概率伦与数理统外「 第二节 中心极限定理 一、问题的引入 二、基本定理 三、典型例题 四、小结
第二节 中心极限定理 一、问题的引入 二、基本定理 三、典型例题 四、小结
概華伦与款程统外 一、问题的引入 实例：考察射击命中点与靶心距离的偏差 这种偏差是大量微小的偶然因素造成的微 小误差的总和，这些因素包括：瞄准误差、测量 误差、子弹制造过程方面（如外形、重量等）的 误差以及射击时武器的振动、气象因素（如风速、 风向、能见度、温度等)的作用，所有这些不同 因素所引起的微小误差是相互独立的，并且它们 中每一个对总和产生的影响不大。 问题：某个随机变量是由大量相互独立且均匀 小的随机变量相加而成的，研究其概率分布情况
一、问题的引入 实例: 考察射击命中点与靶心距离的偏差. 这种偏差是大量微小的偶然因素造成的微 小误差的总和, 这些因素包括: 瞄准误差、测量 误差、子弹制造过程方面 (如外形、重量等) 的 误差以及射击时武器的振动、气象因素(如风速、 风向、能见度、温度等) 的作用, 所有这些不同 因素所引起的微小误差是相互独立的, 并且它们 中每一个对总和产生的影响不大. 问题: 某个随机变量是由大量相互独立且均匀 小的随机变量相加而成的, 研究其概率分布情况
概车纶与款理统外 二、基本定理 定理四（独立同分布的中心极限定理） 设随机变量X1,X2,.,Xm,.相互独立服从 同一分布，且具有数学期望和方差：E(X)=4, D(X)=o2>0(k=1,2,则随机变量之和的 立x-2xx-w 标准化变量Y,= k=1 2x
二、基本定理 定理四（独立同分布的中心极限定理） 则随机变量之和的 同一分布 且具有数学期望和方差： 设随机变量 相互独立 服 从 ( ) 0 ( 1,2, ), , ( ) , , , , , , 2 1 2 = = = D X k E X X X X k k n − = = = = n k k n k k n k k n D X X E X Y 1 标准化变量 1 1 n X n n k k − = =1
概率伦与款理统外 的分布函数F(x)对于任意x满足 :-nu lim F(x)=limP每 ≤X n-→oo no 2 定理四表明： 当n→oo,随机变量序列Y,的分布函数收敛于 标准正态分布的分布函数
− = = → → x n X n F x P F x x n k k n n n n 1 lim ( ) lim 的分布函数 ( ) 对于任意 满 足 定理四表明: . , 标准正态分布的分布函数 当n → 随机变量序列Yn 的分布函数收敛于 − − = = x t e dt (x). 2π 1 2 2
概车纶与款理统外 定理五（李雅普诺夫定理） 李雅普诺夫 设随机变量X1,X2,.,Xm,.相互独立它 们具有数学期望和方差： E(Xk)=4k,D(Xk)=Ok2≠0(k=1,2,), 记 B=∑o, k=1 若存在正数6，使得当n→o时， 2X4”-→0
{| | } 0, 1 , , , ( ) , ( ) 0 ( 1,2, ), , , , , , 1 2 2 1 2 2 2 1 2 − → → = = = = = + + = n k k k n n k n k k k k k n E X B n B E X D X k X X X 若存在正数 使得当 时 记 们具有数学期望和方差： 设随机变量 相互独立 它 定理五(李雅普诺夫定理) 李雅普诺夫