《电磁场》课程教学资源_习题训练_第五章 恒定磁场分析

第五章恒定磁场分析5.1真空中长直线电流1的磁场中有一等边三角形回路，如题5.1图所示，求三角形回路内的磁通。解根据安培环路定理，得到长直导线的电流I产生的磁场HoB=e.2元r穿过三角形回路面积的磁通为Y-B.dHo1 d+Eb2Ho1d+yb/2a三dxr[d]dx2元元xx由题5.1图可知题5.1图元_x-dz=(x-d)tanV36故得到o1dy02x-d/3b-dx=4o,bd=个In(1+J3元a4232d元5.2通过电流密度为J的均匀电流的长圆柱导体中有一平行的圆柱形空腔，如题5.2图所示。计算各部分的磁感应强度B，并证明腔内的磁场是均匀的。解将空腔中视为同时存在J和-J的两种电流密度，这样可将原来的电流分布分解为两个均匀的电流分布：一个电流密度为J、均匀分布在半径为b的圆柱内，另一个电流密度为-J、均匀分布在半径为α的圆柱内。由安培环路定律，分别求出两个均匀分布电流的磁场，然后进行叠加即可得到圆柱内外的磁场。由安培环路定律 B-dl = μolc可得到电流密度为J、均匀分布在半径为b的圆柱内的电流产生的磁场为[o J xT)%<b2B, =μob2Jxr题5.2图r>b2r电流密度为一J、均匀分布在半径为α的圆柱内的电流产生的磁场为PoJxrra<a2B. =HoaJxrar>a2r这里‘a和"分别是点a和b到场点P的位置矢量。将B。和Bb叠加，可得到空间各区域的磁场为

第五章 恒定磁场分析 5.1 真空中长直线电流 I 的磁场中有一等边三角形回路，如题 5.1 图所示，求三角形回 路内的磁通。 解 根据安培环路定理，得到长直导线的电流 I 产生的磁场 0 2 I r    B e = 穿过三角形回路面积的磁通为 d S  =  B S3 2 3 2 0 0 0 2 [ d ]d d 2 d b d b z d d I I z z x x x x     + + = =    由题 5.1 图可知 ( ) tan 6 3 x d z x d  − = − = 故得到 3 2 0 d 3 d b d I x d x x    + − = =  0 3 [ ln(1 )] 2 2 3 I b d b d   − + 5.2 通过电流密度为 J 的均匀电流的长圆柱导体中有一平行的圆柱形空腔，如题 5.2 图所示。计算各部分的磁感应强度 B ，并证明腔内的磁场是均匀的。 解 将空腔中视为同时存在 J 和 −J 的两种电流密度，这样可将原来的电流分布分解为 两个均匀的电流分布：一个电流密度为 J 、均匀分布在半径为 b 的圆柱内，另一个电流密度 为 −J 、均匀分布在半径为 a 的圆柱内。由安培环路定律，分别求出两个均匀分布电流的磁 场，然后进行叠加即可得到圆柱内外的磁场。 由安培环路定律 0 d C  =  I  B l 可得到电流密度为 J 、均匀分布在半径为 b 的圆柱内的电流产生 的磁场为 0 2 0 2 2 2 b b b b b b r b b r b r J r B J r        =      电流密度为 −J 、均匀分布在半径为 a 的圆柱内的电流产生的磁场为 0 2 0 2 2 2 a a a a a a r a a r a r J r B J r    −     =   −   这里 a r 和 b r 分别是点 a o 和 b o 到场点 P 的位置矢量。 将 B a 和 Bb 叠加，可得到空间各区域的磁场为 d b I z x 题 5.1 图 dS b r a r J ob oa a b 题 5.2 图 d

圆柱外b2aoB=J×((rg>b)-ra)2rar圆柱内的空腔外α?B=鲁Jx(r,(r <b, r >a)ra)2ra空腔内B=Jx(r-r)=Jxd(r,<a)22式中d是点和到点的位置矢量。由此可见，空腔内的磁场是均匀的。5.3下面的矢量函数中哪些可能是磁场？如果是，求其源变量J。(1)H=e,ar,B=H(圆柱坐标)(2) H=e,(-ay)+e,ax, B=HoH(3) H=e,axr-e,ay, B=HHH=e,ar,B=MoH (球坐标系)(4)解根据恒定磁场的基本性质，满足√·B=O的矢量函数才可能是磁场的场矢量，否则，不是磁场的场失量。若是磁场的场失量，则可由J=√×H求出源分布。（1）在圆柱坐标中1a1aV.B=(rB,)=(ar2)=2a±0rorr or该矢量不是磁场的场失量。aaV.B=(-ay)+-(ax) = 0axdy(2)该量是磁场的矢量，其源分布为exe.e,aaaJ=VxH==e.2aaxayOz0-ayaxaaV.B=(-ay)= 0-(ax)+axdy(3)该矢量是磁场的场矢量，其源分布为exe,e.aaa= 0J=VxH-axayazax -ay o（4）在球坐标系中

圆柱外 2 2 0 2 2 ( ) ( ) 2 b a b b a b a r b r r  B J r r =  −  圆柱内的空腔外 2 0 2 ( ) ( , ) 2 b a b a a a r b r a r  B J r r =  −   空腔内 0 0 ( ) ( ) 2 2 b a ar a   B J r r J d =  − =   式中 d 是点和 b o 到点 a o 的位置矢量。由此可见，空腔内的磁场是均匀的。 5.3 下面的矢量函数中哪些可能是磁场？如果是，求其源变量 J 。 (1) 0 , r H e B H = = ar  （圆柱坐标） (2) 0 ( ) , x y H e e B H = − + = ay ax  (3) 0 , x y H e e B H = − = ax ay  (4) 0 H e B H ar , = =   （球坐标系） 解 根据恒定磁场的基本性质，满足  = B 0 的矢量函数才可能是磁场的场矢量，否 则，不是磁场的场矢量。若是磁场的场矢量，则可由 J H =  求出源分布。 （1）在圆柱坐标中 1 1 2 ( ) ( ) 2 0 r rB ar a r r r r B     = = =    该矢量不是磁场的场矢量。 （2） ( ) ( ) 0 ay ax x y B    = − + =   该矢量是磁场的矢量，其源分布为 2 0 x y z z a x y z ay ax e e e J H e    =   = =    − （3） ( ) ( ) 0 ax ay x y B    = + − =   该矢量是磁场的场矢量，其源分布为 0 0 x y z x y z ax ay e e e J H    =  = =    − （4）在球坐标系中

aB.1a1V.B=(ar)= 0rsingaprsingag该矢量是磁场的场矢量，其源分布为le.rsinderega1aaJ=VxHe.acot0-e.2a00asrsinear0ar? sin e05.4由矢量位的表示式[dt'A(r)=R4元／证明磁感应强度的积分公式Ho[J(r)xRB(r)= dtR34元／并证明V.B=0解B(r)=V×4(r)=V×[dt4元RJ(r)dt'Hovx_o[J(r)x()dtR4元4元RR)dt'=()xR_[J(r)x(-EdtR3R34元4元V.B=V-[V×A(r)]=05.5有一电流分布J(r)=e,rJ(r≤a)，求矢量位4(r)和磁感应强度B(r)。解由于电流只有e：分量，且仅为r的函数，故A(r)也只有e：分量，且仅为r的函数，即A(r)=e.4.(r)。在圆柱坐标系中，由4.(r)满足的一维微分方程和边界条件，即可求解出 A(r)，然后由 B(r)=V×A(r)可求出 B(r)。记r≤α和r≥α的矢量位分别为A(r)和4(r)。由于在r≥α时电流为零，所以1α(r0AL)=-μoJorV? A.,(r) =(r≤a)rororT0(r042)=0V"A.2(r) =(r≥a)rorar由此可解得-40or+Clinr+DA. (r) =A.,(r)=C, Inr+D,A.(r)和A.2(r)满足的边界条件为①r→0时，A.(r)为有限值② r=a时, Ai(a)= A2(a)

1 1 ( ) 0 sin sin B ar r r B         = = =   该矢量是磁场的场矢量，其源分布为 2 2 sin 1 cot 2 sin 0 0 sin r r r r a a r r ar             =  = = −    e e e J H e e 5.4 由矢量位的表示式 0 ( ) ( ) d 4  R     =   J r A r 证明磁感应强度的积分公式 0 3 ( ) ( ) d 4  R      =   J r R B r 并证明  = B 0 解 0 ( ) ( ) ( ) d 4  R     =  =    J r B r A r 0 0 ( ) 1 d ( ) ( )d 4 4   R R        =  = −       J r J r 0 0 3 3 ( ) ( ) ( )d d 4 4   R R         = −  − =      R J r R J r  =   = B A r [ ( )] 0 5.5 有一电流分布 0 ( ) ( ) z J r e =  rJ r a ，求矢量位 A r( ) 和磁感应强度 B r( ) 。 解 由于电流只有 z e 分量，且仅为 r 的函数，故 A r( ) 也只有 z e 分量，且仅为 r 的函数， 即 ( ) ( ) A r e = z z A r 。在圆柱坐标系中，由 A (r) z 满足的一维微分方程和边界条件，即可求解 出 A(r) ，然后由 B A r ( ) ( ) r =  可求出 B r( ) 。 记 r  a 和 r  a 的矢量位分别为 1 A r( ) 和 2 A r( ) 。由于在 r  a 时电流为零，所以 2 1 1 0 0 1 ( ) ( ) ( ) z z A A r r J r r a r r r     = = −    2 2 2 1 ( ) ( ) 0 ( ) z z A A r r r a r r r    = =    由此可解得 3 1 0 0 1 1 1 ( ) ln 9 A r J r C r D z = − + +  2 2 2 A z (r) = C ln r + D ( ) 1 A r z 和 ( ) 2 A r z 满足的边界条件为 ① r →0 时， ( ) 1 A r z 为有限值 ② r = a 时， 1 2 ( ) ( ) A a A a z z =

aAdAara1由条件①、②，有C =01HoJoa3=C,lna+D9a'=C,!a由此可解得HoJa3D,-Ina)C2 =HoJoa'334故1goJor3+D(r≤a)A.,(r)=1Hooa'nr--Ina)(r≥a)A.2(r) = -HoJoa'(33式中常数Di由参考点确定，若令r=0时，4,(r)=0，则有D,=0。空间的磁感应强度为1(r<a)B(1)=V×A(r)=es H0Jor2B,(1)=V×A(r)=e, 4gα(r>a)3r5.6如题5.6图所示，边长分别为α和b、载有电流I的小矩形回路。（1）求远处的任一点P(x,J,2)的矢量位A(r)，并证明它可以写成A(r)= oPm×r4元3其中Pm=e.labP(x,y,=)（2）由A求磁感应强度B，并证明B可以写成μol v(d2)B=-44元abe.-e,dQ=r2式中为场点对小电流回路所张的立体角。1解（1）电流回路的矢量位为题5.6图lsdrA(r)= 4元R式中: R=[(x-x) +(y-) +2"]/2 =[r?-2rsin@ (x'cosp+y'sinp)+x"2 +y"j/2根据矢量积分公式d.ydl=J.dsxvy有

z z 1 2 r a r a A A r r = =   =   由条件①、②，有 C1 = 0 3 0 0 2 2 1 ln 9 − = +  J a C a D 2 0 0 2 1 1 3 J a C a − =  由此可解得 3 2 0 0 1 3 C J a = −  ， 3 2 0 0 1 1( ln ) 3 3 D J a a = − −  故 3 1 0 0 1 1 ( ) ( ) 9 A r J r D r a z = − +   3 3 2 0 0 0 0 1 1 1 ( ) ln ( ln ) ( ) 3 3 3 A r J a r J a a r a z = − − −    式中常数 D1 由参考点确定，若令 r = 0 时， A z1 (r) = 0 ，则有 D1 = 0。 空间的磁感应强度为 2 1 1 0 0 1 ( ) ( ) ( ) 3 r r J r r a B A e =  =    3 0 0 2 2 ( ) ( ) ( ) 3 J a r r r a r   B A e =  =  5.6 如题 5.6 图所示，边长分别为 a 和 b 、载有电流 I 的小矩形回路。 （1）求远处的任一点 P(x, y,z) 的矢量位 A r( ) ，并证明它可以写成 0 3 ( ) 4 m r p r A r    = 。 其中 m z p e = Iab ； （2）由 A 求磁感应强度 B ，并证明 B 可以写成 0 ( ) 4 I B d    = −  式中 2 z r ab r e e d  = 为场点对小电流回路所张的立体角。 解 （1）电流回路的矢量位为 0 1 ( ) d 4 C I R   =   A r l 式中： 2 2 2 1 2 R x x y y z = − + − + = [( ) ( ) ]   2 2 2 1 2 [ 2 sin ( cos sin ) ] r r x y x y − + + +        根据矢量积分公式 d d C S   l S =    有  x P (x, y, z) z a b r y I 题 5.6 图

Ids'H而所以A(r)=-些[ds'x(R4元5对于远区场，>>x,r>>，所以Rr，故4(r)=-[ds$x()=-ds)4元4元=-岩(e,lab)xV()=- Pa(--4元4元=4oPmxr4元r3（2）由于5)=eHoPmsingA(r)=_ Hopme.×(-r24元4元r故a11aB-VxA=e(sinQA)-é(rA)rsingaer arHoPg(e,2cosO+e sino)4元又由于e,2cos0+eg sin@=-rv(cos0)e'eV故B=-4Pa (*)-- v(cbe,)-- (d 0)1224元4元4元5.7半径为α磁介质球，具有磁化强度为M =e.(A +B)其中A和B为常数，求磁化电流和等效磁荷。解磁介质球内的磁化电流体密度为Jm=V×M =-e.×V(Az*+B)=-e.×e.2Az=0等效磁荷体密度为a(Az2 +B)= -2AzPm=-V.M=Oz磁介质球表面的磁化电流面密度为Jms = Mxn|r-a =e. xe,(Aa? cos? +B)=e(Aa?cos +B)sing等效磁荷面密度为

1 1 d d ( ) C S R R   l S    =  而 1 1 ( ) ( ) R R  = −  所以 0 1 ( ) d ( ) 4 S I R   = −    A r S 对于远区场， r  x  , r  y  ，所以 R  r ，故 0 0 1 1 ( ) d ( ) [ d ] ( ) 4 4 S S I I r r     = −  = −      A r S S 0 0 3 1 ( ) ( ) ( ) 4 4 z m Iab r r     = −  = −  − r e p 0 3 4 m r    = p r （2）由于 0 0 3 2 sin ( ) ( ) 4 4 m m z p r p r r       = −  − = r A e e 故 1 1 (sin ) ( ) sin r A rA r r r         =   = −   B A e e 0 3 ( 2cos sin ) 4 m r p r      = + e e 又由于 3 3 2 2 cos 2cos sin ( ) ( ) z r r r r r r e e e e     + = −  = −  故 0 0 0 2 2 ( ) ( ) (d ) 4 4 4 m z r z r p I I ab r r e e e e B          = −  = −  = −  5.7 半径为 a 磁介质球，具有磁化强度为 2 ( ) M e = + z Az B 其中 A 和 B 为常数，求磁化电流和等效磁荷。 解 磁介质球内的磁化电流体密度为 2 ( ) 2 0 J M e e e m z z z =  = −  + = −  = Az B Az 等效磁荷体密度为 2 ( ) 2 m Az B Az z   = −  = − + = −  M 磁介质球表面的磁化电流面密度为 2 2 ( cos ) J M n e e mS r a z r =  =  + = Aa B  2 2 = + e ( cos )sin Aa B   等效磁荷面密度为