Rest( 2i) p(2) (z-2i +z (3)计算Res0) 方法一: Resf(0)=lim(z-0)f(z)=lima z→0 2+0(z-2i)22 方法二:a2=0是f=)的一阶极点,且( 1( (2-2)2( 0(-)=1,W(-)=(x-2i)z 满足:∞(0)=1≠0,=0为v(z)的一阶零点。 =00) (2-0)+2-2
2 (2 ) 1 (2 ) ( 2) 2 z i i Resf i ziz i ϕ = ∴= = − + (3)计算 Resf(0) 方法一： 0 0 1 1 (0) lim( 0) ( ) lim z z ( 2) 2 Resf z f z z → → z iz i = − = =− − 方法二： 是 f(z)的一阶极点，且 1 () ( ) ( 2) ( )z f z z iz z ϕψ = ⇒ − 满足： ，z=0 为 的一阶零点。 0 (0) 1 1 (0) ( 0) 2 2 z Resf z z ii ϕ = ∴ = = =− −+ − ϕ(z) = 1,ψ (z) = (z − 2i)z 0 a2 = ϕ(0) =1 ≠ 0 ψ (z)
sIn 例:求()=在奇点处的留数。 解:(1)奇点在z=z是可去奇点。因为mSn=0 由罗比达法则: COS lim f(z)=Ii =im 2→丌 2z一丌 可见有确定的极限,是可去奇点。 (2)对可去奇点,无负幂项,故 Res f(T)=0 (3)如果在z=展开f2),则: 2k+1 sinz sin(丌 Slnz-丌 2-丌 2-丌 2k+1) →aL1=0
例：求 sin ( ) z f z z π = − 在奇点处的留数。 解：(1)奇点在 z = π 是可去奇点。因为limsin 0 z z →π = 由罗比达法则： sin cos lim ( ) lim lim 1 zz z 1 z z f z z →→ → ππ π π = = =− − 可见有确定的极限，是可去奇点。 (2)对可去奇点，无负幂项，故 (3)如果在 展开 f(z)，则： ( ) ( ) 2 1 0 sin 1 ( ) sin sin ( ) ( 1) (2 1)!k k k z z z z f z zz z z k π π π ππ π π ∞ + = − − − = = =− =− − −− − − + ∑ 1 a 0 ⇒ = − Re s f (π ) = 0 z = π
以上讨论的是对于有限区域内的孤立奇点而言的,留 数的概念可以推广到无穷远点的情形。 、无穷远点的留数 若函数(2)在L的外部除∞点外解析,则 「,f(=2 TiRes f() 其中Resf(∞)=-a1称为函数f)在0点的留数,a1是 x)在点的无心邻域R<<∞的罗朗系数
以上讨论的是对于有限区域内的孤立奇点而言的，留 数的概念可以推广到无穷远点的情形。 三、无穷远点的留数 若函数 f(z ) 在 L 的外部除 点外解析，则 其中 称为函数 f(z ) 在 点的留数， 是 f(z ) 在 点的无心邻域 的罗朗系数。 ∞ ( ) = 2 Re ( ∞ ) ∫ f z dz i s f L π 1 Re ( ) ∞ = − a − s f ∞ a −1 ∞ R < z < ∞
证明:将f2)以∞点为中心展开成罗朗级数: f(2)=∑a12 (实际上:z=相当于在=0邻域内展开) 为计算fz)沿L的积分,以原点0为心作一个大圆CR, 则(2)在L与C2包围的闭复通区域D内是解析的。 由柯西定理: f()+4,f(2)z=0 →5(k=(k=∑5
证明：将 f(z)以∞点为中心展开成罗朗级数： ( ) k k k f z az ∞ =−∞ = ∑ (实际上： 相当于在 t=0 邻域内展开) 为计算 f(z)沿 L 的积分，以原点 o 为心作一个大圆 ， 则 f(z)在 L 与 包围的闭复通区域 内是解析的。 由柯西定理： t z 1 = CR CR D ∫ ∫ ∑ ∫ ∫ ∫ ∞ =−∞ ⇒ = − = − + = k C k k L C C L R R R f z dz f z dz a z dz f z dz f z dz ( ) ( ) ( ) ( ) 0
∑2i01=-2i1=2iRs(2) 注:(1)Resf()=-a1与有限远处奇点的留数定义不同 (2)奇点z=0是什么类型,是根据f=)在∞的无 心邻域的罗朗级数有没有或有多少正幂项来划分的, 所以可去奇点、极点、本性奇点都有可能有含二-的 项,也都可能没有含z-的项
,1 1 2 2 2 () k k k a i ia iResf πδ π π ∞ − − =−∞ =− =− = ∞ ∑ 注：(1) 与有限远处奇点的留数定义不同； (2) 奇点 是什么类型，是根据 f(z)在 的无 心邻域的罗朗级数有没有或有多少正幂项来划分的， 所以可去奇点、极点、本性奇点都有可能有含 的 项，也都可能没有含 的项。 1 Re ( ) ∞ = −a− s f z = ∞ ∞ −1 z −1 z