基本不等式题 选择题 若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是() A.a2+b2>2abB.a+b≥2 2.若a>1,则a+—,的最小值是() 3.若x>0,x)=+3x的最小值为() A.12B 4.函数y=对1 x<2)的最大值是() B.-C.1D.2 5.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件,则平 均仓储时间为天,且每件产品每天的仓储费用为1元,为使平均到每件产品的生产准备费 用与仓储费用之和最小,每批应生产产品() A.60件B.80件C.100件D.120件 6.点(x,y)在直线x+3y-2=0上移动时,=3+27+3的最小值为( AB.3+2C.6D.9 7.某工厂第一年产量为A,第二年的增长率为a,第三年的增长率为b,这两年的平均 增长率为x,则() 8.己知正数a,b满足4a+b=30,使得+取最小值的实数对a,b)是( (5,10)B.(6,6)C.(10,5)D.(7,2) 9.不等式(x+y)(x+a)9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为() 10.已知x>0,y>0,且x+y=8,则(1+x)(1+y)的最大值为( A.16B.25C.9D.36 1.若x,y是正数,则r+)2(+1)的最小值是() 12.给出下列语句:
基本不等式 题 一、选择题 1．若 a，b∈R，且 ab>0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A．a 2＋b 2>2ab B．a＋b≥2 ab C.1 a ＋ 1 b > 2 ab D.b a ＋ a b ≥2 2．若 a＞1，则 a＋ 1 a－1 的最小值是( ) A．0 B．2 C. 2 a a－1 D．3 3．若 x＞0，f(x)＝ 12 x ＋3x 的最小值为( ) A．12 B．－12 C．6 D．－6 4．函数 y＝x 1－ x 2 (0＜x＜2)的最大值是( ) A.1 4 B.1 2 C．1 D．2 5．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为 800 元．若每批生产 x 件，则平 均仓储时间为x 8 天，且每件产品每天的仓储费用为 1 元，为使平均到每件产品的生产准备费 用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( ) A．60 件 B．80 件 C．100 件 D．120 件 6．点(x，y)在直线 x＋3y－2＝0 上移动时，z＝3 x＋27y＋3 的最小值为( ) A. 11 3 B．3＋2 3 C．6 D．9 7．某工厂第一年产量为 A，第二年的增长率为 a，第三年的增长率为 b，这两年的平均 增长率为 x，则( ) A．x＝ a＋b 2 B．x≤ a＋b 2 C．x＞ a＋b 2 D．x≥ a＋b 2 8．已知正数 a，b 满足 4a＋b＝30，使得1 a ＋ 1 b 取最小值的实数对(a，b)是( ) A．(5，10) B．(6，6) C．(10，5) D．(7，2) 9．不等式（x＋y）（x＋ay） xy ≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为( ) A．2 B．4 C．6 D．8 10．已知 x>0，y>0，且 x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为( ) A．16 B．25 C．9 D．36 11．若 x，y 是正数，则 x＋ 1 2y 2 ＋ y＋ 1 2x 2 的最小值是( ) A．2 B.7 2 C．4 D.9 2 12．给出下列语句：
①若a,b为正实数,a≠b,则a3+b3>a2b+ab2 ②若a,b,m为正实数,a<b, a ③若>5,则a>b ④当x∈(0,)时,smx+2的最小值为2,其中结论正确的个数为() A.0B.1C.2D.3 、填空题 13.已知x>0,y0,1gx+gy=1,划N3 的最小值为 14.函数f(x)=gx+(0<x<1)的最大值是 ,当且仅当x= 时取等 15.若对任意x>0,431≤a恒成立,则a的取值范围是 16.已知a>b>0,则a2+,6,取最小值时b的值为 三、解答题(本大题共6小题,共0分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17.(本小题满分10分)(1)已知x>0,求y=2-x-的最大值; (2)已知x>2,求y=x+—的最小值; (3)已知0<x222(1-2x)的最大值 次A8,(本小题满分12分过点P(2,1的直线分别交x轴,y轴的正半轴于A,B两点 OB的面积S的最小值
①若 a，b 为正实数，a≠b，则 a 3＋b 3＞a 2b＋ab2 ； ②若 a，b，m 为正实数，a＜b，则 a＋m b＋m ＜ a b ； ③若 a c 2＞ b c 2，则 a＞b； ④当 x∈ 0， π 2 时，sin x＋ 2 sin x 的最小值为 2 2，其中结论正确的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 13．已知 x>0，y>0，lg x＋lg y＝1，则 z＝ 2 x ＋ 5 y 的最小值为________． 14．函数 f(x)＝lg x＋ 4 lg x (0＜x＜1)的最大值是________，当且仅当 x＝________时取等 号． 15．若对任意 x＞0， x x 2＋3x＋1 ≤a 恒成立，则 a 的取值范围是________． 16．已知 a＞b＞0，则 a 2＋ 64 b（a－b） 取最小值时 b 的值为________． 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分 10 分)(1)已知 x＞0，求 y＝2－x－ 4 x 的最大值； (2)已知 x＞2，求 y＝x＋ 1 x－2 的最小值； (3)已知 0＜x＜ 1 2 ，求 y＝ 1 2 x(1－2x)的最大值． 18．(本小题满分 12 分)过点 P(2，1)的直线 l 分别交 x 轴，y 轴的正半轴于 A，B 两点， 求△AOB 的面积 S 的最小值．
19(本小题满分12分)设x,y满足约束条件8x-y-4≤0,若目标函数:=ax+b(a>0,b ≥0,y≥0 >0)的最大值为8 (1)求+的最小值 (2)求a2+16b2-4ab的最小值 20(本小题满分12分)是否存在常数c,使得不等式 2xty x+2y x+2y 2x+y 任意正实数x,y恒成立?证明你的结论
19.(本小题满分 12 分)设 x，y 满足约束条件 2x－y＋2≥0 8x－y－4≤0 x≥0，y≥0 ，若目标函数 z＝ax＋by(a＞0，b ＞0)的最大值为 8. (1)求 1 a ＋ 1 b 的最小值； (2)求 a 2＋16b 2－4ab 的最小值． 20.(本小题满分 12 分)是否存在常数 c，使得不等式 x 2x＋y ＋ y x＋2y ≤c≤ x x＋2y ＋ y 2x＋y 对 任意正实数 x，y 恒成立？证明你的结论．
参考答案与解析 1.【解析】选D特值法:取a=b=-1可排除A、B、C选项 2.【解析】选D.因为a>1,所以a-1>0,a+;=(a-1)+ 1≥2^1/(a-1) +1=3,当且仅当 a=2时,等号成立,故选D 3.【解析】选A因为x>0, 所以几x)=12+3x≥2 当且仅当=3x,即x=2时取等号 4.【解析】选B因为0<x<2,所以0<1-x<1, 所以y y=(-=2数-≤ +1 2,当且仅当=1-2,即x=1时,等号成立,故选B 5.【解析】选B因为生产x件产品的生产准备费用与仓储费用之和为800+x·x 800+ 所以平均每件费用y=-x 当且仅当800 即当x=80件时,ymn=20 6.【解析】选D因为x+3y=2, 所以z=32+3+3≥2×33+3 2√32+3=9 当且仅当x=3y即x=1,y=3时取等号 7【解析】选BA(+x=4(+a1+b),从而(1+x)2=(1+(1+b1+a+1+b 2 b b 8【解析】选A2+=(+4+=(41
参考答案与解析 1． 【解析】选 D.特值法：取 a＝b＝－1 可排除 A、B、C 选项． 2 ．【解析】 选 D. 因 为 a＞ 1 ， 所 以 a － 1 ＞ 0 ，a ＋ 1 a－1 ＝ (a － 1) ＋ 1 a－1 ＋ 1≥2 （a－1）· 1 a－1 ＋1＝3，当且仅当 a－1＝ 1 a－1 ，即 a＝2 时，等号成立，故选 D. 3．【解析】选 A.因为 x＞0， 所以 f(x)＝ 12 x ＋3x≥2 12 x ×3x＝12， 当且仅当12 x ＝3x，即 x＝2 时取等号． 4．【解析】选 B.因为 0＜x＜2，所以 0＜1－ x 2 ＜1， 所以 y＝x 1－ x 2 ＝2·x 2 1－ x 2 ≤ 2 x 2 ＋1－ x 2 2 2 ＝ 1 2 ，当且仅当x 2 ＝1－ x 2 ，即 x＝1 时，等号成立，故选 B. 5． 【解析】选 B.因为生产 x 件产品的生产准备费用与仓储费用之和为 800＋ x 8 ·x， 所以平均每件费用 y＝ 800＋ 1 8 x 2 x ＝ x 8 ＋ 800 x ≥20， 当且仅当x 8 ＝ 800 x ，即当 x＝80 件时，ymin＝20. 6．【解析】选 D.因为 x＋3y＝2， 所以 z＝3 x＋3 3y＋3≥2× 3 x＋3y＋3 ＝2 3 2＋3＝9. 当且仅当 x＝3y 即 x＝1，y＝ 1 3 时取等号． 7．【解析】选 B.A(1＋x) 2＝A(1＋a)(1＋b)，从而(1＋x) 2＝(1＋a)·(1＋b)≤ 1＋a＋1＋b 2 2 ＝ 1＋ a＋b 2 2 ，所以 x≤ a＋b 2 . 8．【解析】选 A.1 a ＋ 1 b ＝ 1 30 1 a ＋ 1 b (4a＋b)＝ 1 30 4＋1＋ b a ＋ 4a b ≥
「b4a 当且仅当ab 时等号成立.故选A 4a+b=3 9.【解析】选B x+y)(x+a)=x+(a+1)x+a2=a +1++a +2G=(+1),当且仅当x=D时等号成立,所以x+)(x+)的最小值为√G+ 1),于是(a+1)2≥9恒成立,所以a≥4,故选B (1+x)+(1+y) 2+(x+y) +8)2 10.【解析】选B.(1+x)(1+y) 因此当且仅当1+x=1+y即x=y=4时,(1+x)(1+y)取最大值25,故选B 11.【解析】选C (+2)++2)=(2+)++)+(+=1+1+2=4 当且仅当x 时,式子取得最小值4 12.【解析】选C本题①中作差变形后可得:a3+b3-ab-ab2=(a-b)(a+b),由于a b为正实数,a≠b,所以(a-b)(a+b)>0,即①正确;对于②用赋值法很容易判断其错误, 如a=1,b=2,m=1,符合条件但结论不正确;对于③,利用不等式的性质,在不等式两 边同时乘c2,不等号的方向不改变,故正确;对于④,利用基本不等式成立的条件“一正, 二定,三相等”的第三点不成立,取不到“=”,故④错误.综合得正确的有①,③两个 从而选C 【解析】由已知条件lgx+lgy=1,可得xy=10 最小值 当且仅当2y=5x时取等号 又xy=10,即x=2,y=5时等号成立 【答案】 14.【解析】因为0<x<1,所以lgx<0 所以-lgx>0 f(x)=lgx+ (-1gx)+ ≤-21(-1gx)
1 30 5＋2 b a · 4a b ＝ 3 10， 当且仅当 b a ＝ 4a b ， 4a＋b＝30， 即 a＝5， b＝10 时等号成立．故选 A. 9． 【解析】选 B. （x＋y）（x＋ay） xy ＝ x 2＋（a＋1）xy＋ay2 xy ＝a＋1＋ x 2＋ay2 xy ≥a＋1 ＋2 a＝( a＋1)2，当且仅当 x＝ ay 时等号成立，所以（x＋y）（x＋ay） xy 的最小值为( a＋ 1)2，于是( a＋1)2≥9 恒成立，所以 a≥4，故选 B. 10．【解析】选 B.(1＋x)(1＋y)≤ （1＋x）＋（1＋y） 2 2 ＝ 2＋（x＋y） 2 2 ＝ 2＋8 2 2 ＝25， 因此当且仅当 1＋x＝1＋y 即 x＝y＝4 时，(1＋x)(1＋y)取最大值 25，故选 B. 11．【解析】选 C. x＋ 1 2y 2 ＋ y＋ 1 2x 2 ＝ x 2＋ 1 4x 2 ＋ y 2＋ 1 4y 2 ＋ x y ＋ y x ≥1＋1＋2＝4. 当且仅当 x＝y＝ 2 2 时，式子取得最小值 4. 12．【解析】选 C.本题①中作差变形后可得：a 3＋b 3－a 2b－ab2＝(a－b) 2 (a＋b)，由于 a， b 为正实数，a≠b，所以(a－b) 2 (a＋b)＞0，即①正确；对于②用赋值法很容易判断其错误， 如 a＝1，b＝2，m＝1，符合条件但结论不正确；对于③，利用不等式的性质，在不等式两 边同时乘 c 2，不等号的方向不改变，故正确；对于④，利用基本不等式成立的条件“一正， 二定，三相等”的第三点不成立，取不到“＝”，故④错误．综合得正确的有①，③两个， 从而选 C. 13． 【解析】由已知条件 lg x＋lg y＝1，可得 xy＝10. 则 2 x ＋ 5 y ≥2 10 xy ＝2， 故 2 x ＋ 5 y 最小值 ＝2， 当且仅当 2y＝5x 时取等号． 又 xy＝10，即 x＝2，y＝5 时等号成立． 【答案】2 14．【解析】因为 0＜x＜1，所以 lg x＜0， 所以－lg x＞0， f(x)＝lg x＋ 4 lg x ＝－ （－ lg x）＋ 4 －lg x ≤－2 （－lg x）· 4 －lg x ＝－4