d'x+2dx例4求方程+x=0的通解dttdt?解：特征方程2+2+1=（+1)=0，即特征根2=±i是二重根，因此，方程有四个实值解，cost,tcost,sin t,tsin t.故方程的通解为x=(c+c,t)cost+(c,+cat)sint,这里的cj,c2,c是任常数.3欧拉方程dydyn-dn-形为+ax"+a,y=0（4.29）的方程称为欧拉方程+a,-xdx"dx"-dx这里a,(i=1,2...n)为常数x=e'dy_dy dt=e-dy_1 dy(1）引进变换，由归纳法知：dxdi-xdtdt dxdyddy=e-dterdyd'ydy(edx?dtdtdxdxdt?dtdk-lydydtydhy+P)其中β,β，,βk-都是常数，于是将上述关系式+ βdtkdik-idtdt4代入得常系数齐线性程(4.29)方d"ydn-lydy+b+b,y=04.30)其中b,b,..b.为常数+dt"-1dtdt"因而可用上述的方法求出(4.30)的通解,现代回原来的变量就可得到方程(4.29)的解rd'y-rdy+y=0例5求解方程二dx?dxddy解：作变换x=e,即t=n|xl则_-y，把上式dxx dt'dx?dt?dtdtdxx?原程代入方得d'xody+y=0,上式方程的通解为y=(G+Ct)e',故原方程通解为y=(c+c,ln|xDxdt?dt,这里c,c,为任常数②从上述过程我们知(4.30)有形如V=e的通解.从而(4.29)有形如V=x*的解因此也可直接求欧拉方程的形如y=x的解,以y=x*代入(4.29)得到确定K的代数方程
例 4 求方程 2 0 2 2 4 4 + + x = dt d x dt d x 的通解. 解: 特征方程 2 1 ( 1) 0 4 2 2 + + = + = , 即特征根 = i 1,2 是二重根,因此,方程有四个实 值解. cost,t cost,sin t,tsin t .故方程的通解为 x (c c t)cost (c c t)sin t = 1 + 2 + 3 + 4 ,这里的 1 2 3 c ,c ,c 是任常数. 3. 欧拉方程 形为 1 0 1 1 1 + 1 + + − + = − − − a y dx dy a x dx d y a x dx d y x n n n n n n n n (4.29) 的方程称为欧拉方程. 这里 ai (i =1,2,.,n)为常数. (1) 引进变换 ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 2 2 dt dy dt d y e dt dy e dt dt e dx dy dx d dx d y dt dy dt x dy e dx dt dt dy dx dy x e t t t t t = = = − = = = = − − − − ,由归纳法知: ( ) 1 1 4 1 4 dt dy dt d y dt d y e dt d y k k k k k kt = + + + − − − 其中 1 2 1 , , , k − 都是常数,于是将上述关系式 代 入 (4.29) 得常系数齐线性方程 0(4.30) , ,., . 1 1 1 2 1 1 n n n 其中 n为常数 n n n b y b b b dt dy b dt d y b dt d y + + + − + = − − 因而可用上述的方法求出(4.30)的通解,现代回原来的变量就可得到方程(4.29)的解. 例 5 求解方程 0 2 2 2 − + y = dx dy x dx d y x 解: 作变换 ( ) 1 , 1 , ln | |, 2 2 2 2 2 dt dy dt d y dx x dt dt dx dy d dx d y dt dy dx x dy x e t x t = 即 = 则 = = = − ,把上式 代入原方程得 y y c c t e y c c x x dt dy dt d x t 2 0, ( ) , ( ln | |) 2 1 2 1 2 2 − + = 上式方程的通解为 = + 故原方程通解为 = + ,这里 1 2 c ,c 为任常数. ②从上述过程,我们知(4.30)有形如 kt y = e 的通解.从而(4.29)有形如 k y = x 的解,因此也可直 接求欧拉方程的形如 k y = x 的解,以 k y = x 代入(4.29)得到确定 K 的代数方程
k(k-1)...(k-n+1)+ak(k-1).(k-n+2)+...+a,=0(4.31)则(4.31)正好是(4.30)的特征方程，因此，方程(4.31)的m重实根k=ko,对应于方程（4.29)的m个解(eot,tekot,...,tm-leko'),xko,xoIn|x],xoIn?x,,xo n"-lx而(4.31)的m重复根k=α+iβ,对应于方程(4.29)的2m个实值解：x" cos(βln |xD), xa In |x |cos(βIn |xD,."-,x In "-" Ix|cos(βln |x)xa sin(βIn /x D), x In |x|sin(βln |x D, .-,xa Inm-I [x|sin(βIn [x D例6求解方程-x+-*+=0解：设y=x*,得到确定K的方程k(k-1)-k+1=0或(k-1)=0,k,=k,=1.因此,方程的通解为：y=(c+C,ln|xDx,这里c,C,为任常数禁+3*+例7求解方程）+5y=0dx?dx解：设y=x，得到K应满足的方程k(k-1)+3k+5=0或k2+2k+5=0因此，而方程的通解为ki2 =-1±2i21[ccos(2ln|xD+C,sin(2ln|xD],其中c,C,为任常数V=三,非齐线方程，比较系数法与拉普斯变换法.现在讨论常系数非齐线性方程dn-xdx+L[x]= d"x +a +..+a-+ dt(4.32)+a,x=f(x)tn din-Idt"的求解问题,这里(a,a,a,常数,而f(x)为连续函数)上面我们给出了齐次常系数方程通解的求法，下面我们来研究宏域非齐次方程的解法从非齐次线性方程解的结构定理知，可求非齐次常系数方程的通解，只需给出非齐次线性方程的一个特解即可，上一节给出了求特解的一个方法--..-常数变量法.但这方法求解很繁琐，而且必须经过积分运算，下面将给出比较简单的求解方法---比较系数法(一）1.类型，L[x]=b,t"+b,tm-I +.+bm(4.32)其中b,(i=0,1,m)为实常系数.注意到,一个多项式的各阶系数乃是多项式,全方程(4.32)右端是一个N次多项式,因此(4.32)有形为x = Bot" +...+ B..(4.33)的特解.Bo,B,..Bm为待定常数
k(k −1)(k − n +1) + a1 k(k −1)(k − n + 2) ++ an = 0 (4.31)则(4.31)正好是(4.30) 的特征方程 , 因 此 , 方 程 (4.31) 的 m 重实根 k=k0, 对 应 于 方 程 (4.29) 的 m 个 解 ( , , , ), , ln | |, ln | |, , ln | | 0 0 1 0 0 0 0 2 0 1 e te t e x x x x x x x k t k t m− k t k k k k m− . 而(4.31)的 m 重复根 k = + i ,对应于方程(4.29)的 2m 个实值解: sin( ln | |), ln | |sin( ln | |), , ln | |sin( ln | |) cos( ln | |), ln | | cos( ln | |), , ln | | cos( ln | |) 1 1 x x x x x x x x x x x x x x x x m m − − 例 6 求解方程 0 2 2 2 − + y = dx dy x dx d y x 解: 设 k y = x ,得到确定 K 的方程 ( 1) 1 0 ( 1) 0, 1. 1 2 2 k k − − k + = 或 k − = k = k = 因此,方程的 通解为: y (c c ln | x |)x = 1 + 2 ,这里 1 2 c ,c 为任常数. 例 7 求解方程 3 5 0 2 2 2 + + y = dx dy x dx d y x 解 : 设 k y = x , 得 到 K 应满足的方程 ( 1) 3 5 0 2 5 0 2 k k − + k + = 或k + k + = 因 此 , k 1 2i 1,2 = − , 而方程的通解为 [ cos(2ln | |) sin( 2ln | |)], , . 1 c1 x c2 x 其中c1 c2为任常数 x y = + 三,非齐线方程,比较系数法与拉普斯变换法.现在讨论常系数非齐线性方程 [ ] ( ) 1 1 1 a x f x dt dx a dt d x a dt d x L x n n n n n n n + + + − + = − − (4.32) 的求解问题,这里 ( , , ( ) ) a1 a2 an常数 而f x 为连续函数 . 上面我们给出了齐次常系数方程通解的求法,下面我们来研究宏域非齐次方程的解法, 从非齐次线性方程解的结构定理知,可求非齐次常系数方程的通解,只需给出非齐次线性方程 的一个特解即可,上一节给出了求特解的一个方法-常数变量法,但这方法求解很繁琐,而且 必须经过积分运算,下面将给出比较简单的求解方法-比较系数法 (一) 1.类型. m m m L x b t + b t + + b [ ] 0 1 −1 (4.32) 其中 b (i 0,1, m) i = 为实常系数. 注意到,一个多项式的各阶系数乃是多项式,全方程(4.32)右端是一个 N 次多项式,因此 (4.32)有形为 m n x = B0 t ++ B ~~ (4.33) 的特解. B0 B1 Bm , 为待定常数