《应用随机过程教程》教学资源（参考资料）与在算法和智能计算中的应用——第13章 金融证券未定权益的定价

记为S=e"S,(在初始时刻的等价价格,相当于将一切资产都折合到初始时刻考虑).用 Ito公式得 ds=d(e s,=res, dt +e s, (rdt +odB =o S dB (13.19) 由此可见对风险中性概率P而言,风险证券的折现价S是随机微分方程(13.19)的 解,由例12.57,此方程的唯一解是 这正是B,的一个指数鞅.因为鞅在时间进行中体现了公平的发展,在时刻7的未定权益 f(Sx)在初始时刻的折现价为∫=ef(e"Sr),并且鞅性质体现为,时刻t的价格在初 始时刻的折现价V=e应该是E'(f|B,S≤1),即 V=E"(f|B,s≤D) (13.21) 于是 v, =e"e(e f(e"ST)lB,, s<t) PET(S )|B,,s≤ 再利用条件期望的公式,并令n= Br-B 则对应于概率P有n~N(0,1).故而 V,=LewE((xe(B-B),S, expl(r-2- k-t) le-rd-tE'((xeaNT-i7)) h∫f(sWm,“,, )e2d=(1,S), 其中 V(t, x) 它正好是带终端条件的 Black-Scholes偏微分方程的解(13.16). 推论13.7对于远期合约f(x)=x,由 Black-Scholes公式得到它在时刻l(t<T) 的价格为F(1,S,)=S1,恰好就是标的风险证券的市价 推论13.8对于欧式看涨期权(对应于∫(x)=(x-K)),它在时刻(t<T)的 378

378 记为 t rt S t e S - D = ~ (在初始时刻的等价价格, 相当于将一切资产都折合到初始时刻考虑). 用 Ito 公式得 t t t t rt t rt t rt d S t d e S re S dt e S rdt dB S dB ~ ~ = ( ) = - + ( +s ) =s - - - . (13. 19) 由此可见对风险中性概率 * P 而言, 风险证券的折现价S t ~ 是随机微分方程（１３．１９）的 解，由例１２．５７，此方程的唯一解是 t t B St S e s s - + = 2 0 ~ ~ 2 ， (13. 20) 这正是 Bt 的一个指数鞅． 因为鞅在时间进行中体现了公平的发展, 在时刻T 的未定权益 ( ) ST f 在初始时刻的折现价为 ( ) ~ ~ T rT rT f e f e S - D = , 并且鞅性质体现为, 时刻t 的价格在初 始时刻的折现价 t rt Vt e V - D = ~ 应该是 ( | , ) ~ * E f B s t s £ ，即 = ~ Vt ( | , ) ~ * E f B s t s £ ． (13. 21) 于是 ( ( ) | , ) ~ * V e E e f e S B s t s T rt rT rT t = £ - [ ( )| , ] )( ) 2 ( ) ( ( ) * 2 e E f S e B s t s B B r T t t r T t t t = £ - + - - - - s s . (13. 22) 再利用条件期望的公式, 并令 T t BT Bt - - = D h , 则对应于概率 * P 有 h ~ N(0,1) . 故而 )( )] 2 exp[( ( ) * ( ) [ ( ( )] 2 x S r T t r T t B B t t T t V e E f xe = - - - - - = s s )( )] 2 exp[( ( ) * ) [ ( ( )] 2 x S r T t r T t T t t e E f xe = - - - - - × = s s h e f S e e du u r T t T t u t r T t 2 )( ) 2 ( ( ) 2 2 ( ) 2 1 - - + - × - - - ò = s s p ( , ) t V t S 记为 = , 其中 V(t, x) e f xe e du u r T t T t u r T t 2 )( ) 2 ( ( ) 2 2 ( ) 2 1 - - + - × - - - ò = s s p . 它正好是带终端条件的 Black-Scholes 偏微分方程的解(13. 16)． 推论１３．７ 对于远期合约 f ( x ) = x , 由 Black-Scholes 公式得到它在时刻t(t < T ) 的价格为 t St F(t,S ) = , 恰好就是标的风险证券的市价. 推论１３．８ 对于欧式看涨期权（对应于 + f (x) = (x - K) ）, 它在时刻t(t < T ) 的

价格的公式可以简化为 F(L,S,)=x(d, (x)-Ke-uwop(d,(x)) 其中 K)+(+2X=0) g(m)+(r-(T-1 d1(x)= d2( dp(x)= e2d(在通常的金融文献中记为N(x)是为标准正态分布的分布函数 此时应该套期的风险证券的数量为 △ lrss =lo(d,(x))+xe d,'(x)-Ke-ru-e d2'(x)]s=d(d1(S1) 推论1③,9由平权关系便得到欧式看跌期权(对应于∫(x)=(K-x))在时刻 (1<T)的价格 F(t,S,)=Ke -r(wap(-d,(x)-xa(d, (x)) 此时应该套期的风险证券的数量为 △ =-d(-d1(S,) 注]如果不用风险中性的 Black- Scholes模型,而是用带收益率μ的 Black- Scholes模型,那么类似地 用Io公式,可得证券的折现价格S,满足的方程为 d st=S,o(dB,+ 作 Girsanov变换B'=B1+—1,则对于乎中的任意事件A,只要它的信息完全可由{B,:S≤ 确定,就定义它的一个新概率P为 P(A)=E(l4e° 上B可)) 于是由 Girsanov定理(定理12.69),在新概率P下,B是一个 Brown运动.从而重新得到 dS;=S1σ·dB.这正好是风险中性的 Black-Scholes模型而概率P'就是风险中性概率.这是从另 一个角度得到同样的结果 币值单位与随机折现因子方法 定义13.10设某个风险证券在时刻t的价格为S又若存在另一个正值随机过程M,使得 379

379 价格的公式可以简化为 ( , ) ( ( )) ( ( )) 2 ( ) 1 F t S x d x Ke d x r T t t = F - F - - , 其中 T - t r T t K x d x s s )( ) 2 log( ) ( ( ) 2 1 + + - = , T - t r - T - t K x d x 2 s s )( ) 2 log( ) ( ( ) 2 + = , e du 2 1 (x) 2 u - x - 2 ò ¥ F = p (在通常的金融文献中记为 N( x ) ) 是为标准正态分布的分布函数. 此时应该套期的风险证券的数量为 t x St d x r T t d x t x S d x xe d x Ke e d x x F = - - - - = = F + - ¶ ¶ D = | [ ( ( )) '( ) '( )] 2 2 ( ) ( ) 1 2 ( ) 1 2 2 2 1 ( ( )) = F d1 St ． 推论１３，９ 由平权关系便得到欧式看跌期权（对应于 + f (x) = (K - x) ）在时刻 t(t < T ) 的价格 ( , ) ( ( )) ( ( )) 2 1 ( ) F t S Ke d x x d x r T t t = F - - F - - - . 此时应该套期的风险证券的数量为 x St t x F = ¶ ¶ D = | ( ( )) = L = -F -d1 St ． [注] 如果不用风险中性的Black-Scholes 模型, 而是用带收益率 m 的Black-Scholes 模型, 那么类似地 用 Ito 公式, 可得证券的折现价格 ~ t S 满足的方程为: ( ) ~ ~ dt r d S S dBt t t s m s - = + . 作Girsanov 变换 t r B Bt s m - = + * , 则对于F 中的任意事件 A , 只要它的信息完全可由{B : s t) s £ 确定, 就定义它的一个新概率 * P 为 ( ) ( ) 2 2 1 * t r B r A t P A E I e ÷ ø ö ç è æ - - - - = s m s m ． 于是由 Girsanov 定理（定理１２．６９）, 在新概率 * P 下, * B 是一个 Brown 运动． 从而重新得到 * ~ ~ t d S t = S t s × dB . 这正好是风险中性的 Black-Scholes 模型. 而概率 * P 就是风险中性概率. 这是从另 一个角度得到同样的结果． * 1．. 4 币值单位与随机折现因子方法 定义１３．１０ 设某个风险证券在时刻 t 的价格为 St . 又若存在另一个正值随机过程 Mt 使得

是一个鞅,则称M,为证券S,的币值单位(更一般一些,在理论上只要S是一个局部鞅,也 就是存在一个停时(S)序列τn个,使对于固定的n,{S灬n:t≥0}是鞅.这里,鞅和局部鞅 都代表在统计平均意义下不随时间增值的资金流) 从直观看,资本的价值是随着时间增值的,币值单位M1就体现了该证券的价格的时间增值,即在 =0时的1元钱,经过单个证券S,的市场因素的作用,在时刻t的实际价值相当于M,元又因为市场是 随机的,所以币值单位也是随机的量(随机过程,这就体现了一元钱的时间价值 定义13.11 M 称为随机折现因子,因为N,是1除以币值单位,所以它就相当于把随机因素考虑进去以后的随机折现因 对于 Black- Scholes模型的币值单位,我们有下面的命题 命题13.12假定证券在时刻t的价格S,满足 Black- Scholes模型 =S, (udt+odB, (13.24) 那么 (13.25) 就是S,的币值单位,其中r是银行利率,而 (13.26) 证明对于L用Io公式得到 (1B) (dG(t1B,)2 =e[4-dB+(4-)3ah 于是M,及N,=—满足的随机微分就分别为 M dM,=re"dIl, +"dL, =rM, dt+M, --dB,+(-)2dn M1(+( Jdt dB,) 380

380 t t t M S S D = ~ 是一个鞅, 则称 Mt 为证券 St 的币值单位 ( 更一般一些, 在理论上只要S t ~ 是一个局部鞅, 也 就是存在一个停时（St） ~ 序列t n ­ ¥ , 使对于固定的 n , { : 0} ~ S tÙt n t ³ 是鞅. 这里， 鞅和局部鞅 都代表在统计平均意义下不随时间增值的资金流)． 从直观看, 资本的价值是随着时间增值的, 币值单位 Mt 就体现了该证券的价格的时间增值, 即在 t = 0 时的1元钱, 经过单个证券 St 的市场因素的作用, 在时刻t 的实际价值相当于 Mt 元. 又因为市场是 随机的, 所以币值单位也是随机的量(随机过程), 这就体现了一元钱的时间价值. 定义１３．１１ t t M N 1 D = (13. 23) 称为随机折现因子, 因为Nt 是 1 除以币值单位, 所以它就相当于把随机因素考虑进去以后的 ”随机折现因 子”. 对于 Black-Scholes 模型的币值单位， 我们有下面的命题. 命题１３．１２ 假定证券在时刻t 的价格 St 满足 Black-Scholes 模型 ( ) dSt = St mdt +sdBt . (13. 24) 那么 t rt Mt = e L , (13. 25) 就是 St 的币值单位，其中r 是银行利率，而 ( , ) ( ) 2 1 2 2 t t G t B t r B r t L e e D - + - D = = s m s m ． (13. 26) 证明 对于 Lt 用 Ito 公式得到 ( , ) ( , ) 2 ( ( , )) 2 1 ( , ) t G t B t G t B dLt e dG t B e dG t B t t = + [ ( ) ] ( , ) 2 dt r dB r e Bt G t s m s m - + - = . 于是 Mt 及 t t M N 1 D = 满足的随机微分就分别为 [ ( ) ] 2 dt r dB r dM re dtL e dLt rM t dt Mt t rt t rt t s m s m - + - = + = + ([ ( ) ] ) 2 t t dB r dt r M r s m s m - + - = +

dM,+3(dM,) ([r+(-)]dt ° dB)+.M2(2-)2 N, (rdt 即N,所满足的随机微分方程为 dN,=N,(-rdt--dB (11.27) 再用Ito公式得到 d (s, N,=s,dN,+N, ds, +ds, dN =S, N, (-rdt-A-rdB, )+N, S, (udt +odB, )+SoN, (-)dt S, N, (o-A-l)dB 由例12.57可知,M=SN,是一个指数鞅,命题得证 既然SS 随时间的发展体现了一个”公平博弈”,由此可得到,一般的欧式未定权益Xr在 <T)的合理定价,即对于折现价格M,+X,应该有 V=E(Xr|B,s≤D) 从而得到一般的定价公式 2=M,E(211B,s50)=e"LE(xc1B,s≤50) (13.28) 1.5倒向随机微分方程方法 设风险证券的价格过程为S,将由它衍生的欧式未定权益∫(S)在t时刻的价格记为5,利用套 期的想法,在时刻“虚拟”地待定卖出n,张标的风险证券(这里n2可以负,此时表示买进),使余下的部 分不再有风险.在“卖出”了n,张风险证券后的投资组合为51-n,S由自融资假定,在时刻t+dt这 个投资组合的价值变为5d-n2Sd·又因为要求它是无风险的,所以它应该相当于时刻t的资产 5-n2S存进银行中到时刻t+dt的资产,即

381 2 2 3 ( ) 1 1 t t t t t dM M dM M dN = - + dt r M M dB r dt r r M t t t t 2 2 3 2 ( ) 1 ([ ( ) ] ) 1 s m s m s m - + - + - = - + ( ) t t dB r N rdt s m - = - + . 即 Nt 所满足的随机微分方程为: ( ) t t t dB r dN N rdt s m - = - - . (11. 27) 再用 Ito 公式得到 d StNt = St dNt + Nt dSt + dSt dNt ( ) dt r dB N S dt dB S N r S N rdt t t t t t t t t ( ) ( ) ( ) s m m s s s m - + + + - - = - - t t t dB r S N ( ) s m s - = - . 由例１２．５７可知， t t t t S N M S = 是一个指数鞅．命题得证． 既然 t t t M S S D = ~ 随时间的发展体现了一个 ”公平博弈”， 由此可得到, 一般的欧式未定权益 XT 在 t(< T ) 的合理定价Vt , 即对于折现价格 t t t M V V D = ~ , T T T M X X D = ~ , 应该有 ( | : ) ~ ~ V E X B s t t = T s £ ． 从而得到一般的定价公式 ( | B ,s t) M X V M E s T T t = t £ | , ) 1 ( B s t L e L E X e s T rT t T rt = £ - . (13. 28) 1. 5 倒向随机微分方程方法 设风险证券的价格过程为 St ．将由它衍生的欧式未定权益 ( ) ST f 在t 时刻的价格记为 t x . 利用套 期的想法，在t 时刻“虚拟”地待定卖出 nt 张标的风险证券(这里nt 可以负，此时表示买进)，使余下的部 分不再有风险. 在“卖出”了nt 张风险证券后的投资组合为 t - nt St x . 由自融资假定, 在时刻t + dt 这 个投资组合的价值变为 t +dt - nt St +dt x . 又因为要求它是无风险的, 所以它应该相当于时刻 t 的资产 t - nt St x 存进银行中到时刻t + dt 的资产，即

Sd=(1+rt1-n,S,) 用d51,dS,分别代替5d-5;,Sat-S,后,上式成为 n, S,)dt 再用dS1=S,(pd+odB,)代入,并把总的套期的价值记为 .=n.S 那么,我们就得到下述的倒向随机微分方程 d2;=(r5+(-r川1)dt+a·v,dB1 13 5r=f(S) (13.33) 注意,这里是一个方程,一个终端条件,两个未知的随机过程(51,17).这是倒向随机微分方程所特有的 这一点是与普通(正向的)随机微分方程是绝然不同的.正向的随机微分方程对一个初始条件,在一个未知 随机过程时有唯一解,而倒向随机微分方程对一个终端条件,只有在两个未知过程时,才可能存在唯一解 (,F).这里,5是证券在时刻t的价格,而V则是在时刻的套期数量 在数学上,倒向随机微分方程与经典的情形的不同的是,要求解(,V)是(B,)可知的.彭实戈等 人的一般理论指出:只要满足Ef(S)2<∞,方程13.32)在(13.3)条件下存在唯一的解(,V)于 是这时50(它将是常数,不再随机)是欧式未定权益f(Sr)在开始时刻t=0时的贴水.倒向随机微分方 程的有效而快速的数值解法,目前是研究的关心点之 1.6时变的 Black-Scholes模型 设风险证券在时刻的价格S满足 =S, (u(odt +o(odB,) (13.34) 其中μ(t),σ(t)>0)是非随机的函数,分别代表证券的时变收益率与波动率.基于这种模型 的证券的欧式未定权益的定价,在用上述4种方法中的任意一种后,都可以最后得到 (,x)=e-(-0 (r(s)--)ds+a(sls-2 f∫(x (13.35) 从而,贴水为 x2 p(S)=e-7-1 V2r jf(soe 382

382 t +dt - nt St +dt x (1 )( ) t ntSt = + rdt x - . (13. 29) 用d t dSt x , 分别代替 t dt t x - x + , St+dt - St 后，上式成为 d n dS r n S dt t t t t t t x - = (x - ) . (13. 30) 再用 ( ) dSt = St mdt +sdBt 代入，并把总的套期的价值记为 Vt = nt St . (13. 31) 那么, 我们就得到下述的倒向随机微分方程: t t Vt dt VtdBt dx = (rx + (m - r) ) +s × , (13. 32) ( ) T ST x = f . (13. 33) 注意, 这里是一个方程, 一个终端条件, 两个未知的随机过程 ( , ) t Vt x . 这是倒向随机微分方程所特有的. 这一点是与普通(正向的)随机微分方程是绝然不同的. 正向的随机微分方程对一个初始条件，在一个未知 随机过程时有唯一解，而倒向随机微分方程对一个终端条件，只有在两个未知过程时, 才可能存在唯一解 ( , ) t Vt x ． 这里， t x 是证券在时刻t 的价格, 而Vt 则是在时刻t 的套期数量. 在数学上, 倒向随机微分方程与经典的情形的不同的是, 要求解 ( , ) t Vt x 是( ) Bt 可知的. 彭实戈等 人的一般理论指出: 只要满足 < ¥ 2 ( ) Ef ST ， 方程(13. 32 )在(13. 33)条件下存在唯一的解( , ) t Vt x . 于 是这时 0 x (它将是常数, 不再随机) 是欧式未定权益 ( ) ST f 在开始时刻 t = 0 时的贴水. 倒向随机微分方 程的有效而快速的数值解法, 目前是研究的关心点之一. 1．6 时变的 Black-Scholes 模型 设风险证券在t 时刻的价格 St 满足 ( ( ) ( ) ) t t dBt dS = S m t dt +s t , (13. 34) 其中 m(t),s (t)(> 0) 是非随机的函数，分别代表证券的时变收益率与波动率. 基于这种模型 的证券的欧式未定权益的定价, 在用上述 4 种方法中的任意一种后，都可以最后得到 V(t, x) e f xe e dz z s ds z T t ds s r s r T t T t T t 2 ( ) 1 ) 2 ( ) ( ( ) ( ) 2 2 ( ) 2 1 × - - - + - - ò ò = ò s s p ． (13. 35) 从而，贴水为 (0, ) V S0 e f S e e dz z s ds z T ds s r s rT T T 2 ( ) 1 ) 2 ( ) ( ( ) 0 2 0 2 0 ( ) 2 1 - + × - - ò ò = ò s s p ．