于是流完一桶水所需时间为R21=1PJ2g(h-dx.但由于被积函数是[0,h)上的无界函数,所以它的确切含义为R?t = limdx1.p/2g(h-x)u-h-EE-V--Vlim二u->h后页返回前页
前页 后页 返回 于是流完一桶水所需时间为 ( ) 2 0 2 d . 2 h R t x r g h x = − 但由于被积函数是 0,h) 上的无界函数,所以它的 ( ) 2 0 2 lim d 2 u u h R t x r g h x → − = − ( ) 2 2 2 lim u h R h h u g r → − = − − 确切含义为 2 2 . h R g r =
二、 两类反常积分的定义定义1设函数f 定义在[a, +oo)上,且在任何有限区间[a,u]上可积.若存在极限lim J, f(x)dr=J,则称此极限J为函数f 在[a,+o）上的无穷限反常积分（简称无穷积分），记作J = t" f(x)dx,并称「f(x)dx 收敛,否则称f(x)dx发散后页返回前页
前页 后页 返回 二、两类反常积分的定义 区间 [a, u] 上可积. 若存在极限 lim ( )d , u u a f x x J →+ = 则称此极限 J 为函数 f 在 a,+ ) 上的无穷限反 ( )d , a J f x x + = ( )d , a f x x + 并称 收敛 ( )d . a f x x + 否则称 发散 定义1 设函数 f 定义在 [ a, +)上, 且在任何有限 常积分(简称无穷积分),记作
类似定义I,f(x)dx= lim f'f(x)dx,[t f(x)dx=[" f(x)dx+ J, f(x)dx.其中a是（-,+)内任意一点定义2 设函数f 定义在(a,bl上,在a的任意右邻域内无界,但在任何内闭区间[u,b]上有界且可积,如果存在极限lim J'f(x)dx = J,后页返回前页
前页 后页 返回 类似定义 ( )d lim ( )d , b b u u f x x f x x − →− = ( )d ( )d ( )d . a a f x x f x x f x x + + − − = + 其中a 是( − + ， ) . 内任意一点 域内无界, 但在任何内闭区间 [u, b] 上有界且可积. 如果存在极限 lim ( )d , b u a u f x x J → + = 定义2 设函数 f 定义在 (a, b] 上, 在 a 的任意右邻
则称此极限为无界函数 f 在（a,bl上的反常积分记作J -{'f(x)dx,并称[f(x)dx 收敛.若极限 lim /f(x)dx不存在,5则称f(x)dx发散["f(x)dx 为瑕积分,通常称a为的瑕点.又称类似定义瑕点为b时的瑕积分I'f(x) dx - lim J, f(x) dx.前页后页返回
前页 后页 返回 则称此极限为无界函数 f 在 (a, b] 上的反常积分, ( )d , b a J f x x = ( )d b a 则称 f x x 发散. ( )d b a 并称 f x x 收敛. lim ( )d , b u a u 若极限 + f x x不存在 → 类似定义瑕点为 b 时的瑕积分 ( ) d lim ( ) d . b u a a u b f x x f x x → − = ( )d b a 又称 f x x 为瑕积分, 通常称a 为 f 的瑕点. 记作
其中f在[a,b)有定义,在b的任一左邻域内无界在任何[a,u]c[a,b]上可积若f 的瑕点ce(a,b)，定义['f(x)dx=f'f(x)dx+f'f(x)dx- Iim 'f(x)d + im J'(x)dx.若f(x)dx和"f(x)dx都收敛,则称f(x)dx收敛后页返回前页
前页 后页 返回 其中 f 在 [a, b) 有定义, 在 b 的任一左邻域内无界, ( )d ( )d ( )d b c b a a c f x x f x x f x x = + lim ( )d lim ( )d . u b u c v c a v f x x f x x → → − + = + 若 f 的瑕点 c a b ( , ) , 定义 ( )d ( )d , ( )d c b b a c a f x x f x x f x x 若 和 都收敛 则称 收敛. 在任何 [ , ] [ , ] a u a b 上可积