连续函第十一节数的运算与性质一、连续函数的算术运算二、反函数的连续性三、复合函数的连续性四、初等函数的连续性五、闭区间上连续函数的性质
第十一节 连续函 数的运算与性质 一、连续函数的算术运算 二、反函数的连续性 五、闭区间上连续函数的性质 三、复合函数的连续性 四、初等函数的连续性
一、连续函数的算术运算定理1若函数f(x)，g(x)在点x处连续f(x)则 f(x)±g(x), f(x)· g(x)(g(x) ± 0)g(x)在点x处也连续例如，sinx,cosx在(-oo,+o)内连续故tanx,cotx,secx,cscx在其定义域内连续
一、连续函数的算术运算 定理1 . ( ( ) 0) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ), ( ), ( ) , 0 0 0 在 点 处也连续 则 若函数 在 点 处连续 x g x g x f x f x g x f x g x f x g x x 例如, sin x,cos x在(−,+)内连续, 故 tan x,cot x,sec x,csc x 在其定义域内连续
二、反函数的连续性定理2严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数，元元3上单调增加且连续，例如，y=sinx在[故y=arcsinx在[-1,1]上也是单调增加且连续同理y=arccosx在[-1,1]上单调减少且连续;y=arctanx,y=arccotx在[-oo,+o]上单调且连续反三角函数在其定义域内皆连续
二、反函数的连续性 定理2 严格单调的连续函数必有严格单调的连 续反函数. 例如, ] , 2 , 2 sin 在[ 上单调增加且连续 y = x − 故 y = arcsin x 在[−1,1]上也是单调增加且连续. 同理 y = arccos x 在[−1,1]上单调减少且连续; y = arctan x, y = arccot x 在[− ,+ ]上单调且连续. 反三角函数在其定义域内皆连续
三、复合函数的连续性定理3若lim p(x)=a,函数f(u)在点a连续x-xo则有 lim f[β(x)]= f(a)= f[lim p(x)]x-→xox-→xo证：f(u)在点u=a连续，>0>0,使当u-a时恒有|f(u)-f(a)<ε成立.又: limp(x)= a,对于>0,>0,使当0<x-x<时
定理3 lim [ ( )] ( ) [lim ( )]. lim ( ) , ( ) , 0 0 0 f x f a f x x a f u a x x x x x x = = = → → → 则 有 若 函 数 在 点 连 续 证 f (u)在点u = a连续, ( ) ( ) . 0, 0, , 恒有 成立 使当 时 − − f u f a u a lim ( ) , 0 x a x x = → 又 0, 0, 0 , 对于 使当 x − x0 时 三、复合函数的连续性
恒有p(x)-a=u-a<n成立将上两步合起来：>0,>0,使当0-时f(u)-f(a) =f[p(x)-f(a)< 成立: lim f[p(x)] = f(a) =[limp(x)]X-→xo→XO
恒有(x) − a = u − a 成立. 将上两步合起来: 0, 0, 0 , 使当 x − x0 时 f (u) − f (a) = f[(x)]− f (a) 成立. lim [ ( )] ( ) 0 f x f a x x = → [lim ( )]. 0 x x x → =