估计的模型。Y,=Y +u,=βo+β, X,+u最小二乘法的原则是以“残差平方和最小”确定直线位置设残差平方和用0表示，Q= Za2= (i-)2= (i-Bo-ix)2i=1i-1i=1求Q对β。和β,的偏导数并令其为零，得正规方程TaQ= 2 (Yf - βo - βiX,)(-1) = 0apoi=1TaQ2 Z(t -βo -β1XI)(-X) =0ap,（第4版第11页）i=1
估计的模型。 Yt =Yt ˆ + ut ˆ = 0 ˆ + 1 ˆ Xt +ut ˆ 最小二乘法的原则是以“残差平方和最小”确定直线位置。 设残差平方和用 Q 表示， Q = = T i t u 1 2 ˆ = = − T i Yt Yt 1 2 ) ˆ ( = = − − T i Yt Xt 1 2 0 1 ) ˆ ˆ ( 求 Q 对 0 ˆ 和 1 ˆ 的偏导数并令其为零，得正规方程 0 ˆ Q = 2 = − − T i Yt Xt 1 0 1 ) ˆ ˆ ( (-1) = 0 1 ˆ Q = 2 = − − T i Yt Xt 1 0 1 ) ˆ ˆ ( (- Xt ) = 0 （第4版第11页）
TZ(Yt -βo -βiX)= 0(3)i=lZ(t-Bo -BiX)Xi=0(4)i=1（3）式两侧用T除，并整理得，βo=-βX。把上式代入（4）式并整理，得，（第4版第13页）1Z[(Y, -Y)-βi(X, - X)]X,= 0i=1TT（课本上用英文小写字母表示离差）Z(Yf -Y)Xt -βZ(X, -X)X, =0i=1i=lZxi(t -Y)EX(Yt -Y)-Zx(Yt-Y)E(Xt -X)(Yf -Y)βE(X, -X)x,Z(X, -x)X, -Zx(X, -x)E(X, -X)2谁提出的OLS估计方法？
（第4版第13页） 谁提出的OLS估计方法？ = − − T i Yt Xt 1 0 1 ) ˆ ˆ ( = 0 (3) = − − T i Yt Xt 1 0 1 ) ˆ ˆ ( Xt = 0 (4) （3）式两侧用 T 除，并整理得， 0 ˆ =Y − ˆ 1 X 。 把上式代入（4）式并整理，得， ( )] ˆ [( ) 1 1 = − − − T i Yt Y Xt X Xt = 0 = = − − − T i t t T i Yt Y Xt X X X 1 1 1 ( ) ˆ ( ) = 0 1 ˆ = − − t t t t X X X X Y Y ( ) ( ) = − − − − − − ( ) ( ) ( ) ( ) X X X X X X X Y Y X Y Y t t t t t t = − − − 2 ( ) ( )( ) X X X X Y Y t t t （课本上用英文小写字母表示离差）
(C F Gauss, 1777-1855)CFGauss1809年提出OLS估计方法
（C F Gauss, 1777-1855） C F Gauss 1809年提出OLS估计方法
例题2.1 人均鲜蛋需求量Y与人均可支配收入X关系(file: li-2-1)DependentVariable:YY：千克Method:Least SquaresDate:02/12/07Time:08:46X：元Sample:1988 199820Includedobservations:1119-Prob.VariableStd.ErrorCoefficientt-Statistic1817c10.766161.3967367.7080870.0000X0.0050690.00200.0011834.28332816-15R-squared0.67089516.57273Meandependentvarx140.6343281.845042AdjustedR-squaredS.D.dependent var80090010001100120013001400150016001700S.E. of regression1.1157133.219829Akaike info criterion11.203333.292174Sum squared residSchwarz criterion15.7090618.34690Log likelihoodF-statistic1.320391Durbin-Watson statProb(F-statistic)0.002040OLS估计结果：Y;=10.7662+0.0051X（第4版第15页）
例题2.1 人均鲜蛋需求量Y与人均可支配收入X关系 OLS估计结果： Yi 0051Xi 10.7662 0. ˆ = + （第4版第15页） (file: li-2-1) Yt：千克 Xt：元
3.OLS回归函数的性质（第4版第13页）,Zi,=0(1）残差和等于零，由正规方程 2Z(Y-βo-β,X)(-1)=0得 Z(Y-βo-β,X)=Z(Y,-Y)=Z(u)= 0(2)估计的回归直线 ,=β。+β, X,过（x,）点。(Y,-βo-β,X)=0两侧同除样本容量T，得正规方程= βo+β X证毕。Y=Y.(3)yt的拟合值的平均数等于其样本观测值的平均数，=E,-Z(Bo+B X)=βo+BX=证毕
3. OLS回归函数的性质 （第4版第13页） (1) 残差和等于零， ut ˆ = 0 由正规方程 2(Yt - 0 ˆ - 1 ˆ Xt ) (-1) = 0 得 (Yt - 0 ˆ - 1 ˆ Xt ) = (Yt -Yt ˆ ) = ( ut ˆ ) = 0 (2) 估计的回归直线 Yt ˆ = 0 ˆ + 1 ˆ Xt 过（ X ,Y ）点。 正规方程 (Yt - 0 ˆ - 1 ˆ Xt ) = 0 两侧同除样本容量 T，得 Y = 0 ˆ + 1 ˆ X 证毕。 (3) yt 的拟合值的平均数等于其样本观测值的平均数，Yt ˆ =Y 。 Yt ˆ = T 1 Yt ˆ = T 1 ( 0 ˆ + 1 ˆ Xt ) = 0 ˆ + 1 ˆ X =Y 证毕