第五章恒定磁场一、概述1.概念恒定磁场：由恒定电流或永久磁体产生的磁场不随时间变化，称为恒定磁场。恒定磁场对运动电荷表现为力的作用。2.内容恒定磁场的基本方程、性质、概念和定律，如安培环路定律等。矢量磁位、标量磁位，介质磁化、介质中的场方程，边界条件。恒定磁场的基本方程在工程中的应用：电感、磁场能量及磁场力的计算。3.重点场的方程、性质及其应用。实际问题的分析及求解。4.难点失量磁位的引入和应用。5.建议循序渐进、由浅入深，加强对概念的理解。注重本质与现象的结合，理论与实际的结合。建议学时：10二、恒定磁场的基本方程1.磁感应强度edi'xrB=1r34元上电流回路1在P点产生的磁感应强度定义为由亥姆霍兹定理可知，无界空间中的恒定磁场由恒定磁场的散度和旋度方程共同决定。2.基本方程（1）微分形式：V.B=0，V×B=μoJB.dS=0，fB.dl = μoJ J.ds = μol积分形式：s1恒定磁场在自由空间中是有旋无散场。4B.as-0（2）磁通连续性定律：公式J物理意义：穿过任意闭和面的磁通量为零。即进入闭和面S的磁力线数与穿出闭和面S的磁力线数相等，磁力线是闭和的。（3）安培环路定律TB·al = [J·as = p5公式#物理意义：磁感应强度B沿任意闭和路径1的线积分，等于穿过路径1所围面积的总电流与"的乘积。三、矢量磁位1. 引入根据基本方程式，在自由空间的散度处处为零，与矢量恒等式(V×)=°相比
第五章 恒定磁场 一、概述 1. 概念 恒定磁场：由恒定电流或永久磁体产生的磁场不随时间变化，称为恒定磁场。 恒定磁场对运动电荷表现为力的作用。 2. 内容 恒定磁场的基本方程、性质、概念和定律，如安培环路定律等。 矢量磁位、标量磁位，介质磁化、介质中的场方程，边界条件。 恒定磁场的基本方程在工程中的应用：电感、磁场能量及磁场力的计算。 3. 重点 场的方程、性质及其应用。 实际问题的分析及求解。 4. 难点 矢量磁位的引入和应用。 5. 建议 循序渐进、由浅入深，加强对概念的理解。 注重本质与现象的结合，理论与实际的结合。 建议学时：10 二、恒定磁场的基本方程 1. 磁感应强度 电流回路 l 在 P 点产生的磁感应强度定义为 由亥姆霍兹定理可知，无界空间中的恒定磁场由恒定磁场的散度和旋度方程共同决定。 2. 基本方程 （1）微分形式： B = 0 ， B J = 0 积分形式： = S B dS 0 ， = = l S B dl J dS I 0 0 恒定磁场在自由空间中是有旋无散场。 （2）磁通连续性定律： 公式 物理意义：穿过任意闭和面的磁通量为零。即进入闭和面 S 的磁力线数与穿出闭和面 S 的磁力线数相等，磁力线是闭和的。 （3）安培环路定律 公式 物理意义：磁感应强度 B 沿任意闭和路径 l 的线积分，等于穿过路径 l 所围面积的总电 流与 的乘积。 三、矢量磁位 1. 引入 根据基本方程式 ，在自由空间 的散度处处为零，与矢量恒等式 相比
较。我们可以引入一个矢量A，与磁感应强度B的关系为：B=V×A2.定义A称为矢量磁位，简称矢量位，单位为T·m(特·米）或Wb/m（韦/米)。它是一个辅助性质的失量。若要唯一确定A，还需知道A的散度方程。在恒定磁场条件下一般总是规定A的散度为零，即√.A=0。并称这种规定为库仑规范。在这种规范下，矢量位就能被唯一确定。3.基本方程矢量泊松方程：2A=-HoJ矢量拉普拉斯方程：2A=0（J=0区域）VA--MJ,VA--,VA--M,直角坐标系中分解为三个标量方程：:4.方程的解JXFA-ErJaB-ravA4元Jh4元J体电流分布JJeXFSas'B=HoA=ds4元Js74元JsA3面电流分布Hlai'xrA--aB-4元r34元r线电流分布（毕奥-沙伐定律）结论：A的计算比B的计算简单。Z四、磁偶极子1.定义：二个载流的小闭和圆环称为磁偶极子。2.磁偶极矩：电流环的面积与电流的乘积，称为磁m-=x1e偶极矩。043.磁偶极子的矢量磁位与磁感应强度A=folm?sin-gS4sin4mm?B=hIS($,2cos0+, sin 6)4m3图3.3.1磁偶极子产生的电场A-Homxe,B-om(,2cos0+#,sin e)4元r24元或
较。我们可以引入一个矢量 ，与磁感应强度 的关系为： B A = 2. 定义 称为矢量磁位，简称矢量位，单位为 或 Wb/m（韦/米）。它是一个辅助 性质的矢量。若要唯一确定 ，还需知道 的散度方程。在恒定磁场条件下一般总是规定 的散度为零，即 。并称这种规定为库仑规范。在这种规范下，矢量位就能被唯一 确定。 3. 基本方程 矢量泊松方程： A J 0 2 = − 矢量拉普拉斯方程： 0 2 A = （J=0 区域） 直角坐标系中分解为三个标量方程： 、 、 4. 方程的解 体电流分布 面电流分布 线电流分布 （毕奥-沙伐定律） 结论： 的计算比 的计算简单。 四、磁偶极子 1. 定义： 一个载流的小闭和圆环称为磁偶极子。 2. 磁偶极矩： 电流环的面积与电流的乘积，称为磁 偶极矩。 3. 磁偶极子的矢量磁位与磁感应强度 图 3.3.1 磁偶极子产生的电场 或
图3.3.2磁偶极子场分布图图3.3.3磁偶极子附近的场分布4.与电偶极子的比较在远离偶极子处，磁偶极子和电偶极子的场分布是相同的，但在偶极子附近，二者场分布不同。引申：磁力线是闭合的，电力线是间断的。五、恒定磁场中的介质1.磁化现象（1）磁化现象：介质在磁场作用下会产生磁化现象，磁化引起的分子电流、原子电流相当于磁偶极子，磁偶极子产生二次磁场，叠加于原场之上，使磁场发生变化。磁化的结果使介质中的合成磁场可能减弱，也可能增强。（2）介质磁性能分类：抗磁性介质：二次磁场与外加磁场方向相反，导致介质中合成磁场减弱。顺磁性介质：二次磁场与外加磁场方向相同，导致介质中合成磁场增强。图3.4.1磁化电流模型铁磁性及亚铁磁性介质：在外加磁场作用下，磁化现象非常显著。2.介质中的场方程（1）磁化强度定义：单位体积内磁偶极子磁矩的失量和。2m台M=limAV=0AVAIm?引申：磁偶极子--等效电流分布--束缚（磁化）电流（2）极化强度与电流密度的关系束缚体电流密度-MJns=Mxe束缚面电流密度束缚体电流密度和束缚面电流密度是由原子及分子电流等效的宏观电流密度。3.介质中的旋度方程VxB=(J+J)VX(BI-M)-J福（1）旋度方程
图 3.3.2 磁偶极子场分布图 图 3.3.3 磁偶极子附近的场分布 4. 与电偶极子的比较 在远离偶极子处，磁偶极子和电偶极子的场分布是相同的，但在偶极子附近，二者场分 布不同。 引申：磁力线是闭合的，电力线是间断的。 五、恒定磁场中的介质 1. 磁化现象 （1）磁化现象： 介质在磁场作用下会产生磁化现象，磁化引起的分子 电流、原子电流相当于磁偶极子，磁偶极子产生二次磁场， 叠加于原场之上，使磁场发生变化。磁化的结果使介质中 的合成磁场可能减弱，也可能增强。 （2）介质磁性能分类： 抗磁性介质：二次磁场与外加磁场方向相反，导致介 质中合成磁场减弱。 顺磁性介质：二次磁场与外加磁场方向相同，导致介 质中合成磁场增强。 图 3.4.1 磁化电流模型 铁磁性及亚铁磁性介质：在外加磁场作用下，磁化现象非常显著。 2. 介质中的场方程 （1）磁化强度 定义：单位体积内磁偶极子磁矩的矢量和。 引申：磁偶极子-等效电流分布-束缚（磁化）电流 （2）极化强度与电流密度的关系 束缚体电流密度 ， 束缚面电流密度 束缚体电流密度和束缚面电流密度是由原子及分子电流等效的宏观电流密度。 3. 介质中的旋度方程 （1）旋度方程
引入磁场强度B，=（2）安培环路定律H·al=1方程：物理意义：介质中磁场强度沿任意闭和路径的线积分等于通过该路径所围面积的传导电流。4.总结对均匀线性各向同性的介质，介质中的微分方程为V.B-0，,VxB=W,V.H=0,VxH=J,V?A=-W5.基本方程M=XHB=μo(1+X)H=μAH=μuH（对线性各向同性介质）其中xm为介质磁化率，=1+X=μ/为介质的相对磁导率。对于抗磁性介质和顺磁性介质，其磁化现象不显著，即A,=16.介质特性线性、非线性：M、B与H是否为正比关系各向同性、各向异性：X*是否与H的方向有关。X是否与空间坐标有关。均匀、非均匀：7.束缚电流分布规律=VM-V×(u-1)H-V(H-1)×H+(H-1).Jm -Mxe, =(u,-1)HxE)结论：在无传导电流的均匀介质中，束缚电流体密度为零。只有磁场强度为零或磁场强度与介质表面相垂直的区域，束缚电流面密度为零。六、恒定磁场的边界条件1.分析方法与恒定电场类似。SBnl2.法向条件esAhAhB,=B2n，uHm=μH2n3.切向条件Hur-H2,=Js,Bu/μ,-B2,/μz=J4.矢量磁位边界条件A, = A,图3.5.1分界面上Bn的边界条件
引入磁场强度 ， （2）安培环路定律 方程： 物理意义：介质中磁场强度沿任意闭和路径的线积分等于通过该路径所围面积的传导电流。 4. 总结 对均匀线性各向同性的介质，介质中的微分方程为： B = 0 ， B J = ， H = 0 ， H J = ， A J = − 2 5. 基本方程 ， （对线性各向同性介质） 其中 为介质磁化率， 为介质的相对磁导率。对于抗磁性介 质和顺磁性介质，其磁化现象不显著，即 。 6. 介质特性 线性、非线性： 、 与 是否为正比关系 各向同性、各向异性： 是否与 的方向有关。 均匀、非均匀： 是否与空间坐标有关。 7. 束缚电流分布规律 结论：在无传导电流的均匀介质中，束缚电流体密度为零。只有磁场强度为零或磁场强 度与介质表面相垂直的区域，束缚电流面密度为零。 六、恒定磁场的边界条件 1. 分析方法 与恒定电场类似。 2. 法向条件 B1n = B2n ， 1H1n = 2H2n 3. 切向条件 t t S H H J 1 − 2 = ， t t S B B J 1 / 1 − 2 / 2 = 4. 矢量磁位边界条件 A1 = A2 图 3.5.1 分界面上 Bn 的边界条件
5.结论在理想导磁体中不可能存在磁场强度，在表面电流不存在的情况下，磁场强度必须垂直于理想导磁体表面。HAHμ2区2区图3.5.2分界面上Ht的边界条件图3.5.3磁力线在分界面处的反射七、电感1.磁通量定义：磁感应强度B通过某一表面S的通量称为磁通量。D-[B·S-fAdi公式：2.磁通链定义：与某电流交链的磁通量称为磁通链。公式：W=N，分为N次交链和部分交链两种情况。图3.6.1闭合导线回路3.磁通链两个电流回路，C，1和C2，12Wi=Wn+W21,W2=Wi2+W22W1，W2：与11，12交链的磁通链；11：11产生的磁通与1交链的磁通链；W21：12产生的磁通与1交链的磁通链：W22：12产生的磁通与12交链的磁通链：W12:11产生的磁通与1交链的磁通链。4.自感、互感L-VuW21W22M2 = -i2Ma1Lo212121111
5. 结论 在理想导磁体中不可能存在磁场强度，在表面电流不存在的情况下，磁场强度必须垂 直于理想导磁体表面。 图 3.5.2 分界面上 Ht 的边界条件 图 3.5.3 磁力线在分界面处的反射 七、电感 1. 磁通量 定义: 磁感应强度 通过某一表面 的通量称为磁通 量。 公式： 2. 磁通链 定义:与某电流交链的磁通量称为磁通链。 公式： ，分为 N 次交链和部分交链两种情况。 图 3.6.1 闭合导线回路 3. 磁通链 两个电流回路， ， 和 ， ， ， ：与 ， 交链的磁通链； ： 产生的磁通与 交链的磁通链； ： 产生的磁通与 交链的磁通链； ： 产生的磁通与 交链的磁通链； ： 产生的磁通与 交链的磁通链。 4. 自感、互感 ， . ， .