根的隔离 方程可能有多个实根,我们只能逐个求出来。 定义:设在区间[a,b]上方程有一个根,则称该区间 为方程的一个有根区间。若在区间[a,b上方程只有 个根,则称把方程的根隔离出来了 Remark:若能把有根区间不断缩小,则可以得出 根的近似值。 基于函数(x)的连续性质,常用的根的隔离的方法 有:函数作图法与试算法。 要找出方程的所有的根,要进行“根的搜索”。 返回 2004-11-22
2004-11-22 6 三、根的隔离 方程可能有多个实根，我们只能逐个求出来。 定义：设在区间[a,b]上方程有一个根，则称该区间 为方程的一个有根区间。若在区间[a,b]上方程只有 一个根，则称把方程的根隔离出来了。 Remark：若能把有根区间不断缩小，则可以得出 根的近似值。 基于函数f(x)的连续性质，常用的根的隔离的方法 有：函数作图法与试算法。 要找出方程的所有的根，要进行“根的搜索”。 返回
§7.1二分法(对分法) 算法 设f(x)在[ab]上连续,f(a)(b)<0且在a,b]内(x)=0 仅有一个实根x。二分法的基本思想是:逐步将 有根区间分半,通过判别函数值的符号,进一步 搜索有根区间,将有根区间缩小到充分小,从而 求出满足给定精度的根x的近似值。 具体算法: 记[ab为[a1b]。将区间[a1,b1分半,计算中点 (+b)以及函数值f(x)。 若f(x1)=0则x=x1。 2004-11-22 7
2004-11-22 7 § 7.1 二分法（对分法） 一、算法 设 在[a,b]上连续，f(a)f(b)<0且在[a,b]内f(x)=0 仅有一个实根 。二分法的基本思想是：逐步将 有根区间分半，通过判别函数值的符号，进一步 搜索有根区间，将有根区间缩小到充分小，从而 求出满足给定精度的根 的近似值。 f (x) * x * x 具体算法： ( ) 21 1 1 1 x = a + b ( )1 f x 记[a,b]为[a1,b1]。将区间[a1,b1]分半，计算中点 以及函数值 。 1 * 若则。 ( ) 0 x = x f x1 =
二分法(对分法)(续) 否则,若有f(x)f(a1)<0,则x∈[a1,x,令a2=a1,b2=x 或f(x1)f(b)<0,则x∈[x,b],令a2=x1,b2=h 新的有根区间[a2,b的长度b2-a2=,(b1-a)=(b-a) 再计算[a2,b2中点x2=22的函数值f(x2)。 若(x2)=0则x=x2。否则f(x2)f(a2)<0则x∈[a2x2], 令a3=a2,b=x2,或f(x2)f(b2)<0则x∈[x2h2, 令a3=x2b 新的有根区间{a3b的长度b2-a3=2(b2-a2)=n2(b-a 2004-11-22
2004-11-22 8 二分法（对分法）（续） 2 1 2 1 否则，若有 ，则 [ , ]，令 a = a ,b = x 1 1 * ( ) ( ) 0 x ∈ a x f x1 f a1 < 或 ， f (x1 ) f (b1 ) < 0 则 [ 1, 1] ，令 * x ∈ x b 2 1 2 1 a = x ,b = b 再计算[a2 ,b2 ]中点 的函数值 。 2 2 2 2 a b x + = ( ) 2 f x ( ) 21 ( ) 21 2 2 1 1 新的有根区间 的长度 b − a = b − a = b − a [ , ] a2 b2 [ , ] a3 b3 ( ) 21 ( ) 21 3 3 2 2 2 新的有根区间 的长度 b − a = b − a = b − a 令 。 3 2 3 2 a = a ,b = x 3 2 3 2 a = x ,b = b 令 ，或 f (x2 ) f (b2 ) < 0 则 ， 若 则 2。否则 则 ， * ( ) 0 x = x f x2 = ( ) ( ) 0 f x2 f a2 < [ , ] 2 2 * x ∈ a x [ , ] 2 2 * x ∈ x b
二分法(对分法)(续) 如此对分下去则得到一系列的有根区间 [a12b][a2,b2]→…=[ak2bk]2 且b k-1 (b-a) a1+ 由xk=k 及-x1s2(b-a)=7(b-a)k=12 当对分过程无限继续下去,则有根区间必收敛到 点,即imxx=x k->oo 2004-11-22
2004-11-22 9 二分法（对分法）（续） 如此对分下去则得到一系列的有根区间 [a1,b1] ⊃ [a2 ,b2 ] ⊃L⊃ [ak ,bk ] ⊃L ( ) 21 ( ) 21 1 1 1 b a b a b a k k k k k − = − = = − 且 − − L − ( ), 1,2,L 21 ( ) 2 * 1 x − x ≤ b − a = b − a k = 由 及 k k k k 2 k k k a b x + = 当对分过程无限继续下去，则有根区间必收敛到 一点，即 * lim xk x k = →∞
二分法(对分法)(续) 误差估计 定理:给定方程fx)=0,设fx)在区间[a,]上 连续,且(a)(b)<0,则由二分法产生的序列 xk}收敛于方程的根x*,且具有误差估计 xk-x≤(b-a)(k=1,2,…) 2004-11-22
2004-11-22 10 二分法（对分法）（续） 二、误差估计 定理：给定方程 f(x)=0，设 f(x)在区间[a,b]上 连续，且f(a)f(b)<0，则由二分法产生的序列 {xk}收敛于方程的根x*，且具有误差估计 ( ) ( 1,2, ) 2 * 1 xk − x ≤ k b − a k = L