2.二叉模型与 Black- Scholes模型的二叉近似 叉模型 二叉模型(Cox- Ross-Rubinstein模型-相当于离散的 Black-Scholes模型)与风险中性概率 二叉模型考虑的是时间离散情形,它比 Black-Scholes模型更适合于实际拟合与模拟计 算.设银行利率为R(注意离散时间的利率与连续实际的利率之间有一个折合关系),即存 在银行的资金的增长为 Sn1=(1+R)S0 (13.36) 假定风险证券价格的增长为 Smi=(1+nu)s 其中切n}是独立同分布的随机变量列,且 n (0<a<b,0<p<1) p 1-p S (13.37) P P 此时,证券在时刻t=0的折现价格为 (1+R) S S 由 Black- Scholes模型启示,无套利相当于对于-存在一个风险中性的概率分布 b P P (P称为公平概率,对应于事件类4上定义的风险中性概率P'()),它使风险证券的折现 价格S关于P是鞅列,即 E"(SnH|Sn,…,So)=S 定理13.13当且仅当在a<1+R<b时,公平概率p存在唯一,在条件成立 时有 (13.39) 383
383 2. 二叉模型与 Black-Scholes 模型的二叉近似 ２．１ 二叉模型 二叉模型(Cox-Ross-Rubinstein 模型–相当于离散的 Black-Scholes 模型)与风险中性概率. 二叉模型考虑的是时间离散情形, 它比 Black-Scholes 模型更适合于实际拟合与模拟计 算. 设银行利率为 R (注意离散时间的利率与连续实际的利率之间有一个折合关系)， 即存 在银行的资金的增长为 0 0 1 (1 ) n n S = + R S + . (13. 36) 假定风险证券价格的增长为 Sn n Sn (1 ) +1 = +h , 其中{ } hn 是独立同分布的随机变量列, 且 ,(0 ,0 1) 1 1 ~ < < < < ÷ ÷ ø ö ç ç è æ - + a b p p p a b hn , 即 ÷ ÷ ø ö ç ç è æ - + p p a b S S n n 1 ~ 1 , (13. 37) 此时, 证券在时刻t = 0 的折现价格为 n n n S R S (1 ) 1 ~ + = D . (13. 38) 由 Black-Scholes 模型启示, 无套利相当于对于 n n S S +1 存在一个风险中性的概率分布 ÷ ÷ ø ö ç ç è æ - * * p 1 p a b ( * p 称为公平概率，对应于事件类 F 上定义的风险中性概率 ( ) * P × ), 它使风险证券的折现 价格 ~ n S 关于 * P 是鞅列, 即 n n E S n S S S ~ 0 ~ ~ 1 ~ * ( + | ,L, ) = . 定理１３．１３ 当且仅当在 a <1+ R < b 时, 公平概率 * p 存在唯一，在条件成立 时有 b a b R p - - + = (1 ) * 。 (13. 39)
证明由于{}的独立同分布性推出 叫与{Sn,…,So}是相互 1+R s 独立的.于是 从而有 1=E'(叫)=,p b (1-p) 1+R1+R 解出p b-(1+R) b-a 所以,为了使0<p<1必须满足a<1+R<b.】 二叉模型下的欧式未定权益的定价 由处理 Black-Scholes模型的经验,我们可以假定未定权益∫(Sx)在时刻n(<N)的 价格为Vn=(n,Sn)我们沿用套期方法计算它.设在时刻n卖空此未定权益,并待定买进 △n张标的证券,并把此投资组合的价值记为Xn,则 X=△S-V 在S已知的条件下,要用此投资组合来抵销在时刻n+1由吐带来的随机性.由自融资 假定,此投资组合在时刻n+1的价格应为 X+1=A,+l-Im+1-4,S Sn+_v(n+1,sm sa (13.40) 为了使后者不再随机,就是要使它的取值不再依赖于a,b,也就应该有 △nSna-V(n+1,aSn)=△nSnb-(n+1,bSn) 为了保证这个等式成立,我们只需把待定的A取为 V(n+1,bS)-v(n+laS,) (13.41) 利用无套利假定,这个消失了随机性的投资组合的时间发展应该按银行利率进行: Xm1=(1+r)X (13.42) (如果取不等号就会如 Black-Scholes模型时的推导那样出现套利,于是我们有 X X (△,Sna-V(n+1,aSn 1+R 1+R
384 证明 由于 { } 1 n n S S + 的独立同分布性推出 n n n n S S R S S 1 ~ 1 ~ 1 + 1 + + = 与{ , , 0 } ~ ~ S n L S 是相互 独立的. 于是 = ( + | , , 0 ) = ~ ~ 1 ~ * ~ S E S S S n n n L ( | , , ) ( ) ~ 1 ~ * ~ 0 ~ ~ ~ ~ 1 ~ * n n n n n n n S S S S S S E S S E + + L = ． 从而有 (1 ) 1 1 1 ( ) * * ~ 1 ~ * p R b p R a S S E n n - + + + = = + , 解出 b a b R p - - + = (1 ) * , 所以，为了使0 1 * < p < 必须满足 a <1+ R < b． 】 二叉模型下的欧式未定权益的定价 由处理 Black-Scholes 模型的经验，我们可以假定未定权益 ( ) S N f 在时刻n(< N) 的 价格为 ( , ) n n V V n S D = . 我们沿用套期方法计算它．设在时刻n 卖空此未定权益，并待定买进 Dn张标的证券，并把此投资组合的价值记为 Xn , 则 Xn = Dn Sn -Vn ． 在 Sn 已知的条件下， 要用此投资组合来抵销在时刻n +1由 n n S S +1 带来的随机性．由自融资 假定, 此投资组合在时刻n +1的价格应为 Xn+1 = Dn Sn+1 -Vn+1 ( 1, ) 1 1 n n n n n n n S S V n S S S S + + = D - + ． (13. 40) 为了使后者不再随机，就是要使它的取值不再依赖于a,b ， 也就应该有 ( 1, ) Dn Sn a -V n + aSn ( 1, ) = Dn Sn b -V n + bSn ． 为了保证这个等式成立， 我们只需把待定的Dn取为 n n n n b a S V n bS V n aS ( ) ( 1, ) ( 1, ) - + - + D = ． (13. 41) 利用无套利假定，这个消失了随机性的投资组合的时间发展应该按银行利率进行： Xn R Xn (1 ) +1 = + (13. 42) (如果取不等号就会如 Black-Scholes 模型时的推导那样出现套利). 于是我们有 ( ( 1, ) 1 1 1 1 n n 1 n n n S a V n aS R X R X D - + + = + = +