例：正定算符（positiveoperator）是一类重要的厄米算符，对任何矢量lu)，满足《ulAlu)>0（若《ulAlu）≥0称此算符为正算符（positiveoperator））。给定任意算符A，AA必然是正算符。即所有本征值为正数例：投影算符（projector）是另一类重要的厄米算符。设W是d维矢量空间V的一个k维子空间，利用Gram-Schmidt方法分别构造空间V的正交基底|1)，..，d）和空间W的正交基底|1)，...，k)，可以定义投影算符P=li)(il =→ p2=P and eigenvalues 0, 1将任意失量投影至子空间W。是厄米算符Pt=P，其补Q=I-P的作用是投影至|k+1)，...,d)张成的子空间。若【入）是厄米算符的正交完备基，则算符可以用投影算符展开注：任意算符均可表示为A=B+iC，其中B和C是厄米算符。Pn=An)(AnlA=AnPni=P口完备关系。令li）为矢量空间V的一组正交基，于是任意量可展开为[u)=vili），Ui=（ilu)ECli)(i) u)=li)(il0)=uili)=[u)→Zli)(il = I(completenessrelation)
例：正定算符（positive operator）是一类重要的厄米算符，对任何矢量ȁ𝑣⟩，满足 （若 称此算符为正算符（positive operator））。给定任意算符A， A†A 必然是正算符。 注：任意算符均可表示为 ，其中B 和C 是厄米算符。 例：投影算符（projector）是另一类重要的厄米算符。设 W 是 d 维矢量空间 V 的一个 k 维子空间，利用Gram –Schmidt 方法分别构造空间 V 的正交基底 和空间 W 的正交基底 ， 可以定义投影算符 将任意矢量投影至子空间W。是厄米算符P† = P，其补Q = መ𝐼 − 𝑃 的作用是投影至 张成的子空间。 完备关系。令ȁ𝑖⟩ 为矢量空间 V 的一组正交基，于是任意矢量可展开为 （completeness relation） 若 是厄米算符的正交完备基， 则算符可以用投影算符展开 即所有本征值为正数
口幺正算符即+0=00+=1幺正算符是正规算符么正算符定义是双边的。命题5任意久正算符均可表示为U=exp（i），其中c是爬米算符例如谐振子升降算符proofE-21m)n+1ln=0U=A+iB[A,B]=0&A2+B2=iA=COsCUtU=A2+B2+iA,B=1Bt-Z/n+1)(nlLut=A-iB00t=A2+B2-[AB]-1B=sinCn=0Q.E.D显然只单边符合定义t) → 0(t)3b(0))=[30(t)例：U(t) = exp (EEt-1=0)(0》本征值：幺正算符的本征值可以写为eio，（θER）因此不是幺正算符。幺正算符幺正变换0-E[bn) (an/ = U [am)=[bn) (an[am) =[6n) 8nm = [6m)A[an) = an [an)0(am)=[bm)(bn/A[6m)=(bn0)0tA0(0bm))=(an0tA0|am)=UAUt[bn)=an[bn)B[bn) = bn [bn)
幺正算符 即 U†U = UU† = 1 幺正算符是正规算符 幺正算符定义是双边的。 例如谐振子升降算符 显然只单边符合定义 因此不是幺正算符。 命题5：任意幺正算符均可表示为 ，其中𝐶መ是厄米算符 proof Q.E.D 例： ➢ 本征值：幺正算符的本征值可以写为 𝑒 i𝜃，（𝜃 ∈ ℝ） ➢ 幺正算符 ⇨ 幺正变换
口张量积m维线性空间v的基底(li)[i=1,.,m)，n维线性空间W的基底(li)lj=1,.,n)，张量积空间vW是m×n维，基底为（li)=li)li)i=1,.,m；j=1,,n)。算符A作用于空间V，算符B作用于空间W，则复合空间上的算符作为VWVW2u) @ [w) = (AB)(u) 8 [w) = (A0) (B(w)例：复合Hilbert空间H=HiH2。矩阵张量积矩阵张量积AB的定义基矢 [lbmn, bm)= |bn)[bm)n=1,..m=1,..，dimH= (dimH1) (dimH2)aiBa12BaINB任意态1b)=cnmlbn,bm)，CnmECQ21Ba22Ba2NB：:aNiBaN2BaNNB?: Hi@H2→H1@H2,A: H1→H1,B: H2→H2算符类似地有失量的张量积。例如[3bn,3m)→2[3bn,m)=(A[3bn))(B[3bm)aib1aib2a2bi)，[1)=[ +)=(例：二元体系。单粒子自旋≥分量S，的本征态记为10)=1个)=a2b2双粒子系统的自旋本征态构成4维Hilbert空间的基底，有张量积形式0(0)00100[11) =[4)=[00)=[个个)三[01) 三[↑4) =[10)= |+↑) =00010010
张量积 例：二元体系。单粒子自旋 z 分量𝑆መ 𝑧 的本征态记为 ， 双粒子系统的自旋本征态构成4维Hilbert空间的基底，有张量积形式 例：复合Hilbert空间 。 m 维线性空间V的基底 ȁ𝑖⟩ ȁ 𝑖 = 1, . , 𝑚 ，n 维线性空间W的基底 ȁ𝑗⟩ ȁ 𝑗 = 1, . , 𝑛 ，张量积空间𝑉⨂𝑊是 𝑚 × 𝑛 维，基底为 ห𝑖𝑗⟩ ≡ ȁ𝑖⟩⨂ȁ𝑗⟩ ȁ 𝑖 = 1, . , 𝑚; 𝑗 = 1, . , 𝑛 。算符A作用于空间V，算符B作用于空间W，则复合空间 上的算符作用为 ， 基矢 任意态 算符 矩阵张量积 矩阵张量积𝐴 ⊗ 𝐵 的定义 类似地有矢量的张量积。例如
口算符的函数厄米算符A的函数f(A)定义为谱分解为对角形式f(A) = Ef (an) An) (An/ - if(0) + Af(0) + A2 "(0)2!n!Q2Qexp(αA) =I+αA -对非厄米算符也成立2!n!exp(-iC)A exp(iC) = A - i[C, A] - [(C,[C, Al] + [C,[C,[C, AlI + tr(ABC) = tr(BCA)= tr(CAB), det (e4) = etr(A) , tr(Aβ B)= tr(A)tr(B), [tr(AB)*= tr[BtAt)重要的儿命题6：Pauli矩阵函数女(n)=expia(n·o))=Icosa+i(n·α)sina何意义(a.α)(b.) = (a.b)I+i(axb).onr-inynzEnoi=proofn.g=(n.)2=Ina+iny-nz[n| = 1i=a,y,z(ia)2(ia)nexp [ia(n ·0)] =I+ (ia)(n .0)2!n!Q5Q3a2a4=Icos a + i(n:o) sina Q.E.D= I(1inga十4!5!2!3!
谱分解为对角形式 算符的函数 厄米算符𝐴መ 的函数 𝑓(𝐴መ) 定义为 对非厄米算符也成立 proof Q.E.D 命题6：Pauli矩阵函数 重要的几 何意义
群的概念注：转动和幺正群所有幺正（变换）n×n矩阵构成一个群U（n）群G是定义了某种“乘法”规则的集合（a,b.c.），满足进一步要求矩阵行列式为1，关注(specialunitary）子群SU(n)，群元素U=eiH其1.封闭性：若a,bEG，则c=abEG中H是n×n无迹的厄米矩阵【1=detU=eitr(H)trH=d2. 结合性:a(bc)=(ab)cSU (2)3.单位元：对每一个aEG，存在(1). =(° ), 0=()=群元e，满足ea=ae=acos oisin号U=ei0-0/21024.逆元：对每一个aEG，存在群isincOs2za-iyH-rdet H = det H元a，满足aal=aa=ecos3a+iy-2sinUy=eioyb/2业2-sincOs=2+2+22=/2+y2+222H→H'-UHUe0U,=e10:0/2T'=RTe-0RTR=I1001Rr=eiJe0COS Φsin@U=eige/2R=eJe(UR)0-singcosd000cosbsinRy=eiJy0100SO (3)sincOs3维转动群（specialorthogonal)cOsGsing0JR=eiJ.ocos00sin代数生成元[ox,y,oz]、(xJy,Jz]，满足001[0x/2,0%/2]=ioz/2、VxJ]=iz
注：转动和幺正群 ⇨ 所有幺正（变换）𝑛 × 𝑛 矩阵构成一个群 U(n) 群的概念 群G是定义了某种“乘法”规则 的集合 (a, b, c, .)，满足 1.封闭性: 若a,b∈G，则c=ab∈G 2. 结合性: a(bc)=(ab)c 3. 单位元: 对每一个a∈G，存在 群元 e，满足ea = ae = a 4. 逆元: 对每一个a∈G，存在群 元 a −1，满足aa−1 = a−1a = e 进一步要求矩阵行列式为1，关注 (special unitary) 子群 SU(n)，群元素 ，其 中 H 是𝑛 × 𝑛 无迹的厄米矩阵 【 】 SU (2) SO (3) 3维转动群(special orthogonal) 代数生成元{𝜎𝑥, 𝜎𝑦,𝜎𝑧 }、 𝐽𝑥,𝐽𝑦,𝐽𝑧 ，满足 𝜎𝑥/2,𝜎𝑦/2 = 𝑖𝜎𝑧/2、 𝐽𝑥,𝐽𝑦 = 𝑖𝐽𝑧