口算符的分解Polardecompositiontheorem：令为A失量空间v的线性算符，则存在么正算符u，正算符Leftpolardecompositionrightpolardecompositionj和R，满足A-UJ-KU其中正算符由J=VA+A和K三VAA唯一确定。若进一步A是可逆的，则O是唯一的。Singularvaluedecomposition（SvD）theorem：令为A为mxn矩阵，则存在么正矩阵U和V，及对角矩阵D（矩阵元非负），满足A-UDV其中D的对角元称为A的奇异值（singularvalues）。di00000d2000AAt=UDVVtDttUDDtU即对A+A或AA+对角化注：利用D=0000AtA=VIDtUtUDV=VDIDV其对角元开平方即为001d000d000原矩阵A的奇异值000dede000DiD=DDt-00000.0000000
算符的分解 Polar decomposition theorem：令为𝐴መ矢量空间𝑉的线性算符，则存在幺正算符𝑈，正算符 መ𝐽 和 𝐾，满足 其中正算符由 和 唯一确定 。若进一步𝐴መ是可逆的，则𝑈是唯一的。 Left polar decomposition right polar decomposition Singular value decomposition (SVD) theorem：令为 𝐴መ 为 m×𝑛 矩阵，则存在幺正矩 阵𝑈和𝑉，及对角矩阵𝐷（矩阵元非负），满足 其中𝐷的对角元称为𝐴መ的奇异值（singular values）。 注：利用 ， 即对A †A或AA †对角化， 其对角元开平方即为 原矩阵A的奇异值
量子力学五公设（postulates）口MathFramework.在t时刻，量子系统的瞬时态用Hilbert空间中的归一化矢量|(t)）ES描写。口 nitary Time evolution 封 (closed ) 量 系统随时 同 演 化由 Schro dinger i lg() = )()at，其中H是对应系统哈密顿量的同程更广泛的演化定义，幺正算符（t）控制，1中=）口Observables.观测量是系统的可观测性质（如粒子的能量、动量等），用厄米算符At=A表示。测量得到的值总是A的本征值n（A|入n）=入n|入n））。口CollapseofWaveFunction.（设观测量有非简并谱spec(A)）测量通常会扰动物理系统的状态并改变它。在测量得到入n之后瞬间，系统从初态|山)变为「入）。整个波函数塌缩的过程是非么正的，且时间上不可逆。口Born'sRule.对给定态[山），测量A得到结果入n的瞬间，波函数塌缩，测量后的态为Pn1d)1An)(An/b)[入n)=得到结果入n的概率为n=[<入nl)2=<Pn12h）(An/b)V<b/Pnld)
量子力学五公设（postulates） Math Framework.在 t 时刻，量子系统的瞬时态用 Hilbert 空间中的归一化矢量|ψ(t)⟩ ∈ ℌ 描写。 Unitary Time Evolution. 封闭（closed）量子系统随时间演化由 Schrödinger 方 程 ，其中𝐻是对应系统哈密顿量的厄米算符。 Collapse of Wave Function. （设观测量有非简并谱 spec(A)）测量通常会扰动物理系统的状态并改变它。在 测量得到 𝜆𝑛 之后瞬间，系统从初态 |ψ⟩ 变为 ȁ 𝜆 ⟩ 𝑛 。 整个波函数塌缩的过程是非幺正的，且时间上不可逆。 Observables. 观测量是系统的可观测性质(如粒子的能量、动量等)，用厄米算符 A† = A 表示。测量得到的 值总是 A 的本征值𝜆𝑛（∵ ）。 Born’s Rule.对给定态 |ψ⟩ ，测量 A 得到结果 𝜆𝑛 的瞬间，波函数塌缩，测量后的态为 ，得到结果 𝜆𝑛 的概率为 更广泛的演化定义，幺正算符 𝑈(𝑡1 ,𝑡2)控制， |ψ’⟩= 𝑈|ψ⟩
口测量过程随机性、新断相干M山Dclassical bit性、不可逆、空间非定域性[(t))E5抽象而包含系统所有信息MqubitDquantumstatequantumstate关联、演化、读取数据hascollapsed3H-Eala)(ala④读取仪器(device)给Xaa)(ad出的测量值，系统量选择要测量系统哪一方面性质A子态塌缩到确定态（e.g.，能量A、动量p、坐标、自旋S等）S-ss,m)(s,mls,m
测量过程 𝑆መ 𝑝Ƹ 𝑥ො |ψ(t)⟩ ∈ ℌ 抽象而包含系统所有信息 ① 选择要测量系统哪一方面性质 A （e.g.，能量𝐻 、动量𝑝Ƹ、坐标𝑥ො 、 自旋𝑆መ等） ② 关联、演化、读取数据 ③ ④ 读取仪器(device)给 出的测量值，系统量 子态塌缩到确定态 随机性、斩断相干 性、不可逆、空间 非定域性