)x = 1 + 2 ,这里 1 2 c ,c 为任常数. 例 7 求解方程 3 5 0 2 2 2 + + y = dx dy x dx d y x 解 : 设 k y = x , 得 到 K 应满足的方程 ( 1) 3 5 0 2 5 0 2 k k − + k + = 或k + k + = 因 此 , k 1 2i 1,2 = − , 而方程的通解为 [ cos(2ln | |) sin( 2ln | |)], , . 1 c1 x c2 x 其中c1 c2为任常数 x y = + 三,非齐线方程,比较系数法与拉普斯变换法.现在讨论常系数非齐线性方程 [ ] ( ) 1 1 1 a x f x dt dx a dt d x a dt d x L x n n n n n n n + + + − + = − − (4.32) 的求解问题,这里 ( , , ( ) ) a1 a2 an常数 而f x 为连续函数 . 上面我们给出了齐次常系数方程通解的求法,下面我们来研究宏域非齐次方程的解法, 从非齐次线性方程解的结构定理知,可求非齐次常系数方程的通解,只需给出非齐次线性方程 的一个特解即可,上一节给出了求特解的一个方法-常数变量法,但这方法求解很繁琐,而且 必须经过积分运算,下面将给出比较简单的求解方法-比较系数法 (一) 1.类型. m m m L x b t + b t + + b [ ] 0 1 −1 (4.32) 其中 b (i 0,1, m) i = 为实常系数. 注意到,一个多项式的各阶系数乃是多项式,全方程(4.32)右端是一个 N 次多项式,因此 (4.32)有形为 m n x = B0 t ++ B ~~ (4.33) 的特解. B0 B1 Bm , 为待定常数