基本不等式中 不等式在各种题型中均有出现,渗透在各类考试试卷中;基本不等式是不等式中高频考点之一,其应 用、变形等是考试热点.本节将针对于基本不等式及其常见母题进行解答技巧的讲解与归纳 ■知识旋理■■■■■ 1.基本不等式√ab≤ b 基本不等式的使用条件 ①一正:a>0,b>0,即:所求最值的各项必须都是正值 ②二定:ab或a+b为定值,即:含变量的各项的和或积必须是常数 ③三相等:当且仅当a=b时取等号:即:等号能否取得 在应用基本不等式求最值时,要把握不等式成立的三个条件,若忽略了某个条件,就会出现错误 2.由公式d2+B2a和ak≤2可以引申出的常用结论 b2=2(a,b同号) ≤-2(a,b异号) (3)≤Va+b∠ a+ea+b (a>0,b>0)或ab≤ (a>0,b>0 3.利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)如果x>0,y>0,且x=P(定值).那么当x=y时,x+y有最小值2√F(简记:“积定和最小”) (2)如果x>0,p>0,且x+y=S(定值).那么当x=y时,x有最大值一·(简记:“和定积最大”) 类型一、直接应用类 此类问题较为基础,利用基本不等式求最值时应注意:①非零的各数(或式)均为正;②和或积为定值 ③等号能否成立,即“一正、二定、三相等”,这三个条件缺一不可 解答技巧一:直接应用 【母题一】若x>0,y>0,且x+y=18,则xy的最大值是 【解析】由于0>0.则+≥2际,所以x( =81,当且仅当x=y=9时 xy取到最大值81 【答案】81 【变式】
基本不等式中 不等式在各种题型中均有出现，渗透在各类考试试卷中；基本不等式是不等式中高频考点之一，其应 用、变形等是考试热点．本节将针对于基本不等式及其常见母题进行解答技巧的讲解与归纳． 1．基本不等式 ab≤ a＋b 2 基本不等式的使用条件： ① 一正：a＞0，b＞0，即：所求最值的各项必须都是正值； ② 二定：ab 或 a＋b 为定值，即：含变量的各项的和或积必须是常数； ③ 三相等：当且仅当 a＝b 时取等号；即：等号能否取得． 在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，若忽略了某个条件，就会出现错误． 2．由公式 a 2＋b 2≥2ab 和 ab≤ a＋b 2 可以引申出的常用结论 (1)b a ＋ a b ≥2(a，b 同号)； (2)b a ＋ a b ≤－2(a，b 异号)； (3) 2 1 a ＋ 1 b ≤ ab≤ a＋b 2 ≤ a 2＋b 2 2 (a＞0，b＞0) 或 ab≤ a＋b 2 2≤ a 2＋b 2 2 (a＞0，b＞0) ． 3．利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)如果 x＞0，y＞0，且 xy＝P(定值)．那么当 x＝y 时，x＋y 有最小值 2 P．(简记：“积定和最小”) (2)如果 x＞0，y＞0，且 x＋y＝S(定值)．那么当 x＝y 时，xy 有最大值S 2 4 ．(简记：“和定积最大”) 类型一、直接应用类 此类问题较为基础，利用基本不等式求最值时应注意：①非零的各数(或式)均为正；②和或积为定值； ③等号能否成立，即“一正、二定、三相等”，这三个条件缺一不可． 解答技巧一：直接应用 【母题一】若 x＞0，y＞0，且 x＋y＝18，则 xy 的最大值是________． 【解析】由于 x＞0，y＞0，则 x＋y≥2 xy，所以 xy≤ x＋y 2 2＝81，当且仅当 x＝y＝9 时， xy 取到最大值 81． 【答案】81 【变式】
1.已知f(x)=x+--2(x<0),则f(x)有() A.最大值为0 B.最小值为0 C.最大值为-4 D.最小值为-4 【解析】∵x<0,∴f(x) 2≤-2-2=-4,当且仅当一x=—,即x=-1 时取等号 【答案】C 2.已知0<x<1,则x(3-3x)取得最大值时x的值为() 1-33-4 1-22 x+1 【解析】∵0<x<1,∴1-x>0.∴x(3-3x)=3x(1-x)≤ 当x=1-x,即x=时取 2 等号 【答案】B 3.(2014·成都诊断)已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)=3,若f(a+b)=9,则f(ab的最大值为 【解析】∵3+=9,∴a+b=2≥2√ab,得ab≤1,:r(ab)=3“≤3 【答案】3 4.已知a,b∈R,且ab=50,则|a+2b|的最小值是 【解析】依题意得a,b同号,于是有|a+2b|=|al+12b≥2√a·|2b=22|ab|=2√00=20,当 且仅当|a=|2b=10时取等号,因此|a+2b的最小值是20. 【答案】20 类型二、配凑定值类(恒等变形类」 此类问题一般不能直接使用基本不等式,要从整体上把握运用基本不等式,对不满足使用基本不等式 条件的可通过“变形”来转换,常见的变形技巧有:拆项,凑项,凑系数等.不论条件怎么变形,都需要 根据条件:凑和为定值时求积最大、凑积为定值求和最小 解答技巧二:拆项 【母题二】已知t>0,则函数,(-4t+ 的最小值为 【解析】∵>0,∴y=4+1-=+1-4≥2-4=-2,且在t=1时取等号
1．已知 f(x)＝x＋ 1 x －2(x＜0)，则 f(x)有 ( ) A．最大值为 0 B．最小值为 0 C．最大值为－4 D．最小值为－4 【解析】∵x＜0，∴f(x)＝－ － x ＋ 1 －x －2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝ 1 －x ，即 x＝－1 时取等号． 【答案】C 2．已知 0＜x＜1，则 x(3－3x)取得最大值时 x 的值为 ( ) A． 1 3 B． 1 2 C． 3 4 D． 2 3 【解析】∵0＜x＜1，∴1－x＞0．∴x(3－3x)＝3x(1－x)≤3 x＋1－x 2 2＝ 3 4 ．当 x＝1－x，即 x＝ 1 2 时取 等号． 【答案】B 3．(2014·成都诊断)已知定义在(0，＋∞)上的函数 f(x)＝3 x ，若 f(a＋b)＝9，则 f(ab)的最大值为 __________． 【解析】∵3 a＋b ＝9，∴a＋b＝2≥2 ab，得 ab≤1，∴f(ab)＝3 ab ≤3． 【答案】3 4．已知 a，b∈R，且 ab＝50，则|a＋2b|的最小值是________． 【解析】依题意得 a，b 同号，于是有|a＋2b|＝|a|＋|2b|≥2 |a|·|2b|＝2 2|ab|＝2 100＝20，当 且仅当|a|＝|2b|＝10 时取等号，因此|a＋2b|的最小值是 20． 【答案】20 类型二、配凑定值类(恒等变形类) 此类问题一般不能直接使用基本不等式，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式 条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，凑项，凑系数等．不论条件怎么变形，都需要 根据条件：凑和为定值时求积最大、凑积为定值求和最小． 解答技巧二：拆项 【母题二】已知 t＞0，则函数 y＝ t 2－4t＋1 t 的最小值为________． 【解析】∵t＞0，∴y＝ t 2－4t＋1 t ＝t＋ 1 t －4≥2－4＝－2，且在 t＝1 时取等号．
【答案】-2 解答技巧三:凑项 【母题三】若x>2,则函数y=x+的最小值为 【解析】∵>2,∴=(x-2)+2+2≥2+2=4,当且仅当x=3时取等号 【答案】4 解答技巧四:凑系数 【母题四】若0<x<,则函数y=x(8-3x)的最大值为 【解析】∵x>2,∴=3(30)(8-3)≤3x+8-32-16 2 当且仅当x=时取等号 【答案】 【变式】 (x>1)的最小值是() 3 B. D.2 【解析】∵x>1,∴x-1>0 x2+2x2-2x+2x+2x2-2x+1+2x-1+3 x-12+2x-1+3 x-1+—+2≥21x-1 +2=23+2.当且仅当x-1 X-1 即 x=1+√时,取等号 【答案】A 2.当x>1时,不等式x+一,≥a恒成立,则实数a的最大值为 【解析】∵x>1,…x1>0.又x,1=r1、+1≥2+1=3,当且仅当x=2时等号成立,则 a≤3,所以a的最大值为3 【答案】3
【答案】－2 解答技巧三：凑项 【母题三】若 x＞2，则函数 y＝x＋ 1 x－2 的最小值为________． 【解析】∵x＞2，∴y＝(x－2)＋ 1 x－2 ＋2≥2＋2＝4，当且仅当 x＝3 时取等号． 【答案】4 解答技巧四：凑系数 【母题四】若 0＜x＜ 8 3 ，则函数 y＝x(8－3x)的最大值为________． 【解析】∵x＞2，∴y＝ 1 3 (3x)(8－3x)≤ 1 3 3x＋8－3x 2 2＝ 16 3 ，当且仅当 x＝ 4 3 时取等号． 【答案】16 3 【变式】 1．函数 y＝ x 2＋2 x－1 (x＞1)的最小值是( ) A．2 3＋2 B．2 3－2 C．2 3 D．2 【 解 析 】 ∵ x ＞ 1 ， ∴ x － 1 ＞ 0 ． ∴ y ＝ x 2＋2 x－1 ＝ x 2－2x＋2x＋2 x－1 ＝ x 2－2x＋1＋2 x－1 ＋3 x－1 ＝ x－1 2＋2 x－1 ＋3 x－1 ＝x－1＋ 3 x－1 ＋2≥2 x－1 3 x－1 ＋2＝2 3＋2．当且仅当 x－1＝ 3 x－1 ，即 x＝1＋ 3时，取等号． 【答案】A 2．当 x＞1 时，不等式 x＋ 1 x－1 ≥a 恒成立，则实数 a 的最大值为________． 【解析】∵x＞1，∴x－1＞0．又 x＋ 1 x－1 ＝x－1＋ 1 x－1 ＋1≥2＋1＝3，当且仅当 x＝2 时等号成立．则 a≤3，所以 a 的最大值为 3． 【答案】3
a+b 3.(2014·潍坊一模)已知a>b>0,ab=1,则一的最小值为 【解析】土=2-b十2=一2一b十2=(-b+2≥2巨.当且仅当a-b=E时,取等 【答案】2E 4.已知函数f(m)= x2+6 (1)若f(x)>k的解集为{x|x<-3,或x>-2},求k的值: (2)对任意x>0,f(x)≤t恒成立,求t的取值范围 【解】(1)f(x)>ke→kx2-2x+6k<0 由已知{x|x<-3,或x>-2}是其解集,得kx2-2x+6k=0的两根是-3,-2 由根与系数的关系可知(-2)+(-3)=7,即k= 5 √6 (2因为x>0,f(x)=x+6266当且仅当 时取等号 由已如0任>立即(的成意即+ 类型三、条件最值类 利用基本不等式求最值的方法及注意点 (1)知和求积的最值:求解此类问题的关键:明确“和为定值,积有最大值”.但应注意以下两点:① 具备条件—一正数;②验证等号成立 (2)知积求和的最值:明确“积为定值,和有最小值”,直接应用基本不等式求解,但要注意利用基本 不等式求最值的条件 (3)构造不等式求最值:在求解含有两个变量的代数式的最值问题时,通常采用“变量替换”或“常数 ”的替换,构造不等式求解. 技巧五:换衣(“1”)(或整体代换) 【母题五】已知a>0,b>0,a+b=1,则一+的最小值为 【解析】∵a>0,b>0,a+b=1,∴- a+b a+bb b 即-+元的最小值为4,当且仅当a=b=时等号成立 【答案】4 【变式】
3．(2014·潍坊一模)已知 a＞b＞0，ab＝1，则a 2＋b 2 a－b 的最小值为________． 【解析】 a 2＋b 2 a－b ＝ a－b 2＋2ab a－b ＝ a－b 2＋2 a－b ＝(a－b)＋ 2 a－b ≥2 2．当且仅当 a－b＝ 2时，取等 号． 【答案】2 2 4．已知函数 f(x)＝ 2x x 2＋6 ． (1)若 f(x)＞k 的解集为{x|x＜－3，或 x＞－2}，求 k 的值； (2)对任意 x＞0，f(x)≤t 恒成立，求 t 的取值范围． 【解】(1)f(x)＞k⇔kx 2－2x＋6k＜0． 由已知{x|x＜－3，或 x＞－2}是其解集，得 kx 2－2x＋6k＝0 的两根是－3，－2． 由根与系数的关系可知(－2)＋(－3)＝ 2 k ，即 k＝－ 2 5 ． (2)因为 x＞0，f(x)＝ 2x x 2＋6 ＝ 2 x＋ 6 x ≤ 2 2 6 ＝ 6 6 ，当且仅当 x＝ 6时取等号． 由已知 f(x)≤t 对任意 x＞0 恒成立，故 t≥ 6 6 ，即 t 的取值范围是 6 6 ，＋∞ ． 类型三、条件最值类 利用基本不等式求最值的方法及注意点 (1)知和求积的最值：求解此类问题的关键：明确“和为定值，积有最大值”．但应注意以下两点：① 具备条件——正数；②验证等号成立． (2)知积求和的最值：明确“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本 不等式求最值的条件． (3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数 1”的替换，构造不等式求解． 技巧五：换衣(“1”)(或整体代换) 【母题五】已知 a＞0，b＞0，a＋b＝1，则1 a ＋ 1 b 的最小值为________． 【解析】∵a＞0，b＞0，a＋b＝1，∴ 1 a ＋ 1 b ＝ a＋b a ＋ a＋b b ＝2＋ b a ＋ a b ≥2＋2 b a · a b ＝4， 即 1 a ＋ 1 b 的最小值为 4，当且仅当 a＝b＝ 1 2 时等号成立． 【答案】4 【变式】
1.本例的条件不变,则1+1+的最小值为 【解析】1+1+ B=(+2+9(+计-2+9++4+=5+4-9当且仅当a=b =时,取等号 【答案】9 本例的条件和结论互换即:已知a>0,b>0,1少则a+b的最小值为 解1由+n+11:+(+m+b+++2(+=当且 仅当a=b=时取等号 【答案】1 3.若本例条件变为:已知a>0,b>,a+2b=8,则+的最小值为 【解析】由a+2b=3得a+=b=1,∴ 4+2+325+2·3=3.当且 仅当a=2b=时,取等号 【答案】 4.本例的条件变为:已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,则+b+c的最小值为 【解析】∵a>0,b>0,∞>0,且a+b+c=1,…-x a+b+c a+b+c a+b+c 24C424b bbc 3+(a+b (+=3+2+2+2-9且仅当=b=c3,取等号 【答案】9 5.若本例变为:已知各项为正数的等比数列{an}满足a=+2a,若存在两项a,an,使得 VEa,则+的最小值为 【解析】设公比为q(q>0),由a=a6+2→q=q+2国→-q-2=0(q>0)→g= a→a21·a2=8=2,2-=8÷m+-2=3m+n=,则4+4=14+4)(m+=5++n m n 5 65+2√)=2.当且仅当n=2m=时等号成立 【答案】
1．本例的条件不变，则 1＋ 1 a 1＋ 1 b 的最小值为________． 【解析】 1＋ 1 a 1＋ 1 b ＝ 1＋ a＋b a 1＋ a＋b b ＝ 2＋ b a · 2＋ a b ＝5＋2 b a ＋ a b ≥5＋4＝9．当且仅当 a＝b ＝ 1 2 时，取等号． 【答案】9 2．本例的条件和结论互换即：已知 a＞0，b＞0， 1 a ＋ 1 b ＝4，则 a＋b 的最小值为________． 【解析】由 1 a ＋ 1 b ＝4，得 1 4a ＋ 1 4b ＝1．∴a＋b＝ 1 4a ＋ 1 4b (a＋b)＝ 1 2 ＋ b 4a ＋ a 4b ≥ 1 2 ＋2 b 4a ＋ a 4b ＝1．当且 仅当 a＝b＝ 1 2 时取等号． 【答案】1 3．若本例条件变为：已知 a＞0，b＞0，a＋2b＝3，则2 a ＋ 1 b 的最小值为________． 【解析】由 a＋2b＝3 得 1 3 a＋ 2 3 b＝1，∴ 2 a ＋ 1 b ＝ 1 3 a＋ 2 3 b 2 a ＋ 1 b ＝ 4 3 ＋ a 3b ＋ 4b 3a ≥ 4 3 ＋2 a 3b · 4b 3a ＝ 8 3 ．当且 仅当 a＝2b＝ 3 2 时，取等号． 【答案】 8 3 4．本例的条件变为：已知 a＞0，b＞0，c＞0，且 a＋b＋c＝1，则1 a ＋ 1 b ＋ 1 c 的最小值为________． 【解析】∵a＞0，b＞0，c＞0，且 a＋b＋c＝1，∴ 1 a ＋ 1 b ＋ 1 c ＝ a＋b＋c a ＋ a＋b＋c b ＋ a＋b＋c c ＝3＋ b a ＋ c a ＋ a b ＋ c b ＋ a c ＋ b c ＝3＋ b a ＋ a b ＋ c a ＋ a c ＋ c b ＋ b c ≥3＋2＋2＋2＝9．当且仅当 a＝b＝c＝ 1 3 时，取等号． 【答案】9 5．若本例变为：已知各项为正数的等比数列{an}满足 a7＝a6＋2a5，若存在两项 am，an，使得 am·an＝ 2 2a1，则1 m ＋ 4 n 的最小值为________． 【解析】设公比为 q(q＞0)，由 a7＝a6＋2a5⇒a5q 2＝a5q＋2a5⇒q 2－q－2＝0(q＞0)⇒q＝2． am·an＝2 2 a1⇒a12 m－1·a12 n－1＝8a 2 1⇒2 m－1·2n－1＝8⇒m＋n－2＝3⇒m＋n＝5，则1 m ＋ 4 n ＝ 1 5 1 m ＋ 4 n (m＋n)＝ 1 5 5＋ n m ＋ 4m n ≥ 1 5 (5＋2 4)＝ 9 5 ，当且仅当 n＝2m＝ 10 3 时等号成立． 【答案】 9 5