例:求(的Rey(o) 解:)=在1<∞内解析,所以二=0为f(2)的孤立 奇点,f()以二=为展开中心,在1<<∞的罗朗展开为 →C1=1Re(∞)=-C1=-1
例：求 ( ) 1z f z z = − 的 Resf ( ) ∞ 。 解： ( ) 1z f z z = − 在1< <∞ z 内解析，所以 z = ∞为 f z( ) 的孤立 奇点， f z( )以 z = ∞为展开中心，在1< <∞ z 的罗朗展开为 2 1 11 ( ) 1 ... 1 1 1 z f z z zz z = = =+ + + − − 1 C 1 ⇒ = − 1 Resf C () 1 ∞ =− =− −
四、关于留数和的定理 1,定理:若函数f2)除有限个孤立奇点外解析,则f2)在所有 奇点的留数之和为零: ∑ReSf()+ReSf(∞)=0 证明:作很多小圆周L1,L2…分别将有限远处奇点b,b2 包围起来,然后再作一个大回路L将所有L包围起来,则 乐/(k=∑5(k 改变L的积分方向并移项: 「/(k+∑5(=0
四、关于留数和的定理 1.定理：若函数 f(z )除有限个孤立奇点外解析，则 f(z )在所有 奇点的留数之和为零： 证明：作很多小圆周 分别将有限远处奇点 包围起来，然后再作一个大回路 L 将所有 包围起来，则 改变 L 的积分方向并移项： ∑Re ( ) + Re ( ∞ ) = 0 k k s f b s f L1 , L 2 ," b1, b 2 ," L k ∫ ∑ ∫ = L k L k f ( z )dz f ( z )dz ( ) + ( ) = 0 ∫L ∑ ∫ k L k f z dz f z dz
又: 4(2)dz=2ri Res f(bx) →∑5(k=∑27Re(h) 无穷远处的留数与沿L积分的关系: f(=27Res,( →2 iRes f(a)+2z∑Resf(b)=0 ∑Resf(b)+Resf)=0 求z=∞处留数的另一种方法;可将求许多有限点 的残数之和的问题转化为求无穷远点的留数问题
又： 无穷远处的留数与f(z)沿L积分的关系： ——求 处留数的另一种方法；可将求许多有限点 的残数之和的问题转化为求无穷远点的留数问题。 ( ) 2 Re ( ) k L f z dz i s f b k ∫ = π ⇒ ∑∫ = ∑ k k k L f z dz i s f b k ( ) 2π Re ( ) ( ) = 2 Re (∞) ∫ f z dz i s f L π Re ( ) Re ( ) 0 2 Re ( ) 2 Re ( ) 0 ⇒ + ∞ = ⇒ ∞ + = ∑ ∑ s f b s f i s f i s f b k k k π π k z = ∞
2.应用:先求出容易求的留数,再利用这个定理求比较 难求的留数。 例:求1)=2-1在各奇点的留数。 解:因f在1<<∞内解析,则z=∞的孤立奇点 又:z=土也是)的奇点 f(2)的奇点有:z=1,2=-1,2=0 e e Resf(1)=lim(z-1) →l 1+12 Resf(1)=lim(=+1)- e e Resf(oo)=-2Resf(b) e
2. 应用：先求出容易求的留数，再利用这个定理求比较 难求的留数。 例：求 2 ( ) 1 z e f z z = − 在各奇点的留数。 解：因 f(z)在 内解析，则 为 f(z)的孤立奇点 又∵ z = ±1也是 f(z)的奇点 ∴ f z( ) 的奇点有： zz z = =− =∞ 1, 1, (1) 2 1 (1) lim( 1) 1 11 2 z z e ee Resf z → z = − == − + (2) 1 2 1 1 ( 1) lim ( 1) 1 11 2 z z e e Resf z z e − → − − = + = =− − −− (3) 1 2 0 1 () ( ) 2 k k e Resf Resf b = e − ∞ =− =− ∑ 1< z < ∞ z = ∞
§4.2几种典型实积分的计算 留数定理的主要应用之一:计算某些实变函数定积分 原理:设法把实变函数定积分跟复变函数回路积分联 系起来。 把实变定积分联系于复变回路积分的要点: 1定积分∫f(x的积分区间[a]可以看作是复数 平面上的实轴上的一段L;
§4.2 几种典型实积分的计算 留数定理的主要应用之一：计算某些实变函数定积分 原理：设法把实变函数定积分跟复变函数回路积分联 系起来。 把实变定积分联系于复变回路积分的要点： 1.定积分 ( ) b a f x dx ∫ 的积分区间 [ a,b ]可以看作是复数 平面上的实轴上的一段 L1；