例6改变积分“∫2af(x,yn(a>0) 的次序 解 y=√2ax-x2→x=a±ya2-y 2 原式=小"(x,y) 2a 2a 2a +dy f(x,y)x+」吵y f(x, y) +√a-y 2
例 6 改变积分 ( , ) ( 0) 2 0 2 2 2 − dx f x y dy a a ax ax x 的次序. y = 2ax 解 = a a− a − y a y dy f x y dx 0 2 2 2 原式 2 ( , ) + − + a a a a y dy f x y dx 0 2 2 2 ( , ) ( , ) . 2 2 2 2 + a a a a dy y f x y dx 2 y = 2ax − x 2 2 x = a a − y a 2a 2a a
例7求x2eacd,其中D是以(0)(, (0,1)为顶点的三角形 解“∫ed无法用初等函数表示 积分时必须考虑次序 [xe"dxdy=ady lo xe dx 0.40.60.81 2 e 3 6
例7 求 − D y x e dxdy 2 2 ，其中 D 是以(0,0),(1,1), (0,1)为顶点的三角形. − e dy y 2 解 无法用初等函数表示 积分时必须考虑次序 − D y x e dxdy 2 2 − = y y dy x e dx 0 2 1 0 2 dy y e y = − 1 0 3 3 2 2 1 0 2 6 2 dy y e y = − ). 2 (1 6 1 e = −
利用极坐标系计算二重积分 △a1=Gr+△)·△6 2 r:·△ 6=6.+△6 r+△ (2r1+△r)△r·△6 △o r+(r2+△ △r:△ 2 F·Ar·△日, A fs(x, y)dxdy=f(rcos B, rsin O)rdrd@
A o D i i r = r i i r = r + r = i + i = i i i i i i i = r + r − r 2 2 2 1 ( ) 2 1 i i i i = (2r + r )r 2 1 i i i i i r r r r + + = 2 ( ) , i i i = r r ( , ) ( cos , sin ) . = D D f x y dxdy f r r rdrd 三、利用极坐标系计算二重积分