《电磁场》课程教学资源_习题训练_第七章 正弦平面电磁波

第七章正弦电磁波7.1求证在无界理想介质内沿任意方向en（eu为单位矢量）传播的平面波可写成E=Eme(Besr-on)解Em为常矢量。在直角坐标中en =e, cosα+e,cosβ+e.cosyr=ex+e,y+e.-故e,.r=(e,cosa+e,cosβ+e.cosy).(e,x+e,y+e.-)=xcosα+ycosβ+zcosy则E=Eei(βer-or) =Ee[(xoosa+yeos β+cos)r]V'E=eV'E,+e,V'E,+e.V'E.=E(jB) e/(B(rcsa+ycosβ+cosn)-al =(j) E而E?(E(an=Eat2ar2故(EE-eat?De.-r可见，已知的E=Eme满足波动方程aEVE-s=0at?故E表示沿en方向传播的平面波。7.2试证明：任何椭圆极化波均可分解为两个旋向相反的圆极化波。解表征沿+2方向传播的椭圆极化波的电场可表示为E=(e,E, +e,jE,)e-ip= =E, +E,式中取[e(E,+E,)+e,j(E,+E,)]e-ip:E, =[e(E,-E,)-e,j(E,-E,)]e-iE, =显然，EI和E2分别表示沿+z方向传播的左旋圆极化波和右旋圆极化波。7.3 在自由空间中， 已知电场 E(,)=e,10'sin(ol-βa)V/m，试求磁场强度H(=,t) 。解以余弦为基准，重新写出已知的电场表示式E(=,t)=e,10° cos(ot-βz-)V/m2

第七章 正弦电磁波 7.1 求证在无界理想介质内沿任意方向 en（en 为单位矢量）传播的平面波可写成 j( ) e n r t m    − = e E E 。 解 Em 为常矢量。在直角坐标中 cos cos cos n x y z x y z x y z = + +    = + + e e e e r e e e 故 ( cos cos cos ) ( ) cos cos cos n x y z x y z x y z xyz        = + +  + + = + + e r e e e e e e 则 j( ) [ ( cos cos cos ) ] 2 2 2 2 2 [ ( cos cos cos ) ] 2 e ( ) ( ) n r t j x y z t m m x x y y z z j x y z t m e j e j                − + + − + + − = =  =  +  +  = = e E E E E e E e E e E E E 而 2 2 j[ ( cos cos cos ) ] 2 2 2 { e } x y z t m t t         + + − = = −   E E E 故 2 2 2 2 2 2 ( ) ( )2 0 j j t         − = + = + =  E E E E E E 可见，已知的 ( ) n j e r t m e    − E E= 满足波动方程 2 2 2 0 t    − =  E E 故 E 表示沿 en 方向传播的平面波。 7.2 试证明：任何椭圆极化波均可分解为两个旋向相反的圆极化波。 解 表征沿+z 方向传播的椭圆极化波的电场可表示为 1 2 ( ) j z x x y y E jE e−  E e e E E = + = + 式中取 1 2 1 [ ( ) ( )] 2 1 [ ( ) ( )] 2 j z x x y y x y j z x x y y x y E E j E E e E E j E E e   − − = + + + = − − − E e e E e e 显然，E1 和 E2 分别表示沿+z 方向传播的左旋圆极化波和右旋圆极化波。 7.3 在自由空间中，已知电场 3 ( , ) 10 sin( )V/m y E e z t t z = −   ，试求磁场强度 H( , ) z t 。 解 以余弦为基准，重新写出已知的电场表示式 3 ( , ) 10 cos( ) V/m 2 y z t t z  E e = − −  

这是一个沿+z方向传播的均匀平面波的电场，其初相角为-90°。与之相伴的磁场为11e:xe,10°cos ot-β≥-)-e. xE(z,t)=H(z,t)=2nn103T-cosot-B=--e,2.65sin(ot-βz)A/m2120元1A/m7.4均匀平面波的磁场强度H的振幅为3元，以相位常数30rad/m在空气中沿-e方向传播。当t=0和z=0时，若H的取向为-ey，试写出E和H的表示式，并求出波的频率和波长。解以余弦为基准，按题意先写出磁场表示式1H=-e,-cos(ot+ βz)A/m￥3元与之相伴的电场为1E = n[H ×(-e.)] = 120元[-e,cos(ot +βz)x(-e.))3元= e,40cos(ot + βz) V/m由β=30rad/m得波长入和频率」分别为=2=0.21mβf=_2_3x108Hz=1.43×10Hz0.21=2元f=2元×1.43×10°rad/s=9×10°rad/s则磁场和电场分别为1H = -ey 3元cos(9×10t+30z)A/mE=e40cos(9×10t+30=)V/m7.5一个在空气中沿+e，方向传播的均匀平面波，其磁场强度的瞬时值表示式为H=e,4×10- cos(10° l-βy+)A/m4（1）求β和在I=3ms时，H,=0的位置；（2）写出E的瞬时表示式。元rad/m=-rad/m=0.105rad/mβ=0J%=107元×3×10830解(1)在=3ms时，欲使H=0，则要求元y+±n元,n=0,1,2,..10元×3×10-33042若取n=0，解得y=899992.m。2元=60m元=β，故考虑到波长

这是一个沿+z 方向传播的均匀平面波的电场，其初相角为 90 − 。与之相伴的磁场为 3 0 0 3 1 1 ( , ) ( , ) 10 cos 2 10 cos 2 65sin( ) A/m 120 2 z z y x x z t z t t z t z t z              =  =  − −       = − − − = −  −     H e E e e e e 7.4 均匀平面波的磁场强度 H 的振幅为 1 A/m 3 ，以相位常数 30rad/m 在空气中沿− z e 方向传播。当 t=0 和 z=0 时，若 H 的取向为 − y e ，试写出 E 和 H 的表示式，并求出波的频 率和波长。 解 以余弦为基准，按题意先写出磁场表示式 1 cos( ) A/m 3 y   t z  H e = − + 与之相伴的电场为 0 1 [ ( )] 120 [ cos( ) ( )] 3 40cos( ) V/m z y z x t z t z        =  − = − +  − = + E H e e e e 由  = rad/m 得波长  和频率 f 分别为 8 9 9 9 2 0.21m 3 10 Hz 1.43 10 Hz 0.21 2 2 1.43 10 rad/s 9 10 rad/s p v c f f         = =  = = = =  = =   =  则磁场和电场分别为 9 9 1 cos(9 10 30 ) A/m 3 40cos(9 10 30 ) /m y x t z t z V  = −  + =  + H e E e 7.5 一个在空气中沿 y +e 方向传播的均匀平面波，其磁场强度的瞬时值表示式为 6 π 4 10 cos(10 π ) A / m 4 z t y  −  H e =  − + （1）求  和在 t = 3ms 时， 0 H z = 的位置；（2）写出 E 的瞬时表示式。 解（1） 7 0 0 8 1 π 10 π rad / m rad / m 0.105 rad / m 3 10 30     = =  = =  在 t=3ms 时，欲使 Hz=0，则要求 7 3 10 3 10 , 0,1,2, 30 4 2 y n n      −   − + =  = 若取 n=0，解得 y=899992.m。 考虑到波长 2 60m    = = ，故

21元y=29999×+0.75×29999x+22.5222因此，t=3ms时，H=0的位置为1y=22.5±n=m2（2）电场的瞬时表示式为E=(Hxe,)ne.4×10-°cos(10′元t--βy+×120元X4=-e,1.508x10-~ cos(10 t-0.105y+)V/m47.6在自由空间中，某一电磁波的波长为0.2m。当该电磁波进入某理想介质后，波长变为0.09m。设",=1，试求理想介质的相对介电常数以及在该介质中的波速。解在自由空间，波的相速"c=C=3×10°m/s故波的频率为f-Vo_3x10%Hz=1.5×10°Hz0.210在理想介质中，波长=0.09m，故波的相速为y,=fa=1.5×10°×0.09=1.35×10°m/s而11CVp:VeVueHoee故3×108= 4.941.35×1087.7海水的电导率=4S/m，相对介电常数6,=81。。求频率为10kHz、100kHz、1MHz、10MHZ、100MHz、1GHz的电磁波在海水中的波长、衰减系数和波阻抗。解先判定海水在各频率下的属性48.8x108X=yJ082元f882元×8180>>1可见，当≤10°HZ时，满足08，海水可视为良导体。此时αβfμor元f0n。=(1+J)1F=10kHz时

29999 0.75 29999 22.5 2 2 2 y    =  +  =  + 因此，t=3ms 时，Hz=0 的位置为 22.5 m 2 y n  =  （2）电场的瞬时表示式为 0 6 7 3 7 ( ) 4 10 cos(10 ) 120 4 1.508 10 cos(10 0.105 )V/m 4 y z y x t y t y        − − =    =  − +       = −  − + E H e e e e 7.6 在自由空间中，某一电磁波的波长为 0.2m。当该电磁波进入某理想介质后，波长 变为 0.09m。设 1 r = ，试求理想介质的相对介电常数 r  以及在该介质中的波速。 解 在自由空间，波的相速 8 0 3 10 m/s p v c = =  ，故波的频率为 8 0 9 0 3 10 Hz = 1.5 10 Hz 0.2 p v f   = =  在理想介质中，波长  = 0.09m ，故波的相速为 9 8 1.5 10 0.09 1.35 10 m/s p v f = =   =   而 0 0 1 1 p r r c v      = = = 故 2 2 8 8 3 10 4.94 1.35 10 r p c v       = = =            7.7 海水的电导率  = 4S/m ，相对介电常数 81 r  = 。求频率为 10kHz、100kHz、1MHz、 10MHz、100MHz、1GHz 的电磁波在海水中的波长、衰减系数和波阻抗。 解 先判定海水在各频率下的属性 8 0 0 4 8.8 10 2 2 81 r f f f          = = =  可见，当 7 f 10 Hz 时，满足 1    ，海水可视为良导体。此时 0 0 (1 ) c f f j             + f=10kHz 时

α=元×10×10×4元×10-7×4=0.126元=0.396Np/m元=2元—2元=15.87mβ0.126元元×10×10×4元×10-72=0.099(1+j)2n。=(1+ j),4f=100kHz时α=元×100×103×4元×10-7×4=1.26元Np/m2-21-2-5mβ1.26元元×100×103×4元×10-7n。=(1+ j)1=0.314(1+j)24f=1MHz时α=元×10°×4元×10-7×4=3.96Np/m -2 - 2元- =1.587mβ3.96元元×10×4元×10-7n。=(1+ j)= 0.99(1+ j)224F-10MHz时α=√元×10×10°×4元×10-7×4=12.6Np/m2-21-2元=0.5m12.6B元×10×10%×4元×10-73.14(1 + j)2n, =(1 +4Y>>100当f=100MHz以上时，不再满足，海水属一般有损耗媒质。此时，y0,c0)2 -1α=2元22元f8,60Hoe,50Y12β=2元f212元f8,600/(6,60)n/1-j/(2元f8,80)F-100MHz时

3 7 3 7 10 10 4 10 4 0.126 0.396 Np/m 2 2 15.87 m 0.126 10 10 4 10 (1 ) 0.099(1 ) 4 c j j             − − =      = = = = =     = +  = +  f=100kHz 时 3 7 3 7 100 10 4 10 4 1.26 Np/m 2 2 5 m 1.26 100 10 4 10 (1 ) 0.314(1 ) 4 c j j             − − =      = = = =     = + = +  f=1MHz 时 6 7 6 7 10 4 10 4 3.96Np/m 2 2 1.587m 3.96 10 4 10 (1 ) 0.99(1 ) 4 c j j            − − =     = = = =    = + = +  f=10MHz 时 6 7 6 7 10 10 4 10 4 12.6Np/m 2 2 0.5m 12.6 10 10 4 10 (1 ) 3.14(1 ) 4 c j j           − − =      = = = =     = + = +  当 f=100MHz 以上时， 1    不再满足，海水属一般有损耗媒质。此时， 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 0 0 2 1 ( ) 1 2 2 2 1 ( ) 1 2 2 ( ) 1 ( 2 ) r r r r r r f f f f j f                             = + −       = + +     = − f=100MHz 时

α=37.57Np/mβ=42.1rad/m2元2==0.149mβ42Q=14.05ej41.8Qn./1-j8.9f-1GHz时α=69.12Np/mβ=203.58rad/m2元=0.03mβ42Q=36.5ej20.8Qno=yl- j0.897.8求证：电磁波在导电媒质内传播时场量的衰减约为55dB/入。证明在一定频率范围内将该导电媒质视为良导体，此时αβfu故场量的衰减因子为2元／e-α =e-β=ex=e-2元0.002即场量的振幅经过==入的距离后衰减到起始值的0.002。用分贝表示。[Em()20lg=20lge-α =201ge-2 =(-2元)×20lge~-55dB[Em(O)7.9在自由空间中，一列平面波的相位常数β=0.524rad/m，当该平面波进入到理想电介质后，其相位常数变为β=1.81rad/m。设4,=1，求理想电介质的，和波在电介质中的传播速度。解自由空间的相位常数β=Oo，故B.=0.524×3×10*=1.572×10%rad/s0Voeβ=0Mo6,8。=1.81rad/s在理想电介质中，相位常数，故1.812=11.936,=o6o电介质中的波速则为C-3x10811m/s=0.87x10°m/sVp=eoe.Je11.937.10在自由空间中，某均匀平面波的波长为12cm：当该平面波进入到某无损耗媒质时，波长变为8em，且已知此时的|EF=50V/m，IH=0.1A/m。求该均匀平面波的频率以及无损耗媒质的"、8

41.8 37.57Np/m 42.1rad/m 2 0.149m 42 14.05 1 8.9 j c e j       = = = = =  =  − f=1GHz 时 20.8 0 69.12Np/m 203.58rad/m 2 0.03m 42 36.5 1 0.89 j e j       = = = = =  =  − 7.8 求证：电磁波在导电媒质内传播时场量的衰减约为 55dB/λ。 证明 在一定频率范围内将该导电媒质视为良导体，此时       f 故场量的衰减因子为 2 2 0.002 z z e e e e       −  − − − = = =  即场量的振幅经过 z =λ的距离后衰减到起始值的 0.002。用分贝表示。 2 ( ) 20lg 20lg 20lg ( 2 ) 20lg 55dB (0) m m E z e e e E    − −     = = = −   −   7.9 在自由空间中，一列平面波的相位常数 0  = 0.524rad / m ，当该平面波进入到理想 电介质后，其相位常数变为  =1.81rad / m 。设 1 r = ，求理想电介质的 r  和波在电介质中 的传播速度。 解 自由空间的相位常数     0 0 0 = ，故 0 8 8 0 0 0.524 3 10 1.572 10 rad / s     = =   =  在理想电介质中，相位常数 0 0 1.81rad / s      = = r ，故 2 2 0 0 1.81 11.93 r     = = 电介质中的波速则为 8 8 0 0 1 1 3 10 m / s 0.87 10 m / s 11.93 p r r c v       = = = = =  7.10 在自由空间中，某均匀平面波的波长为 12cm；当该平面波进入到某无损耗媒质 时，波长变为 8cm，且已知此时的 | | 50V / m E = ， | | 0.1A / m H = 。求该均匀平面波的频 率以及无损耗媒质的 r 、 r 