例1讨论无男积分厂告的收敛性(u'-p-1),p+ 1,udxiI-P解2=p= 1,Inu,因此,<1DVp=1p>1,axp>1p-1'一limJ1-ytp+00, p≤1.1P<1若 f (x) 的原函数为 F (x),p=101xp>1 无穷积分的牛顿一莱布尼后页返回前页
前页 后页 返回 例1 讨论无穷积分 1 d . p x x + 的收敛性 O x y 1 1 1 p y x = p = 1 p 1 p 1 p = 1 p 1 p 1 1 1 d , 1, lim 1 , 1. u p u x p p x p →+ = − + 解 ( ) 1 1 1 d 1 , 1, 1 1, ln , p u p x u p p x u p − − = − = 因此, 无穷积分的牛顿－莱布尼 若 f (x) 的原函数为 F (x)
茨公式写作[, f(x) dx= F(x) to,= F(+oo)- F(a)= lim F(u)- F(a)4+8例2 讨论无穷积分te-pt dt (p>0)的收敛性1fte-"'dt=--pt-pt解+C,e2pptoDem因此te-ptdt -JOnD后页返回前页
前页 后页 返回 ( ) d ( ) , a a f x x F x + + = 解 2 1 e d e e , pt pt pt t t t C p p − − − = − − + 例2 讨论无穷积分 ( ) 0 e d 0 . pt t t p + − 的收敛性 2 0 0 1 e d e e pt pt pt t t t p p + + − − − = − − 因此 ( ) ( ) lim ( ) ( ). u F F a F u F a →+ = + − = − 茨公式写作
-(0-0)-(0-)r:会 (>≥0) 的收敏性,例3讨论瑕积分-,(1-n=),1+1s解q = 1,-Inu,Ldxdx故当0<<1时,发散.当1≤<+8 时,返回前页后页
前页 后页 返回 2 2 1 1 (0 0) 0 . p p = − − − = 例3 讨论瑕积分 ( ) 1 0 d 0 q x q x 的收敛性. 解 ( ) 1 1 1 d 1 , 1 1 ln , 1, q q u x u q q x u q − − = − − = 1 1 0 0 d d 1 0 1 , lim ; 1 q q u u x x q x x q → + = = − 故当 时 1 0 d 1 , . q x q x + 当 时 发散
同样,若f(x)的原函数为 F(x),瑕积分的牛顿-莱布尼茨公式写作I' f(x) dx= F(x), = F(b) - F(a*)= F(b) - lim F(u),u-→aI'inxdr.例4计算瑕积分Inxdx 的瑕点为0.因此，解"'lnxdx= lim (xlnxl -I'dx)福- lim[(0-6lnc)-(1-e)]--1.前页后页返回
前页 后页 返回 同样, 若 f (x) 的原函数为 F (x), 瑕积分的牛顿-莱 ( ) d ( ) ( ) ( ) b b a a f x x F x F b F a + + = = − ( ) lim ( ). u a F b F u → + = − 例4 计算瑕积分 1 0 ln d . x x 解 1 0 ln dx x 的瑕点为 0. 因此, ( ) 1 1 1 0 0 ln d lim ln d x x x x x → + = − ( ) ( ) 0 lim 0 ln 1 1. → + = − − − = − 布尼茨公式写作
复习思考题1. f(x)在[a,+0)上非负连续, 且[,f(x)dx 收敛,是否必有limf(x)=0?2. f(x)在[a,+o)上非负连续，lim f(x)=0,是否可x→+8推得「f(x)dx收敛?3. f(x) 在[a,+)上定义,且lim f(x) = A.x→>+80当「f(x)dx 收敛时,是否必有 A=0?前页后页返回
前页 后页 返回 是否必有 lim ( ) 0? x f x →+ = 2. ( ) [ , ) f x a 在 + 上非负连续, lim ( ) = 0, →+ f x x 是否可 推得 ( )d a f x x + 收敛? 3. ( ) [ , ) f x a 在 + 上定义, 且 lim f (x) A. x = →+ 复习思考题 ( )d 0? a f x x A + = 当 收敛时,是否必有 1. ( ) [ , ) f x a 在 + 上非负连续, 且 收敛, ( )d a f x x +