《电磁场》课程教学资源_习题训练_第三章 静电场分析

LPi=e4元元r2 +(L/2)2已知无限长均匀线电荷P,的电场3.9P,E=er2n5g试用定义式[E.dlp(r)=求其电位函数。其中r.为电位参考点。-Pdr=PInrl=PLin解 (r)={E-dl=J2元602元602元80由于是无限长的线电荷，不能将r，选为无穷远点。一点电荷+q位于(-a,0,0)，另一点电荷-2q位于(a,0,0)，求空间的零电位3.10面。解两个点电荷+q和-2g在空间产生的电位2q1qp(x,y,=)=4元6(x+a)°+y°+2x-a)+y°+2令p(x,y,z)=0，则有21=0J(x+a)+ y? +J(x-a)* +y*+2?即4[(x+a) +y2 +2]=(x-a) +y2+2?故得54(x+=a)*+y +2? =(a)233由此可见，零电位面是一个以点（-5a3,0,0)为球心、4a3为半径的球面。3.11证明习题3.2的电位表达式为Ze1r3p(r) =4元2r2r.解位于球心的正电荷Ze在原子外产生的电通量密度为ZeD,=er 4r电子云在原子外产生的电通量密度则为4元/3ZeD, =e.4元2r4元所以原子外的电场为零。故原子内电位为12Ze.)dr[Ddr =,p(r)=-(4元060r

0 2 2 0 4 ( 2) l r L r r L   = + e 3.9 已知无限长均匀线电荷 l 的电场 0 2 l r r    E e = 试用定义式 ( ) d P r r  r =  E l 求其电位函数。其中 P r 为电位参考点。 解 0 0 0 ( ) d d ln ln 2 2 2 P P P r r r l l l P r r r r r r r r r           = = = =   E l 由于是无限长的线电荷，不能将 P r 选为无穷远点。 3.10 一点电荷 +q 位于 ( ,0,0) −a ，另一点电荷−2q 位于 ( ,0,0) a ，求空间的零电位 面。 解 两个点电荷 +q 和 −2q 在空间产生的电位 2 2 2 2 2 2 0 1 2 ( , , ) [ ] 4 ( ) ( ) q q x y z x a y z x a y z    = − + + + − + + 令 ( , , ) 0 x y z = ，则有 2 2 2 2 2 2 1 2 0 ( ) ( ) x a y z x a y z − = + + + − + + 即 2 2 2 2 2 2 4[( ) ] ( ) x a y z x a y z + + + = − + + 故得 5 4 2 2 2 2 ( ) ( ) 3 3 x a y z a + + + = 由此可见，零电位面是一个以点 ( 5 3,0,0) − a 为球心、 4 3 a 为半径的球面。 3.11 证明习题 3.2 的电位表达式为 2 0 1 3 ( ) ( ) 4 2 2 a a Ze r r r r r   = + − 解 位于球心的正电荷 Ze 在原子外产生的电通量密度为 1 2 4 r Ze  r D e = 电子云在原子外产生的电通量密度则为 3 2 2 2 4 3 4 4 a r r r Ze r r     D e e = = − 所以原子外的电场为零。故原子内电位为 2 3 0 0 1 1 ( ) d ( )d 4 a a r r r r a Ze r r D r r r r    = = −  

Ze34元—22r3.12电场中有一半径为α的圆柱体，已知柱内外的电位函数分别为[p(r)=0r<≤aq?g(r)= A(r-)cosgr≥a1（1）求圆柱内、外的电场强度：（2）这个圆柱是什么材料制成的？表面有电荷分布吗？试求之。解（1）由E=-V，可得到E=-V0=0r<a时，r>a时，E=-Vβaaa[A(r.cosg)cos@-ArOrrdra=-e,A(1+ -)cosΦ+egA(1-)sing42（2）该圆柱体为等位体，所以是由导体制成的，其表面有电荷分布，电荷面密度为G=6nE-,=e,·E-,=-28Acos03.13验证下列标量函数在它们各自的坐标系中满足√2β=0(1) sin(kx)sin(ly)e-, 其中 h? = k? +[;(2) r"[cos(ng)+Asin(ng)]圆柱坐标；圆柱坐标；(3) r-" cos(ng)球坐标：(4)rcos(5) r-2 cos0球坐标。解（1）在直角坐标系中popapV20=ax2ay202?而a2ap[sin(kx)sin(ly)e-l J= -k’ sin(kx)sin(ly)e-lear?ax2?[sin(kx)sin(ly)e-]=-P sin(kx)sin(ly)e-hay2"y?ap_ 02[si(k) i(b)e* = si(ka) i(),e02故Vβ=(-k?-[? +h)sin(kx)sin(ly)e-h = 0（2）在圆柱坐标系中1a00V0=(r.200ror(Fr而

2 0 1 3 ( ) 4 2 2 a a Ze r  r r r = + − 3.12 电场中有一半径为 a 的圆柱体，已知柱内外的电位函数分别为 2 ( ) 0 ( ) ( )cos r r a a r A r r a r     =     = −   （1）求圆柱内、外的电场强度； （2）这个圆柱是什么材料制成的？表面有电荷分布吗？试求之。 解 （1）由 E = − ，可得到 r a  时， E = − =  0 r a  时， E = − 2 2 [ ( )cos ] [ ( )cos ] r a a A r A r r r r r       = − − − −   e e 2 2 2 2 (1 )cos (1 )sin r a a A A r r = − + + −    e e （2）该圆柱体为等位体，所以是由导体制成的，其表面有电荷分布，电荷面密度为 0 0 0 2 cos r r a r a      A = = = = = − n E e E 3.13 验证下列标量函数在它们各自的坐标系中满足 2  =  0 （1） sin( )sin( ) hz kx ly e− ，其中 2 2 2 h k l = + ； （2） [cos( ) sin( )] n r n A n   + 圆柱坐标； （3） cos( ) n r n − 圆柱坐标； （4） r cos 球坐标； （5） 2 r cos − 球坐标。 解 （1）在直角坐标系中 222 2 2 2 2 x y z     = + +    而 2 2 2 2 2 [sin( )sin( ) ] sin( )sin( ) hz hz kx ly e k kx ly e x x    − − = = −   2 2 2 2 2 [sin( )sin( ) ] sin( )sin( ) hz hz kx ly e l kx ly e y y    − − = = −   2 2 2 2 2 [sin( )sin( ) ] sin( )sin( ) hz hz kx ly e h kx ly e z z    − − = =   故 2 2 2 2 ( )sin( )sin( ) 0 hz  k l h kx ly e−  = − − + = （2）在圆柱坐标系中 2 2 2 2 2 2 1 ( ) r r r r r z           = + +     而

10o10a-r"[cos(ng)+ Asin(ng)])6rFararrorar= n'rn-2[cos(ng)+ Asin(ng)]10p-n*rn-2[cos(n)+ Asin(n)])Fd"p_ o?="[cos(n)+Asin(no)=0故V?p=01060)-100[r-" cos(ng)]) = n'r-n-2 cos(ng)(3)rr orarOrr or1 = -n'r-n-2 cos(ng)r? ag?"p_ ?[" cos(n0)=00z2故Vβ=0（4）在球坐标系中1a1a1.200dpV0=(r+(sine-r2 Orarrsingae00rsin000而21a(20g)aa1二cos(rcosO)]==rarararra1a1a(sino0g)[sin(rcosの))rsing00a0rsing0ao1a2-rsin0)=-cosorsinga0ra2ap11-(rcos)=0 sin'0ag?sin?000?故V?=0021a(02001a(r~2(5)cosの)|=cOsararararr4a1a1Psinoglsinog(sino0g(r~2cos0)a0aorsinga01a22sin0)=-cOs6r’ sing a0rpa211cos0)=0r? sin 0?rsin000?故V'p=0

1 1 ( ) { [cos( ) sin( )]} n r r r n A n r r r r r r        = +     2 2[cos( ) sin( )] n n r n A n   − = + 2 2 2 2 2 1 [cos( ) sin( )]} n n r n A n r      − = − +  2 2 2 2 [cos( ) sin( )] 0 n r n A n z z      − = + =   故 2  =  0 （3） 1 1 2 2 ( ) { [ cos( )]} cos( ) n n r r r n n r n r r r r r r        − − − = =     2 2 2 2 2 1 cos( ) n n r n r     − − = −  2 2 2 2 [ cos( )] 0 n r n z z     − = =   故 2  =  0 （4）在球坐标系中 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 ( ) (sin ) sin sin r r r r r r                 = + +      而 2 2 2 2 1 1 2 ( ) [ ( cos )] cos r r r r r r r r r r        = =     2 2 1 1 (sin ) [sin ( cos )] sin sin r r r               =     2 2 1 2 ( sin ) cos sin r r r      = − = −  2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ( cos ) 0 sin sin r r r         = =   故 2  =  0 （5） 2 2 2 2 2 4 1 1 2 ( ) [ ( cos )] cos r r r r r r r r r r        − = =     2 2 2 1 1 (sin ) [sin ( cos )] sin sin r r r               − =     2 2 2 4 1 2 ( sin ) cos sin r r r      − = − = −  2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ( cos ) 0 sin sin r r r         − = =   故 2  =  0

3.14已知y>0的空间中没有电荷，下列几个函数中哪些是可能的电位的解？(1)e-coshx;(2)e"cosx;(3) e-y cosxsinx(4)sinxsinysinz。α?a2a2解 (1)a(e"coshx)+-(ecoshx)+(e-"coshx)=2e"coshx+0ay?Oz2所以函数e-coshx不是y>0空间中的电位的解；o22a2(2)ar (e'cos)+(ecosx)+-(e-cosx)=-e-ycosx+e-cosx=0Oy2Oz所以函数e-"cosx是y>0空间中可能的电位的解；a2a?a2(e~v(e~2(3)cosxsin.x)+(ecosxsinx)cosxsinx)+axay=-4e-fy cosxsinx+2e-y cosxsinx#0所以函数e-2ycosxsinx不是y>0空间中的电位的解；0202a2(4)(sinxsinysinz)(sinxsinysinz)+(sinxsinysinz)-axOy2Oz=-3sinxsinysinz+0所以函数sinxsinysinz不是y>O空间中的电位的解。3.15中心位于原点，边长为L的电介质立方体的极化强度矢量为P=P(e,x+e,y+e.-)。（1）计算面束缚电荷密度和体束缚电荷密度；（2）证明总的束缚电荷为零。Pp=-V.P=-3P解（1)1L)=P/= P/ROp(x=21Cp(x=-台)= nP-1/2 =-e,·P[Px=-L/2 =同理-)=0,(2=))=0p(y=-)=0p(z=op(y=322p=Jpd+odS=-3P+6LP=0(2)2TS一半径为R。的介质球，介电常数为6,60，其内均匀分布自由电荷P，证明中心3.16点的电位为28,+l(P)R28,380解由fD.dS=q可得到

3.14 已知 y  0 的空间中没有电荷，下列几个函数中哪些是可能的电位的解? （1） cosh y e x − ； （2） e x y cos − ； （3） 2 cos sin y e x x − （4） sin x sin y sin z。 解 （1） 2 2 2 2 2 2 ( cosh ) ( cosh ) ( cosh ) 2 cosh 0 y y y y e x e x e x e x x y z    − − − − + + =     所以函数 e x y cosh − 不是 y  0 空间中的电位的解； （2） 2 2 2 2 2 2 ( cos ) ( cos ) ( cos ) cos cos 0 y y y y y e x e x e x e x e x x y z    − − − − − + + = − + =    所以函数 e x y cos − 是 y  0 空间中可能的电位的解； （3） 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( cos sin ) ( cos sin ) ( cos sin ) y y y e x x e x x e x x x y z    − − − + +    2 2 4 cos sin 2 cos sin 0 y y e x x e x x − − = − +  所以函数 e x x y cos sin − 2 不是 y  0 空间中的电位的解； （4） 2 2 2 2 2 2 (sin sin sin ) (sin sin sin ) (sin sin sin ) x y z x y z x y z x y z    + +    = −  3sin sin sin 0 x y z 所以函数 sin x sin y sin z 不是 y  0 空间中的电位的解。 3.15 中心位于原点，边长为 L 的电介质立方体的极化强度矢量为 0 ( ) P e e e = + + P x y z x y z 。 （1）计算面束缚电荷密度和体束缚电荷密度；（2）证明总的束缚电荷为零。 解 （1） 0 3  P = − = − P P 2 2 0 ( ) 2 2 P x L x x L L L  x P = = = = n P e P = = 2 2 0 ( ) 2 2 P x L x x L L L  x P = − = = − = n P e P =− =− 同理 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 P P P P L L L L L     y y z z P = = = − = = = = − = （2） 3 2 0 0 d d 3 6 0 2 P P P S L q S P L L P  = + = − +  =      3.16 一半径为 R0 的介质球，介电常数为 r 0   ，其内均匀分布自由电荷  ，证明中心 点的电位为 2 0 0 2 1( ) 2 3 r r R     + 解 由 d S = q  D S 可得到