第四章静电场边值问题4.1如题4.1图所示为一长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的盖板，槽的电位为零，上边盖板的电位为U。，求槽内的电位函数。Uo工aX题4.1图解根据题意，电位β(xy）满足的边界条件为① p(0,y)=p(a,y)=0② p(x,0)=0p(x,b)=U.根据条件①和②，电位(x，y）的通解应取为A,sinh(nay)n元xLp(x,y)=)sin(aan=l由条件③，有n元bn元xA.sinh(U. =)sinaan=l两边同乘以sin(n元xa)，并从0到a对x积分，得到2U.Cn元x)dxsin(A.=aasinh(nb/a)2U。(1-cosn元)nsinh(nb/a)4Un=1,3,5,.n元sinh(n元ba)[0,n=2,4,6....故得到槽内的电位分布14U。sinh(ny))sin(nxp(x,y)=元.=1,3,5... sinh(n元b/a)aa4.2两平行无限大导体平面，距离为b，其间有一极薄的导体片由J=d到y=b（-oo<z<oo）。上板和薄片保持电位U。，下板保持零电位，求板间电位的解。设在薄片平面上，从y=O到y=d，电位线性变化，p(O,y)=Uy/d。解应用叠加原理，设板间的电位为p(x,y)=(x,y)+p(x,y)
第四章 静电场边值问题 4.1 如题 4.1 图所示为一长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝 缘的盖板，槽的电位为零，上边盖板的电位为 U0 ，求槽内的电位函数。 U0 y a x b o 题 4.1 图 解 根据题意，电位 ( , ) x y 满足的边界条件为 ① (0, ) ( , ) 0 y a y = = ② ( ,0) 0 x = ③ 0 ( , ) x b U= 根据条件①和②，电位 ( , ) x y 的通解应取为 1 ( , ) sinh( )sin( ) n n n y n x x y A a a = = 由条件③，有 0 1 sinh( )sin( ) n n n b n x U A a a = = 两边同乘以 sin( ) n x a ，并从 0 到 a 对 x 积分，得到 0 0 2 sin( )d sinh( ) a n U n x A x a n b a a = 0 0 2 (1 cos ) sinh( ) 4 , 1,3,5, sinh( ) 0 2, 4,6, U n n n b a U n n n b a n = − = = ， = 故得到槽内的电位分布 0 1,3,5, 4 1 ( , ) sinh( )sin( ) sinh( ) n U n y n x x y n n b a a a = = 4.2 两平行无限大 导体平 面， 距离为 b ，其 间有一 极薄的 导体 片由 y = d 到 y = b (− z ) 。上板和薄片保持电位 U0 ，下板保持零电位，求板间电位的解。设在 薄片平面上，从 y = 0 到 y = d ，电位线性变化， 0 (0, ) y U y d = 。 解 应用叠加原理，设板间的电位为 ( , ) x y = 1 2 ( , ) ( , ) x y x y +
tyU.dTx0一题4.2图其中，（x，y）为不存在薄片的平行无限大导体平面间（电压为U。）的电位，即P(x,y)=UJ/b；P(x,Jy)是两个电位为零的平行导体板间有导体薄片时的电位，其边界条件为：P(x,0)= P(x,b) =0①p2(x,y)=0 (x→0)②U。U.(0≤y≤d)1ab?P,(0,y) =p(0, y)-g(0, y)=U.U.(d<y≤b)1b根据条件①和②，可设P(xy)的通解为0.(a.0)-24 siclen元y6n=l由条件③有(U.U.(0≤y≤d)12208Vbn元yAsin(U.bn=1U(d≤y<b)两边同乘以sin(n元y/b)，并从0到b对y积分，得到d2U0TG12U。1n元yyn元y[(1-A:)dy)ysin()dy+)sin(bbbbbbdd2U。 bndSing(n元)db故得到U.2bU。1nWn元dn元yp(x,y) =De-sin()sin(V+bd元?bb=n4.3求在上题的解中，除开U/b6一项外，其他所有项对电场总储能的贡献。并按2WC一定出边缘电容。U?解在导体板（y=0）上，相应于β（x,y）的电荷面密度ap228.U1ndJeb==sin(02=-80nbay元dly=0则导体板上（沿=方向单位长）相应的总电荷
U0 y o x b d 题 4.2 图 其中， 1 ( , ) x y 为不存在薄片的平行无限大导体平面间（电压为 U0 ）的电位，即 1 0 ( , ) x y U y b = ； 2 ( , ) x y 是两个电位为零的平行导体板间有导体薄片时的电位，其边界 条件为： ① 2 2 ( ,0) ( , ) 0 x x b = = ② 2 ( , ) 0 ( ) x y x = → ③ 0 0 2 1 0 0 (0 ) (0, ) (0, ) (0, ) ( ) U U y y y d d b y y y U U y d y b b − = − = − 根据条件①和②，可设 2 ( , ) x y 的通解为 2 1 ( , ) sin( )e n x b n n n y x y A b − = = 由条件③有 0 0 1 0 0 (0 ) sin( ) ( ) n n U U y y y d n y d b A b U U y d y b b = − = − 两边同乘以 sin( ) n y b ，并从 0 到 b 对 y 积分，得到 0 0 0 2 2 1 1 ( ) sin( )d (1 )sin( )d d b n d U U n y y n y A y y y b d b b b b b = − + − 0 2 2 sin( ) ( ) U b n d n d b = 故得到 ( , ) x y = 0 0 2 2 1 2 1 sin( )sin( )e n x b n U bU n d n y y b d n b b − = + 4.3 求在上题的解中，除开 U y b 0 一项外，其他所有项对电场总储能的贡献。并按 2 0 2 U W C e f = 定出边缘电容。 解 在导体板（ y = 0 ）上，相应于 2 ( , ) x y 的电荷面密度 2 0 0 2 0 0 1 2 1 sin( )e n x b y n U n d y d n b − = = = − = − 则导体板上（沿 z 方向单位长）相应的总电荷
28Un元d)ebdxg.dx=2o,dxsin(=1bn元d0 n=l4U.b1元d-sino=Znb元d相应的电场储能为12EbU1n元d,sin(W =-90n?元dh2其边缘电容为2W.-48b1n元dC, =sin(U?b元d=n如题4.4图所示的导体槽，底面保持电位U。，其余两面电位为零，求槽内的电位4.4的解。Uoa题4.4图解根据题意，电位(x,Jy）满足的边界条件为① p(0,y)=p(a,y)=0② (x,y)→0(y-→o)(x,0)=U根据条件①和②，电位(xy）的通解应取为n元xA,e-nz y/a sin((x,y)=an=l由条件③，有n元xU。Asin(an=l两边同乘以sin(n元xa），并从0到a对x积分，得到2Unx)dxA.sin(aa0(4U。2U (1-cos nm)=n=1,3,5,...=n元n元0,n=2,4,6,..*故得到槽内的电位分布为4U。1n元xnry/ap(x,y)=sinde元n=l,3,.. a
2 2 2 0 q x x d 2 d − = = 0 0 0 1 2 2 sin( )e d n x b n U n d x n d b − = = − 0 0 2 2 1 4 1 sin( ) n U b n d d n b = = − 相应的电场储能为 2 0 0 2 0 2 2 1 1 1 2 sin( ) 2 e n bU n d W q U d n b = = − = 其边缘电容为 0 2 2 2 0 1 2 4 1 sin( ) e f n W b n d C U d n b = = = 4.4 如题 4.4 图所示的导体槽，底面保持电位 U0 ，其余两面电位为零，求槽内的电位 的解。 题 4.4 图 U0 y a x a o 解 根据题意，电位 ( , ) x y 满足的边界条件为 ① (0, ) ( , ) 0 y a y = = ② ( , ) 0 ( ) x y y → → ③ 0 ( ,0) x U= 根据条件①和②，电位 ( , ) x y 的通解应取为 1 ( , ) sin( ) n n n y a n x x y A e a − = = 由条件③，有 0 1 sin( ) n n n x U A a = = 两边同乘以 sin( ) n x a ，并从 0 到 a 对 x 积分，得到 0 0 2 sin( )d a n U n x A x a a = 0 0 4 2 , 1,3,5, (1 cos ) 0 2, 4,6, U U n n n n n = = − = ， = 故得到槽内的电位分布为 0 1,3,5, 4 1 ( , ) sin( ) n y a n U n x x y e n a − = =
4.5一长、宽、高分别为a、b、c的长方体表面保持零电位，体积内填充密度为元X元2p=y(y-b)sin(Osin(aC的电荷。求体积内的电位?。解在体积内，电位?满足泊松方程1元X元y(y-b)sin(sin((1)022ax?y?60a长方体表面S上，电位满足边界条件=0。由此设电位的通解为1SE2Am元xnyP元p(x,y,z)=-sin(sin)sin(ba%盒信险c代入泊松方程（1），可得222Am[(")m元n元ynn0元202+0+0lsinOsin)sino6bacacm=l n=l p=l元X元2= y(y-b)sin()sin(OC由此可得=0(m±1或p±1)n元y元+（"）sinA= J(y-b)(2)bh0p=l由式（2），可得27() +(“)]=jx(y-b)sin()d yAm[(=) +(b:bbac4.b)(cosn元-1)6n元8b2n=13,5....(n元)0n=2,4,6,..故8b211n元y元Xp(x, y,=) = -sin()sin)sin元0 (+(b(naC-12+CbaC4.6如题4.6图所示的一对无限大接地平行导体板，板间有一与轴平行的线电荷9i，其位置为（Od）。求板间的电位函数。qiOX题4.6图
4.5 一长、宽、高分别为 a、b 、c 的长方体表面保持零电位，体积内填充密度为 ( )sin( )sin( ) x z y y b a c = − 的电荷。求体积内的电位 。 解 在体积内，电位 满足泊松方程 222 2 2 2 0 1 ( )sin( )sin( ) x z y y b x y z a c + + = − − （1） 长方体表面 S 上，电位 满足边界条件 0 S = 。由此设电位 的通解为 0 1 1 1 1 ( , , ) sin( )sin( )sin( ) mnp m n p m x n y p z x y z A a b c = = = = 代入泊松方程（1），可得 2 2 2 1 1 1 [( ) ( ) ( ) ] mnp m n p m n p A abc = = = + + sin( )sin( )sin( ) m x n y p z a b c ( )sin( )sin( ) x z y y b a c = − 由此可得 0 A mnp = ( 1 m 或 p 1) 2 2 2 1 1 1 [( ) ( ) ( ) ]sin( ) ( ) n p n n y A y y b a b c b = + + = − （2） 由式（2），可得 2 2 2 1 1 0 2 [( ) ( ) ( ) ] ( )sin( )d b n n n y A y y b y a b c b b + + = − 4 3 ( ) (cos 1) b n b n = − 2 3 8 1,3,5, ( ) 0 2,4,6, b n n n − = = = 故 2 5 1,3,5, 3 2 2 2 0 8 1 ( , , ) sin( )sin( )sin( ) 1 1 [( ) ( ) ( ) ] n b x n y z x y z n a b c n abc = = − + + 4.6 如题 4.6 图所示的一对无限大接地平行导体板，板间有一与 z 轴平行的线电荷 l q ， 其位置为 (0,d) 。求板间的电位函数。 x y o a d ql 题 4.6 图
解由于在(0,d)处有一与z轴平行的线电荷qi，以x=0为界将场空间分割为x>0和x<0两个区域，则这两个区域中的电位(x,y)和(x,y)都满足拉普拉斯方程。而在x=0的分界面上，可利用函数将线电荷q,表示成电荷面密度(y)=q,8(y-%）。电位的边界条件为①p(x,0)=(x,a)=0(x,0)=,(x,a)=09(x,y)→0 (x→)②2(x,y)-→0 (x→-0)?g(0, y)=,(0, y)( )- -- ( - )axax60由条件①和②，可设电位函数的通解为ZAEn元y-nnx/a sin(p(x,y)=(x>0)a=lnyEB,enmrxa sin((x<0)p2(x,y)=an=l由条件③，有sWnyn元yA,sin(B, sin((1)aa=:Wn元2B.nyn元n元ys(y-d)sin(sin((2)A+aaaa80n=1=1由式（1），可得A, = B(3)将式（2）两边同乘以sin(m元y/a)，并从0到a对y积分，有n元d2q2qin元yA, +B, =(y-d)sin()dy=sin((4)J0aannT由式（3）和（4）解得ndqiA, = B, =sin(an元故9()=2sn元dnynzx/a sin((x>0)二sin(lea= na(x,)=n元dn元ynx/a(x<0)sin(sin(le元8nOa4.7如题4.7图所示的矩形导体槽的电位为零，槽中有一与槽平行的线电荷q。求槽内的电位函数
解 由于在 (0, ) d 处有一与 z 轴平行的线电荷 l q ，以 x = 0 为界将场空间分割为 x 0 和 x 0 两个区域，则这两个区域中的电位 1 ( , ) x y 和 2 ( , ) x y 都满足拉普拉斯方程。而在 x = 0 的分界面上，可利用 函数将线电荷 l q 表示成电荷面密度 0 ( ) ( ) l y q y y = − 。 电位的边界条件为 ① 1 1 ( ,0) ( , ) 0 x x a = = 2 2 ( ,0) ( , ) 0 x x a = = ② 1 ( , ) 0 x y → ( ) x → 2 ( , ) 0 x y → ( ) x → − ③ 1 2 (0, ) (0, ) y y = 2 1 0 0 ( ) ( ) l x q y d x x = − = − 由条件①和②，可设电位函数的通解为 1 1 ( , ) sin( ) n n n x a n y x y A e a = − = ( 0) x 2 1 ( , ) sin( ) n n n x a n y x y B e a = = ( 0) x 由条件③，有 1 sin( ) n n n y A a = = 1 sin( ) n n n y B a = （1） 1 sin( ) n n n n y A a a = + 1 sin( ) n n n n y B a a = 0 ( ) l q y d = − （2） 由式（1），可得 A B n n = （3） 将式（2）两边同乘以 sin( ) m y a ，并从 0 到 a 对 y 积分，有 0 0 0 2 2 ( )sin( )d sin( ) a l l n n q q n y n d A B y d y n a n a + = − = （4） 由式（3）和（4）解得 0 sin( ) l n n q n d A B n a = = 故 1 0 1 1 ( , ) sin( ) sin( ) l n q n d n y n x a x y e n a a = − = ( 0) x 2 0 1 1 ( , ) sin( ) sin( ) l n q n d n y n x a x y e n a a = = ( 0) x 4.7 如题 4.7 图所示的矩形导体槽的电位为零，槽中有一与槽平行的线电荷 l q 。求槽 内的电位函数