如果积分区域为:c≤y≤d,q1(y)sx≤卯2(y Y一型] x=q1( x=φ1(y) D x=2(y) D x=p2(y) ∫(x,y=∫d φ2(y) f(a, y)dx. q1(y)
( , ) ( , ) . ( ) ( ) 2 1 = D d c y y f x y d dy f x y dx 如果积分区域为： c y d, ( ) ( ). 1 2 y x y ［Y－型］ ( ) 2 x = y ( ) 1 x = y D c d c d ( ) 2 x = y ( ) 1 x = y D
例3.计筧xydo,其中D是抛物线y2=x及直线 x-2所围成的闭区域 解:为计算简便,先对x后对y积分,y 则 D x≤y+2 4x 1≤y≤2 X +2 xydo= dy tax y+2 2 4 3 ccn d y(+2)]dy +2 1.61245 2-43 18
例3. 计算 d , D xy 其中D 是抛物线 所围成的闭区域. 解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分, D : xy d x D xyd − = 2 1 dy − + = 2 1 2 2 2 1 x y 2 dy y y − = + − 2 1 2 5 [ ( 2) ] d 2 1 y y y y D y = x 2 y = x − 2 2 −1 4 o y x y 2 2 y x y + −1 y 2 2 y y + 2 及直线 则
X型区域的特点:穿过区域且平行于y轴的直 线与区域边界相交不多于两个交点 Y型区域的特点:穿过区域且平行于x轴的直 线与区域边界相交不多于两个交点 若区域如图,则必须分割 在分割后的三个区域上分别 使用积分公式 ∫=」』∫+』+』
X型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直 线与区域边界相交不多于两个交点. Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直 线与区域边界相交不多于两个交点. 若区域如图， D3 D2 D1 在分割后的三个区域上分别 使用积分公式 . 1 2 3 = + + D D D D 则必须分割
、交换积分顺序 例4改变积分f(x,y)的次序 解积分区域如图 原式 ∫ y=1-x f∫(x,y)hx 0.2l0.40.60.81
y = 1− x 例 4 改变积分 − x dx f x y dy 1 0 1 0 ( , ) 的次序. 原式 − = y dy f x y dx 1 0 1 0 ( , ) . 解 积分区域如图 二、交换积分顺序
例5改变积分 2x-r 0 0 f(x,y)+nf(x,y的次序 解积分区域如图 2 =√2x 原式=小f(x,y
y = 2 − x 2 y = 2x − x 例 5 改变积分 − − + x x x dx f x y dy dx f x y dy 2 0 2 1 2 0 1 0 ( , ) ( , ) 2 的次序. 原式 − − − = 1 0 2 1 1 2 ( , ) y y dy f x y dx. 解 积分区域如图