还有许多应用不仅要求插值函数具有足够高阶的 整体光滑性,还要求在某些结点处转折灵活.例如若 干点处加载集中力的杆、梁或板弯曲.这就导致本节 要讨论的样条函数( Spline)插值. 数学里的样条( Spline)一词来源于它的直观几何 肖景:绘图员或板金工人常用弹性木条或金属条加压 铁(构成样条来绘制或者放样成光顺曲线或者曲面但 它之所以成为数值分析的标志性成果之一并且在数学 物理的广泛领域获得非常成功的应用,还在于它的明确 的物理背景.请看下面的例子
还有许多应用不仅要求插值函数具有足够高阶的 整体光滑性, 还要求在某些结点处转折灵活. 例如若 干点处加载集中力的杆、梁或板弯曲. 这就导致本节 要讨论的样条函数(Spline)插值. 数学里的样条( Spline )一词来源于它的直观几何 背景：绘图员或板金工人常用弹性木条或金属条加压 铁(构成样条!)来绘制或者放样成光顺曲线或者曲面.但 它之所以成为数值分析的标志性成果之一并且在数学 物理的广泛领域获得非常成功的应用,还在于它的明确 的物理背景.请看下面的例子. WuHan University
bM孔uve 例1.如图481,一均匀 弹性弦两端固定于两 y=y(x) 点4(a0),3图) 间[a取点列 0 xo -a b a=x<<x<l<x =b 图4.8.1 并在内结点集上分别给集中载荷 则载荷分布可表为 q(x)=q,j=12L,m-1 q=q(x) 6(x-x)= ∫1x=x q(x)=∑96(x-x 其中蹩集中于结点的点脉冲函数 X =x
例1.如图4.8.1,一均匀 弹性弦两端固定于两 点 , 在区 间 内取点列 图4.8.1 并在内结点集上分别给集中载荷 则载荷分布 可表为 其中 是集中于结点 的点脉冲函数. WuHan University x y 0 y y x = ( ) 0 x a = n x b = a b, A a B b ( ,0 , ,0 ) ( ) 0 1 2 n a x x x x b = = L ( ) , 1,2, , 1, j j q x q j n = = − L q q x = ( ) ( ) ( ) 1 1 , n j j j q x q x x − = = − ( x x − j ) j x x = ( ) 1, 0, i i x x x x otherwise = − =
bM孔uve 事实上,在小变形和均匀分布外力假设下,上述弦 的平衡问题的微分方程模型乃是两点边值问题 (a)=y(b)=0 现在是作用离散的集中力,此时弦达到平衡状态时 位移函数应满 q(x)=∑q6(x-x) (x)=∑q6(x-x)
事实上, 在小变形和均匀分布外力假设下,上述弦 的平衡问题的微分方程模型乃是两点边值问题 现在是作用离散的集中力,此时弦达到平衡状态时 位移函数 应满足 WuHan University y x( ) ( ) ( ) ( ) , , ; 0. y q x a b y a y b = = = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 , 0. n j j j n y x q x x y x y x − = = − = = ( ) ( ) 1 1 n j j j q x q x x − = = −
owenS 因此有 y(x)=0,xE(x-1,x,),j=1,2, L, n )=∑q(x-x) 这意味着: y(o)=y(,=0 在每一加载点x处y"(x)脉冲间断 >y(x)是阶梯函数; y(x)是分段线性的连续函数,在每一内结点转 折灵活 后面我们将指出,如此的y(x)便是一次样条 函数
因此有 这意味着: ➢ 在每一加载点 处 脉冲间断; ➢ 是阶梯函数; ➢ 是分段线性的连续函数, 在每一内结点转 折灵活. 后面我们将指出, 如此的 便是一次样条 函数． WuHan University y x( ) y x x x x j n ( ) = = 0, , , 1,2, , . ( j j −1 ) L j x y x ( ) y x ( ) y x( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 , 0. n j j j n y x q x x y x y x − = = − = =
bM孔uve 例2.考察梁弯曲方程 y=4,x∈(a, 与例1类似地加载集中力,只是两端点除给零位移 约束外还要加一阶或二阶导数约束于是集中力作用 下的梁弯曲方程成为 (x)=∑96(x-x) 此时我们得到 图4.8.2
例2. 考察梁弯曲方程 与例1类似地加载集中力,只是两端点除给零位移 约束外还要加一阶或二阶导数约束.于是集中力作用 下的梁弯曲方程成为 此时我们得到: 图4.8.2 WuHan University ( ) ( ) 4 y q x a b = , , . ( ) ( ) ( ) 1 4 1 n j j j y x q x x − = = − y x( ) a b