6.(2012·浙江)若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是( 24 A B 解009:++已9+9+1 1313x4121213+2×2 5(当且仅当x=2y时取等号) 【答案】C 7.已知不等式(x+D(+≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值是() B.4 C.6 D.8 【解析](+(+=1++2+=1++2:当1计N后≥9时不等式恒成立故+1≥3 【答案】B 技巧六:构造一元二次不等式 在运用该方式解题时,既要掌握公式的正用,也要注意公式的逆用,例如a+b≥2ab逆用就是ab≤ a+b a+b y(mD>D用就是((m0还要注意“添、拆技巧和公式等号 成立的条件等 思考方式还能以保留“和(a+b)”还是“积(ab)”来确定公式的运用方向 【母题六】若正实数x,y满足2x+y+6=xy,则xy的最小值是 【解析】由x>0,y>0,2x+y+6=x,得xy≥2V2xy+6(当且仅当2x=y时,等号成立), 即(x)2-2x-6≥0,∴(-32·(x+2)≥0.又:>0,∴x≥3VE, 即xy≥18.∴xy的最小值为18 【答案】18 【变式】 1.已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是() 11 2 【解析】依题意,得2x=-(x+2+8≤1x+2 当且仅当=2 时等 x+2y+2xy=8
6．(2012·浙江)若正数 x，y 满足 x＋3y＝5xy，则 3x＋4y 的最小值是( ) A． 24 5 B． 28 5 C．5 D．6 【解析】∵x＞0，y＞0，由 x＋3y＝5xy 得 1 5 1 y ＋ 3 x ＝1．∴3x＋4y＝ 1 5 (3x＋4y) 1 y ＋ 3 x ＝ 1 5 3x y ＋4＋9＋ 12y x ＝ 13 5 ＋ 1 5 3x y ＋ 12y x ≥ 13 5 ＋ 1 5 ×2 3x y · 12y x ＝5(当且仅当 x＝2y 时取等号)． 【答案】C 7．已知不等式(x＋y) 1 x ＋ a y ≥9 对任意正实数 x，y 恒成立，则正实数 a 的最小值是( ) A．2 B．4 C．6 D．8 【解析】(x＋y) 1 x ＋ a y ＝1＋a＋ y x ＋ ax y ≥1＋a＋2 a，∴当 1＋a＋2 a≥9 时不等式恒成立，故 a＋1≥3， a≥4． 【答案】B 技巧六：构造一元二次不等式 在运用该方式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如 a 2＋b 2≥2ab 逆用就是 ab≤ a 2＋b 2 2 ； a＋b 2 ≥ ab (a，b＞0)逆用就是 ab≤ a＋b 2 2 (a，b＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号 成立的条件等． 思考方式还能以保留“和(a＋b)”还是“积(ab)”来确定公式的运用方向． 【母题六】若正实数 x，y 满足 2x＋y＋6＝xy，则 xy 的最小值是________． 【解析】由 x＞0，y＞0，2x＋y＋6＝xy，得 xy≥2 2xy＋6(当且仅当 2x＝y 时，等号成立)， 即( xy) 2－2 2 xy－6≥0，∴( xy－3 2)·( xy＋ 2)≥0． 又∵ xy＞0，∴ xy≥3 2， 即 xy≥18．∴xy 的最小值为 18． 【答案】18 【变式】 1．已知 x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，则 x＋2y 的最小值是( ) A．3 B．4 C． 9 2 D． 11 2 【解析】依题意，得 2xy＝－(x＋2y)＋8≤ x＋2y 2 2，当且仅当 x＝2y， x＋2y＋2xy＝8， 即 x＝2， y＝1 时等
号成立.∴(x+2y)2+4(x+2y)-32≥0,解得x+2y≥4或x+2<≤-8(舍去),∴x+2y的最小值是4 【答案】B 2.若正数x,y满足x2+3xy-1=0,则x+y的最小值是() √2 V2 3 c 3 【解析】对于x+3xy-1=0可得y31+),…x+y=3+3≥2 v 2 3(当且仅当21 时等号成立) 【答案】B 3.若实数x,y满足x2+y2+xy=1,则x+y的最大值是 解析】对+汁十=1学(+-=1(+-1=≤(+5,解得25≤x+×≤2 【答案】 图型四、基本不等式的应用 1.某公司租地建仓库,每月土地占用费n与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y2与仓 库到车站的距离成正比,如果在距车站10公里处建仓库,这两项费用y和y分别为2万元和8万元,那么 要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站 公里处 【解析】设x为仓库与车站距离,0.8x.费用之和y=n+y2=0.8x20 ≥2y.x.x=8,当且仅当0.8x=x,即x=5时等号成立 【答案】5 2.创新题规定记号“⊙”表示一种运算,即a⊙b=Vab+a+b(a,b为正实数).若⊙k=3,则 k的值为 此时函数()=的最小值为 【解析】1⊙k=√+1+k=3,即k+Vk-2=0,∴√k=1或k=-2(舍),∴k=1 r(0==++1-=1+√+1≥1+2=3,当且仅当= F即x=1时等号成立 【答案】1;3 3.设OA=(1,-2),OB=(a,-1),OC=(-b,0)(a>0,b>0,O为坐标原点),若A,B,C三点共 线,则2+的最小值是(
号成立．∴(x＋2y) 2＋4(x＋2y)－32≥0，解得 x＋2y≥4 或 x＋2y≤－8(舍去)，∴x＋2y 的最小值是 4． 【答案】B 2．若正数 x，y 满足 x 2＋3xy－1＝0，则 x＋y 的最小值是( ) A． 2 3 B． 2 2 3 C． 3 3 D． 2 3 3 【解析】对于 x 2＋3xy－1＝0 可得 y＝ 1 3 ( 1 x －x)，∴x＋y＝ 2x 3 ＋ 1 3x ≥2 2 9 ＝ 2 2 3 (当且仅当2x 3 ＝ 1 3x ，即 x ＝ 2 2 时等号成立)． 【答案】B 3．若实数 x，y 满足 x 2＋y 2＋xy＝1，则 x＋y 的最大值是________． 【解析】x 2＋y 2＋xy＝1⇔(x＋y) 2－xy＝1⇔(x＋y) 2－1＝xy≤(x＋y 2 ) 2，解得－2 3 3 ≤x＋y≤ 2 3 3 ． 【答案】2 3 3 类型四、基本不等式的应用 1．某公司租地建仓库，每月土地占用费 y1 与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费 y2 与仓 库到车站的距离成正比，如果在距车站 10 公里处建仓库，这两项费用 y1和 y2 分别为 2 万元和 8 万元，那么 要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________公里处． 【解析】设 x 为仓库与车站距离，由已知 y1＝ 20 x ，y2＝0.8x．费用之和 y＝y1＋y2 ＝0.8x＋ 20 x ≥2 0.8x· 20 x ＝8，当且仅当 0．8x＝ 20 x ，即 x＝5 时等号成立． 【答案】5 2． 创新题 规定记号“⊙”表示一种运算，即 a⊙b＝ ab＋a＋b(a，b 为正实数)．若 1⊙k＝3，则 k 的值为________，此时函数 f(x)＝ k⊙x x 的最小值为________． 【解析】1⊙k＝ k＋1＋k＝3，即 k＋ k－2＝0，∴ k＝1 或 k＝－2(舍)，∴k＝1． f(x)＝ k⊙x x ＝ x＋x＋1 x ＝1＋ x＋ 1 x ≥1＋2＝3，当且仅当 x＝ 1 x ，即 x＝1 时等号成立． 【答案】1；3 3．设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a，－1)，OC →＝(－b，0)(a＞0，b＞0，O 为坐标原点)，若 A，B，C 三点共 线，则2 a ＋ 1 b 的最小值是( )