3.OLS回归函数的性质（第4版第13页）(4) Cov(u, , X) = 0Z(x-x)a,-Exu,-Ex u,-Exu只需证明=Zx(Y- βo- β X) = 0。上式为正规方程之一。(5) Cov(ü,,Y) = 0Z(Y-Y), -EY u,-Y a,-ZY, a只需证明=Z,(βo+β X)=βZu, +βZa,X,=0
3. OLS回归函数的性质 （第 4版第13页） (4) Cov( u t ˆ , Xt ) = 0 只需证明 ( Xt - X ) ut ˆ = Xt ut ˆ - X ut ˆ = Xt ut ˆ = Xt (Ytˆ - 0ˆ - 1ˆ Xt) = 0。 上式为正规方程之一。 (5) Cov( u t ˆ ,Ytˆ ) = 0 只需证明 (Ytˆ - Y ) ut ˆ = Ytˆ ut ˆ - Y ut ˆ = Ytˆ ut ˆ = u t ˆ ( 0ˆ + 1ˆ Xt ) = 0 ˆ ut ˆ + 1ˆ ut ˆ Xt = 0
4.最小二乘估计量β.和β,的特性（1）线性特性。这里指β。和β,分别是Y,的线性函数。E(X,-X)(Y,-) (X, -X)Y, -E(Xi-X)(Xt-X)YB-E(X, -X)?E(x,-X)?E(X, -X)2(X, -X)代入上式得B=ZkY令ki=E(x,-M)2'可见β,是Y,的线性函数，是β的线性估计量。同理β也具有线性特性。0利用上式（2）无偏性。E(β)=E(Zk,Y)=E[Zk(β+βX+u) =E(βZkfβZk,X,+Ek/u)=E[β,Zk;(X-X)] = β同理 E(βo)=β（第4版第18页）
（第4版第18页） 0 （1）线性特性。这里指 0 ˆ 和 1 ˆ 分别是 Yt的线性函数。 1 ˆ = − − − 2 ( ) ( )( ) X X X X Y Y t t t = − − − − 2 ( ) ( ) ( ) X X X X Y Y X X t t t t = − − 2 ( ) ( ) X X X X Y t t t 令 kt = − − 2 ( ) ( ) X X X X t t ，代入上式得 1 ˆ = kt Yt 可见 1 ˆ 是 Yt的线性函数，是1的线性估计量。同理0也具有线性特性。 （2）无偏性。 利用上式 E( 1 ˆ ) = E( kt Yt ) = E[ kt (0 + 1 Xt + ut ) ] = E ( 0 kt + 1 kt Xt + kt ut ) = E[1 kt (Xt - X )] = 1 同理 E( 0 ˆ ) = 0 4．最小二乘估计量 0 ˆ 和 1 ˆ 的特性
（第4版第19页）(3)最小方差性βo,β,的OLS估计量的方差比其他估计量的方差小。(4)一致性：若β渐近无偏性，且Lim Var(β)=0，则β具有一致性。随着T→80，如果β依概率收敛于β,，Lim P(β-β<)=1，则称β具有一致性。0注意：分清4个式子的关系。28(1)真实的统计模型，Y,=β+βX,+utY2420(2）估计的统计模型，Y,=βo+βX,+iY.=X16E(y)=o+Bix12(3）真实的回归直线，E(Y)=β+βX8-X4(4)估计的回归直线，,=β。+βX,40203050601070
(3) 最小方差性 0 , 1的OLS估计量的方差比其他估计量的方差小。 （第4版第19页） 注意：分清 4 个式子的关系。 (1) 真实的统计模型，Yt = 0 + 1Xt + ut (2) 估计的统计模型， Yt = 0 ˆ + 1 ˆ Xt +ut ˆ (3) 真实的回归直线，E(Yt ) = 0 +1Xt (4) 估计的回归直线， Yt ˆ = 0 ˆ + 1 ˆ Xt (4) 一致性：若 ˆ 渐近无偏性，且 ) ˆ V ( T T Lim ar → = 0，则 ˆ 具有一致性。 随着 T → ，如果 ˆ 依概率收敛于， ) 1 ˆ ( − = → Lim P T ，则称 ˆ 具有一致性
注意：当回归方程中去掉截距项β。（即回归直线过原点）时，O表示为Q= a,2= Z( -)2= ( -Bix,)2i=li-1i=l正规方程只剩下一个，T7aQ=2E(i-BX)(-X)= Z(,X, -Bx,2)-ZYX,-ZBix,2=0aβii=-1i=1i=1i-lZxyβZx?由于正规方程中没了约束（第4版第14页）TTZ(f-βo-βix)= Zu, =0i-li-1所以，没有截距项β.的OLS回归方程，不能保证残差和等于零
（第4版第14页） 注意：当回归方程中去掉截距项 0 ˆ （即回归直线过原点）时，Q 表示为， Q = = T i t u 1 2 ˆ = = − T i Yt Yt 1 2 ) ˆ ( = = − T i Yt Xt 1 2 1 ) ˆ ( 正规方程只剩下一个， 1 ˆ Q = 2 = − T i Yt Xt 1 1 ) ˆ ( (- Xt ) = = − T i Yt X t X t 1 2 1 ) ˆ ( = = = − T i t T i Yt Xt X 1 2 1 1 ˆ = 0 1 ˆ = 2 t t t X X Y 由于正规方程中没了约束 = − − T i Yt Xt 1 0 1 ) ˆ ˆ ( = = T i t u 1 ˆ = 0 所以，没有截距项 0 ˆ 的 OLS 回归方程，不能保证残差和等于零
5.Y,的分布和β,的分布根据假定条件ut~N(0,α2),E(Y) = E(βo + βX,+ u) = β + βX,+ E(u) = β + βXtcVar(Y) = Var (βo + βi X,+ u) = Var (βo + βi X) + Var (u) = α2Y,是ut的线性函数，所以 Y,~N(Bo+βiXr,2)。192可以证明E(β）=βi，Var（β）=Z(X, -x)?β是Y,的线性函数（β=Zk,Y)，所以1q2)β,~ N (β1,（第4版第27页）E(x,-x)2
（第4版第27页） 5．Yt的分布和 1 ˆ 的分布 根据假定条件 ut N (0, )， E(Yt ) = E(0 + 1Xt + ut ) = 0 + 1Xt + E(ut ) = 0 + 1Xt。 Var(Yt ) = Var (0 + 1Xt + ut ) = Var (0 + 1Xt ) + Var (ut ) = Yt是 ut的线性函数，所以 Yt N (0 + 1Xt , )。 可以证明 E( 1 ˆ ) = 1，Var ( 1 ˆ ) = − 2 ( ) 1 Xt X ， 1 ˆ 是 Yt的线性函数（ 1 ˆ = kt Yt），所以 1 ˆ N (1, − 2 ( ) 1 Xt X )