第四章静态场边值问题的解法一、概述1.静态场问题分布型：已知电荷分布，直接求场区的电场强度和电位。边值型：已知边界上（导体表面、介质分界面）的电位、电荷（或位函数在边界上的法向导数）等条件，求解场区的电场与电位。即求解给定边界条件下的拉普拉斯方程或泊松方程。2.求解方法解析法：直接积分法、分离变量法、镜像法、多极展开、保角变换等。数值法：有限元法、边界元法、有限差分法等。3.内容边值型问题分类，泊松方程和拉普拉斯方程，唯一性定理。分离变量法求解直角、圆柱和球坐标中的拉普拉斯方程。镜像法求解具有对称边界的问题。有限差分法的基本原理。4.重点对边值型问题的求解。（分离变量法、镜像法）实际问题的分析及求解。5.难点寻求及灵活应用边界条件求定解。6.建议理解概念，掌握分析思路和方法。利用所学知识分析实际问题。建议学时：14二、静态场的边值型问题1.边值型问题的分类第一类边值问题（狄利赫利（Dirichlet）问题）：边界上的位函数已知。第二类边值问题（诺伊曼（Neumann）问题）：位函数在边界上的法向导数已知。第三类边值问题（混合边值问题）：部分边界上位函数已知，部分边界上位函数的法向导数已知。如果边界是导体，则上述三类问题分别变为：已知各导体表面的电位：已知各导体表面的总电量；已知一部分导体电位与另一部分导体的电荷量。2.拉普拉斯方程和泊松方程拉普拉斯方程和泊松方程是静态场的基本方程。a-=060三、唯一性定理1.唯一性定理既满足拉普拉斯方程或泊松方程，又满足边界条件的电位是唯一的。2.定理的证明反证法。先假定场的解答不唯一。已知体积V内的电荷密度为P，在有限的区域内有n个带电导体，若其中导体面S
第四章 静态场边值问题的解法 一、概述 1. 静态场问题 分布型：已知电荷分布，直接求场区的电场强度和电位。 边值型：已知边界上（导体表面、介质分界面）的电位、电荷（或位函数在边界上的 法向导数）等条件，求解场区的电场与电位。即求解给定边界条件下的拉普拉斯方程或泊松 方程。 2. 求解方法 解析法：直接积分法、分离变量法、镜像法、多极展开、保角变换等。 数值法：有限元法、边界元法、有限差分法等。 3. 内容 边值型问题分类，泊松方程和拉普拉斯方程，唯一性定理。 分离变量法求解直角、圆柱和球坐标中的拉普拉斯方程。 镜像法求解具有对称边界的问题。 有限差分法的基本原理。 4. 重点 对边值型问题的求解。（分离变量法、镜像法） 实际问题的分析及求解。 5. 难点 寻求及灵活应用边界条件求定解。 6. 建议 理解概念，掌握分析思路和方法。 利用所学知识分析实际问题。 建议学时：14 二、静态场的边值型问题 1. 边值型问题的分类 第一类边值问题（狄利赫利（Dirichlet）问题）：边界上的位函数已知。 第二类边值问题（诺伊曼（Neumann）问题）：位函数在边界上的法向导数已知。 第三类边值问题（混合边值问题）：部分边界上位函数已知，部分边界上位函数的法向 导数已知。 如果边界是导体，则上述三类问题分别变为：已知各导体表面的电位；已知各导体表 面的总电量；已知一部分导体电位与另一部分导体的电荷量。 2. 拉普拉斯方程和泊松方程 拉普拉斯方程和泊松方程是静态场的基本方程。 ， 三、唯一性定理 1. 唯一性定理 既满足拉普拉斯方程或泊松方程，又满足边界条件的电位是唯一的。 2. 定理的证明 反证法。 先假定场的解答不唯一。 已知体积 V 内的电荷密度为 ，在有限的区域内有 n 个带电导体，若其中导体面
Se上的电位是给定的，而其余所有导体表面，Ssl，，S上的电荷密度分布是给定ad73的，即导体表面上的位函数的法向导数n是给定的。现参照右图来推证唯一性定理。O假定同一点出现两个电位及，而且、都满足泊松方程，则0P1V"4=-p/s中--p/e令妤一妤一妤图4.2.1证明唯一性定理用图 =(-)=-/+/= 0因而，%也应满足拉普拉斯方程，即()=+利用矢量恒等式：把式"=0代如上式，则有（%%）-·，将上式进行体积积分，并应用散度定理，得：(().a-av由于正交于S 面的梯度分量可以用a/an来表示，而该梯度分量又与αS的方向一致，于 ds- fio Pavfio onds是上式可以写成该式中的面积分式对包围体积V的全部表面进行的。体积V则是除去导体以外的所有体积，它伸展到无穷远。因此上式的面积分应由三部分构成，一是对S1，，S%的导体表面积Sk+1SrS积分。亦的导体表面积分，三是对伸展到无穷远处的表面分，二是对即a ds+Loadodsado as=fadoas+ffg40ananCanSH..S,an由于对应于S的那部分积分及对应于S1，，S的面积分为零，而对应于S，S的面积分由于这些导体表面上的位函数的法向导数是给定的，以及导体上的表面电荷密
上的电位是给定的，而其余所有导体表面， ，.， 上的电荷密度分布是给定 的，即导体表面上的位函数的法向导数 是给定 的。现参照右图来推证唯一性定理。 假定同一点出现两个电位 及 ，而且 、 都满足泊松方程，则 令 图 4.2.1 证明唯一性定理用图 因而， 也应满足拉普拉斯方程，即 利用矢量恒等式: 把式 代如上式，则有 ， 将上式进行体积积分，并应用散度定理，得： 由于正交于 S 面的梯度分量可以用 来表示，而该梯度分量又与 的方向一致，于 是上式可以写成 该式中的面积分式对包围体积 V 的全部表面进行的。体积 V 则是除去导体以外的所有体积， 它伸展到无穷远。因此上式的面积分应由三部分构成，一是对 ，.， 的导体表面积 分，二是对 ，.， 的导体表面积分，三是对伸展到无穷远处的表面 积分。亦 即 由于对应于 的那部分积分及对应于 ，.， 的面积分为零，而对应于 ，.， 的面积分由于这些导体表面上的位函数的法向导数是给定的，以及导体上的表面电荷密
adaadn与dn没有差别，所以度是给定的（属第二类边值问题），因此3 -34_3d2 -0ananam，即这部分的面积分也为零。这样上式等于零。于是可=0又=0，由于=虾一，知：。上式等于零的唯一可能是V=Vd。所以又有这表明，若与之间相差一个常数（）的话，上式仍是正确的。但是，在导体表面上外和必等于同一个数值，没有任何差别。因此，所提到的外与可能相差的这个常数只能为零，即=0所以死=虫3.定理的意义唯一性定理提出了定解的充分必要条件。求解时，我们总是判断问题的边界条件是否足够，当满足必要的边界条件时，则可断定定解必定是唯一的。用不同的方法可能得到在形式上不同的解，但根据唯一性定理，它们必定是等价的。唯一性定理还启发我们只要能够找到一个满足边界条件的位函数，且这个函数又满足拉普拉斯方程，则它就是我们所要求的解。对边界面上的条件，只要电位函数或者电位的法向导数（即导体面上的带电量）两者给定其一，闭合面S内的电位就唯一的确定了。但是必须指出：如果给定表面上的电位，同时又任意给定该表面的电位法向导数，便没有唯一的解存在。因为任何表面上电位分布和电荷密度是相互制约的，在给定电位边界条件后，其法向导数就不能再任意给出了，反之亦然。四、分离变量法1.前提给定边界与一个适当坐标系的坐标面相合，或者分段地与坐标面相合。在坐标系中，待求偏微分方程的解可表示为三个函数的乘积，其中每个函数分别是一个坐标的函数。2.思路先将偏微分方程转换为常微分方程，再利用边界条件求解。3.解题步骤（1）分析问题，选坐标系，定坐标轴。（2）列电位方程。（3）变量分离，将偏微分方程转换为常微分方程。（4）分析边界条件，确定解的一般形式。（5）用边界条件确定解中的常数。五、直角坐标系中的分离变量法1.应用条件界面形状适合用直角坐标系表示。2.分析方法用分离变量法求通解，重点是利用边界条件求定解。3.直角坐标系中的拉普拉斯方程
度 是 给 定 的 （ 属 第 二 类 边 值 问 题 ）， 因 此 与 没 有 差 别 ， 所 以 ， 即 这 部 分 的 面 积 分 也 为 零 。 这 样 上 式 等 于 零 。 于 是 可 知 。上式等于零的唯一可能是 ，由于 ， 所以又有 。 这表明，若 与 之间相差一个常数（ ）的话，上式仍是正确的。但是，在 导体表面上 和 等于同一个数值，没有任何差别。因此，所提到的 与 可能相差 的这个常数只能为零，即 所以 3. 定理的意义 唯一性定理提出了定解的充分必要条件。求解时，我们总是判断问题的边界条件是否 足够，当满足必要的边界条件时，则可断定定解必定是唯一的。用不同的方法可能得到在形 式上不同的解，但根据唯一性定理，它们必定是等价的。唯一性定理还启发我们只要能够找 到一个满足边界条件的位函数，且这个函数又满足拉普拉斯方程，则它就是我们所要求的解。 对边界面上的条件，只要电位函数或者电位的法向导数（即导体面上的带电量）两者给 定其一，闭合面 S 内的电位就唯一的确定了。但是必须指出：如果给定表面上的电位，同 时又任意给定该表面的电位法向导数，便没有唯一的解存在。因为任何表面上电位分布和电 荷密度是相互制约的，在给定电位边界条件后，其法向导数就不能再任意给出了，反之亦然。 四、分离变量法 1. 前提 给定边界与一个适当坐标系的坐标面相合，或者分段地与坐标面相合。 在坐标系中，待求偏微分方程的解可表示为三个函数的乘积，其中每个函数分别是一个 坐标的函数。 2. 思路 先将偏微分方程转换为常微分方程，再利用边界条件求解。 3. 解题步骤 （1）分析问题，选坐标系，定坐标轴。 （2）列电位方程。 （3）变量分离，将偏微分方程转换为常微分方程。 （4）分析边界条件，确定解的一般形式。 （5）用边界条件确定解中的常数。 五、直角坐标系中的分离变量法 1. 应用条件 界面形状适合用直角坐标系表示。 2. 分析方法 用分离变量法求通解，重点是利用边界条件求定解。 3. 直角坐标系中的拉普拉斯方程
V-e+g+e-0ax2yz24.变量分离设P(xz)=f(x) g(o)·h(z)-0g(y)h(2)拉普拉斯方程变为(x)上式成立的唯一条件是三项中每一项都是常数，故可分解为下列三个方程：d'gd'f--k'yd"h=-k2n--k,'gdy2de?dx?k+k,22=0+&K和为常数，但不能全为实数或全为虚数。其中，15.常微分方程的解d'f--kef以常微分方程dx2为例，其解的形式为：若kx为零，则：(x)-Cix+C2若kx为实数，则：(x)=C,si(kgx)+Czcos(k,x)若kx为虚数，即=jB，则：(x)=Ciep.+Cem或J(x)-Cjsh(Bxx)+Cgch(Bx)Chx=e"+e-re*-e-*Ashx:22 其中,，见下图。h(x)图4.3.1双曲正弦曲线，通过图4.3.2双曲余弦曲线，不通过原点，原点对原点对称对y轴对称，顶点（同极小点)：A(0,1)6.求定解根据边界条件确定通解中的各个常数
4. 变量分离 设 拉普拉斯方程变为 上式成立的唯一条件是三项中每一项都是常数，故可分解为下列三个方程： ， ， 其中， ， 、 和 为常数，但不能全为实数或全为虚数。 5. 常微分方程的解 以常微分方程 为例，其解的形式为： 若 为零，则： 若 为实数，则： 若 为虚数，即 ，则： 或 其中， ， ，见下图。 图 4.3.1 双曲正弦曲线，通过 图 4.3.2 双曲余弦曲线，不通过原点， 原点对原点对称 对 y 轴对称，顶点（同极小点）：A(0,1) 6. 求定解 根据边界条件确定通解中的各个常数
六、圆柱坐标系中的分离变量法1.应用条件界面形状适合用圆柱坐标系表示。2.分析方法用分离变量法求通解，重点是利用边界条件求定解。3.圆柱坐标系中的拉普拉斯方程1a0a01 a(-0 arlaraaz34.电位轴对称情况（1）变量分离a01a0a30-00z2拉普拉斯方程ar2rar1a'f1af1an-0fdrhdz?设a)-fonha，拉普拉斯方程变为了ar1f+--T21a'hT2上式可分解为下列两个方程：了dr3rfdrhdz?（2）常微分方程的解若 T为实数，则()-[C)J(Tr)+C, N(T)[Cgsh(Tz)+C4ch(T2)T = jt, 则 P(rm) =[C,o(m) +C,Ko(r)[Cg sin(Tz) +C4 cos(z)若T为虚数，5.电位与z无关情况（1）变量分离+13"0-01 a/a-02rarlar拉普拉斯方程1 ag(p)rataf(r))0=0设-(n)g()，拉普拉斯方程变为"araug(p)上式可分解为下列两个方程：a"g()+g(d)-0rd"f(+r()-n"f(r)=0dpadr2dr（2）常微分方程的解Z("[A sin (n)+ Bu cos(np)]+r"[cu sin nd) + De cos(np)]0=21七、球坐标系中的分离变量法1.应用条件界面形状适合用球坐标系表示
六、圆柱坐标系中的分离变量法 1. 应用条件 界面形状适合用圆柱坐标系表示。 2. 分析方法 用分离变量法求通解，重点是利用边界条件求定解。 3. 圆柱坐标系中的拉普拉斯方程 4. 电位轴对称情况 （1）变量分离 拉普拉斯方程 设 ，拉普拉斯方程变为 上式可分解为下列两个方程： ， （2）常微分方程的解 若 T 为实数，则 若 T 为虚数， ，则 5. 电位与 z 无关情况 （1）变量分离 拉普拉斯方程 设 ，拉普拉斯方程变为 上式可分解为下列两个方程： ， （2）常微分方程的解 七、球坐标系中的分离变量法 1. 应用条件 界面形状适合用球坐标系表示