《电磁场》课程教学资源_习题训练_第三章 静电场分析

第三章静电场分析3.1真空中半径为α的一个球面，球的两极点处分别设置点电荷和一q，试计算球赤道平面上电通密度的通量Φ（如题3.1图所示）。赤道平面题3.1图解由点电荷9和一q共同产生的电通密度为D=(R_R)4元RR-I,er+e(z-a)e,r+e.(z+a)4元[ +(2-a)/2~[72+(2+a)32则球赤道平面上电通密度的通量@=[D.ds=[D.e.-. dsSs(-a)aq+a（+a12元dr4元qa1-1)q=-0.293q(+a)/。=(V23.21911年卢瑟福在实验中使用的是半径为r。的球体原子模型，其球体内均匀分布有总电荷量为一7e的电子云，在球心有一正电荷7e（7是原子序数，eZe1F），试证是质子电荷量），通过实验得到球体内的电通量密度表达式为D。=e，会(宁Pa明之。解位于球心的正电荷Ze在球体内产生的电通量密度为ZeD,=e,4元2原子内电子云的电荷体密度为Ze3ZeP=4元/3-～4元电子云在原子内产生的电通量密度则为

第三章 静电场分析 3.1 真空中半径为 a 的一个球面，球的两极点处分别设置点电荷 q 和− q ，试计算球赤 道平面上电通密度的通量  (如题 3.1 图所示)。 q −q a 赤道平面 题 3.1 图 解 由点电荷 q 和 − q 共同产生的电通密度为 3 3 2 2 3 2 2 2 3 2 ( ) 4 ( ) ( ) { } 4 [ ( ) ] [ ( ) ] r z r z q R R q r z a r z a r z a r z a   + − + − = − + − + + = − + − + + R R D e e e e 则球赤道平面上电通密度的通量 0 2 2 3 2 2 2 3 2 0 2 2 1 2 0 d d ( ) [ ]2 d 4 ( ) ( ) 1 ( 1) 0.293 ( ) 2 z z S S a a S q a a r r r a r a qa q q r a    = = = − = − + + = = − = − +    D S D e 3.2 1911 年卢瑟福在实验中使用的是半径为 a r 的球体原子模型， 其球体内均匀分布有总电荷量为 − Ze 的电子云，在球心有一正电荷 Ze （ Z 是原子序数， e 是质子电荷量），通过实验得到球体内的电通量密度表达式为 0 2 3 1 ( ) 4 r a Ze r  r r D e = − ，试证 明之。 解 位于球心的正电荷 Ze 在球体内产生的电通量密度为 1 2 4 r Ze  r D e = 原子内电子云的电荷体密度为 3 3 3 4 3 4 a a Ze Ze r r    = − = − 电子云在原子内产生的电通量密度则为

p4元3/3Ze rD, =e4元24元3故原子内总的电通量密度为Ze,1D= D, +D, =e,4元2Ya3.3电荷均匀分布于两圆柱面间的区域中，体密度为P.C/m，两圆柱面半径分别为a和b，轴线相距为c(c<b-α)，如题3.3图(a)所示。求空间各部分的电场。解由于两圆柱面间的电荷不是轴对称分布，不能直接用高题3.3图（a）斯定理求解。但可把半径为α的小圆柱面内看作同时具有体密度分别为土p的两种电荷分布，这样在半径为b的整个圆柱体内具有体密度为P。的均匀电荷分布，而在半径为α的整个圆柱体内则具有体密度为一P的均匀电荷分布，如题3.3图(b)所示。空间任一点的电场是这两种电荷所产生的电场的叠加。题3.3图（b）在r>b区域中，由高斯定理SEdS=qS60可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点P产生的电场分别为rb"po-Pob'rE=e260r22元80rPoa'r'-元a"poE'=e280/22元80r点P处总的电场为b'ra'rPoE=E, +E'=-(r?260在r<b且r>α区域中，同理可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点P产生的电场分别为元r"po=PorE,=e2元80r260Poa'r'-元d'poE, =e28gr'22元80r

3 2 2 3 4 3 4 4 r r a r Ze r r r     D e e = = − 故原子内总的电通量密度为 1 2 2 3 1 ( ) 4 r a Ze r  r r D D D e = + = − 3.3 电荷均匀分布于两圆柱面间的区域中，体密度为 3 0 C m , 两圆柱面半径分别为 a 和 b ，轴线相距为 c (c  b − a) ，如题 3.3 图 ( ) a 所示。求空间各部分的电场。 解 由于两圆柱面间的电荷不是轴对称分布，不能直接用高 斯定理求解。但可把半径为 a 的小圆柱面内看作同时具有体密度 分别为 0 的两种电荷分布，这样在半径为 b 的整个圆柱体内具有体密度为 0 的均匀电荷 分布，而在半径为 a 的整个圆柱体内则具有体密度为−0 的均匀电荷分布，如题 3.3 图 ( ) b 所 示。空间任一点的电场是这两种电荷所产生的电场的叠加。 题 3. 3 图 ( ) b ＝ ＋ a b c 0 a b c 0 a b c −0 在 r  b 区域中，由高斯定理 0 d S q  =  E S 可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点 P 产生的电场分别为 2 2 0 0 1 2 0 0 2 2 r b b r r      = = r E e 2 2 0 0 1 2 0 0 2 2 r a a r r      −    = = −   r E e 点 P 处总的电场为 2 2 0 1 1 2 2 0 ( ) 2 b a r r    = + = −   r r E E E 在 r  b 且 r   a 区域中，同理可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点 P 产生的电场分 别为 2 0 0 2 0 0 2 2 r r r      = = r E e 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 r a a r r      −    = = −   r E e 题 3. 3 图 ( ) a a b c 0

点P处总的电场为a'rPoE= E, +E' =(r.260在r<α的空腔区域中，大、小圆柱中的正、负电荷在点P产生的电场分别为元r'po-PorE,=e.2元80260,-r"po-Por'E, =e'2元801280点P处总的电场为Po(r-r)=PoE=E,+E'=2802603.4半径为α的球体中充满密度p(r)的体电荷，已知电位移分布为[r' + Ar?(r≤a)D,=α + Aa*(r≥a)r2其中A为常数，试求电荷密度p(r)。解由V.D=P，有1 dd(rD,)p(r)= VD = -2dr故在r<a区域1 d[r2(r3 + Ar2)]=8(5r2 +4Ar)p(r)=80dr在r>a区域1 [r2 (a +Aa))=0p(r)=drr23.5一个半径为α薄导体球壳内表面涂覆了一薄层绝缘膜，球内充满总电荷量为Q为的体电荷，球壳上又另充有电荷量。已知球内部的电场为E=e（r/α)，设球内介质为真空。计算：（1）球内的电荷分布：（2）球壳外表面的电荷面密度解（1）由高斯定理的微分形式可求得球内的电荷体密度为2-1-1 d1d(r2(rE)=(p=V.E=0lF]=680a（2）球体内的总电量Q为.Q=[pdt = [680 =-4元d=4元aa0球内电荷不仅在球壳内表面上感应电荷一Q，而且在球壳外表面上还要感应电荷9，所以球壳外表面上的总电荷为29，故球壳外表面上的电荷面密度为2Q=280a=4元a3.6两个无限长的同轴圆柱半径分别为r=a和r=b（b>a)，圆柱表面分别带有密度

点 P 处总的电场为 2 0 2 2 2 0 ( ) 2 a r    = + = −   r E E E r 在 r   a 的空腔区域中，大、小圆柱中的正、负电荷在点 P 产生的电场分别为 2 0 0 3 0 0 2 2 r r r      = = r E e 2 0 0 3 0 0 2 2 r r r      −     = = −  r E e 点 P 处总的电场为 0 0 3 3 0 0 ( ) 2 2     E E E r r c = + = − =   3.4 半径为 a 的球体中充满密度 ( )r 的体电荷，已知电位移分布为 3 2 5 4 2 ( ) ( ) r r Ar r a D a Aa r a r  +   =  +    其中 A 为常数，试求电荷密度 ( )r 。 解 由  = D  ，有 2 2 1 d ( ) ( ) d r r r D r r  =  = D 故在 r a  区域 2 3 2 2 0 0 2 1 d ( ) [ ( )] (5 4 ) d r r r Ar r Ar r r    = + = + 在 r a  区域 5 4 2 0 2 2 1 d ( ) ( ) [ ] 0 d a Aa r r r r r   + = = 3.5 一个半径为 a 薄导体球壳内表面涂覆了一薄层绝缘膜，球内充满总电荷量为 Q 为 的体电荷，球壳上又另充有电荷量 Q 。已知球内部的电场为 4 ( ) r E e = r a ，设球内介质为 真空。计算：（1） 球内的电荷分布；（2）球壳外表面的电荷面密度。 解 （1） 由高斯定理的微分形式可求得球内的电荷体密度为 4 3 2 2 0 0 0 0 2 2 4 4 1 d 1 d [ ( )] [ ( )] 6 d d r r r E r r r r r a a      =  = = = E （2）球体内的总电量 Q 为 3 2 2 0 0 4 0 d 6 4 d 4 a r Q r r a a  = = =        球内电荷不仅在球壳内表面上感应电荷− Q ，而且在球壳外表面上还要感应电荷 Q ，所以 球壳外表面上的总电荷为 2 Q ，故球壳外表面上的电荷面密度为 2 0 2 2 4 Q a    = = 3.6 两个无限长的同轴圆柱半径分别为 r a = 和 r b = ( ) b a  ，圆柱表面分别带有密度

为α,和,的面电荷。（1）计算各处的电位移D：（2）欲使r>b区域内D。=0，则α和，应具有什么关系？Dd=q，当r<a时，有Do=0解（1）由高斯定理当a<r<b时，有2元rD2=2元ao，，则Doz =e, adi1当b<r<时，有2元rD=2元ao，+2元bo，，则ao,+bo2Do=e,rao,+bo2=0），则得到(2)令Do=erGi=-boa3.7计算在电场强度E=e.y+e,x的电场中把带电量为-2μC的点电荷从点P(2,1-1)移到点P(8,2,-1)时电场所做的功：（1）沿曲线x=2y2；（2）沿连接该两点的直线。解(1) W=[F-dl=gJE-dl=gJE.dx+E,dyc=q[ydx+xdy=q[yd(2y2)+2y'dyq[6y2dy=14q=-28×10(J)(2）连接点P(2,1-1)到点P(8.2.-1)直线方程为x-2 x-8J-1-y-2即：x-6y+4=0，故W=q[ ydx+xdy=qJ yd(6y-4)+(6y-4)dy1=q[(12y-4)dy=14q=-28×10-° (J)3.8长度为L的细导线带有均匀电荷，其电荷线密度为Pio。（1）计算线电荷平分面上任意点的电位?：（2）利用直接积分法计算线电荷平分面上任意点的电场E，并用E=-Vβ核对。解（1）建立如题3.8图所示坐标系。根据电位的积分表达式，线电荷平分面上任意点P的电位为

为  1 和  2 的面电荷。（1）计算各处的电位移 D0 ；（2）欲使 r b  区域内 0 D = 0 ，则  1 和  2 应具有什么关系？ 解 （1）由高斯定理 0 d S = q  D S ，当 r a  时，有 01 D = 0 当 a r b   时，有 02 1 2 2    rD a = ，则 1 02 r a r  D e = 当 b r    时，有 03 1 2 2 2 2      rD a b = + ，则 1 2 03 r a b r   + D e = （2）令 1 2 03 0 r a b r   + D e = = ，则得到 1 2 b a   = − 3.7 计算在电场强度 x y E e e = +y x 的电场中把带电量为 −2 C 的点电荷从点 1P(2,1, 1) − 移到点 2P (8,2, 1) − 时电场所做的功：（1）沿曲线 2 x y = 2 ；（2）沿连接该两 点的直线。 解 （1） d d d d x y C C C W q q E x E y = = = +    F l E l 2 2 2 1 d d d(2 ) 2 d C = + = + q y x x y q y y y y   2 2 6 1 q y y q J 6 d 14 28 10 ( ) − = = = −   （2）连接点 1P(2,1, 1) − 到点 2P (8,2, 1) − 直线方程为 2 8 1 2 x x y y − − = − − 即： x y − + = 6 4 0 ，故 2 1 d d d(6 4) (6 4)d C W q y x x y q y y y y = + = − + −   2 6 1 q y y q J (12 4)d 14 28 10 ( ) − = − = = −   3.8 长度为 L 的细导线带有均匀电荷，其电荷线密度为 l 0 。（1）计算线电荷平分面 上任意点的电位  ；（2）利用直接积分法计算线电荷平分面上任意点的电场 E ，并用 E = − 核对。 解 （1）建立如题 3.8 图所示坐标系。根据电位的积分表达式，线电荷平分面上任意点 P 的电位为

p(r,0) =/24元802+2*2P In(2' + /rP +224元60-L/2Jr2 +(L/2)~ + L/2Pio_In4元0Jr2 +(L/2) - L/2yr2 +(L/2)* + L/2Pro2元60L/2Pic-L/2题3.8图（2）根据对称性，可得两个对称线电荷元Prod=在点P的电场为Prodz'Pordz'dE=edE,=e,cosQ=e,2(r2 +22)3/22元62+2*2故长为L的线电荷在点P的电场为/2Piorde'2元80(2+22)3/2L/2LZProO1=e2元804元rJr2+(L/2)+=/211由E=-Vβ求E，有 L/2 + /r2 +(L/2)2PloInE=-V0=2元8Prod[in(L/2 + J/P +(L/2)])-In r2元drPro2元80L/2 + Jr2 +(L/2)2 /r2 +(L/2)

2 0 2 2 2 0 2 0 2 2 2 0 2 2 0 2 2 0 2 2 0 0 d ( ,0) 4 ln( ) 4 ( 2) 2 ln 4 ( 2) 2 ( 2) 2 ln 2 L l L L l L l l z r r z z r z r L L r L L r L L r          − −  = +  = + +   + + = + − + + =  L 2 −L 2 P  z o r l 0 题 3.8 图 （2）根据对称性，可得两个对称线电荷元 z l d   0 在点 P 的电场为 0 0 2 2 3 2 2 2 0 0 d d d d cos 2 2 ( ) l l r r r r z r z E r z r z        = = = +  +  E e e e 故长为 L 的线电荷在点 P 的电场为 2 0 2 2 3 2 0 0 d d 2 ( ) L l r r z r z    = = +    E E e 2 0 0 2 2 2 2 0 0 0 ( ) 2 4 ( 2) L l l r r z L r r r z r L      = = +  + e e 由 E = − 求 E ，有 2 2 0 0 2 ( 2) ln 2 l L r L r      + + = − = −        E ( ) 0 2 2 0 d ln 2 ( 2) ln 2 d l r L r L r r     = − + + −     e 0 2 2 2 2 0 1 2 2 ( 2) ( 2) l r r r L r L r L       = − −       + + +       e