《电磁场》课程教学资源_习题训练_第九章 电磁波辐射

第九章电磁波辐射9.1设元天线的轴线沿东西方向放置，在远方有一移动接收台停在正南方而收到最大电场强度，当电台沿以元天线为中心的圆周在地面移动时，电场强度渐渐减小，问当电场强度减小到最大值的/Z时，电台的位置偏离正南多少度？解元天线（电基本振子）的辐射场为Idl sineoe-jkrE=ej24rV60可见其方向性函数为(0,)=sinO，当接收台停在正南方向（即の=90）时，得到最大电场强度由1sing=V2得0=450此时接收台偏离正南方向±45°。9.2上题中如果接收台不动，将元天线在水平面内绕中心旋转，结果如何？如果接收天线也是元天线，讨论收发两天线的相对方位对测量结果的影响。解如果接收台处于正南方向不动，将天线在水平面内绕中心旋转，当天线的轴线转至沿东西方向时，接收台收到最大电场强度，随着天线地旋转，接收台收到电场强度将逐渐变小，天线的轴线转至沿东南北方向时，接收台收到电场强度为零。如果继续旋转元天线，收台收到电场强度将逐渐由零慢慢增加，直至达到最大，随着元天线地不断旋转，接收台收到电场强度将周而复始地变化。当接收台也是元天线，只有当两天线轴线平行时接收台收到最大电场强度：当两天线轴线垂直时接收台收到的电场强度为零；当两天线轴线任意位置，接收台收到的电场强介于最大值和零值之间。9.3如题9.3图（1）所示一半波天线，其上电流分布为11I = Im cos(kz)<Z<22(1）求证：当>>时元cos(cos0)A=HolmeJko2sin?2元k（2）求远区的磁场和电场：（3）求坡印廷矢量：（4）已知元2元COs(=cOsの)2d0=0.609sine求辐射电阻；（5）求方向性系数

第九章 电磁波辐射 9.1 设元天线的轴线沿东西方向放置，在远方有一移动接收台停在正南方而收到最大 电场强度，当电台沿以元天线为中心的圆周在地面移动时，电场强度渐渐减小，问当电场强 度减小到最大值的 1 2 时，电台的位置偏离正南多少度？ 解 元天线（电基本振子）的辐射场为 0 0 sin 2 jkr Idl j e r      − E e = 可见其方向性函数为 f ( , ) sin    = ，当接收台停在正南方向（即 0  = 90 ）时，得到最大 电场强度 由 1 sin 2  = 得 0  = 45 此时接收台偏离正南方向 0 45 。 9.2 上题中如果接收台不动，将元天线在水平面内绕中心旋转，结果如何？如果接收天线 也是元天线，讨论收发两天线的相对方位对测量结果的影响。 解 如果接收台处于正南方向不动，将天线在水平面内绕中心旋转，当天线的轴线转至 沿东西方向时，接收台收到最大电场强度，随着天线地旋转，接收台收到电场强度将逐渐变 小，天线的轴线转至沿东南北方向时，接收台收到电场强度为零。如果继续旋转元天线，收 台收到电场强度将逐渐由零慢慢增加，直至达到最大，随着元天线地不断旋转，接收台收到 电场强度将周而复始地变化。 当接收台也是元天线，只有当两天线轴线平行时接收台收到最大电场强度；当两天线轴 线垂直时接收台收到的电场强度为零；当两天线轴线任意位置，接收台收到的电场强介于最 大值和零值之间。 9.3 如题 9.3 图（1）所示一半波天线，其上电流分布为 ( ) 1 1 cos ( ) 2 2 m I I kz z = −   （1）求证：当 0 r l  时 0 0 2 0 cos( cos ) 2 2 sin jkr m z I e A kr      − =  （2）求远区的磁场和电场； （3）求坡印廷矢量； （4）已知 2 2 0 cos( cos ) 2 d 0.609 sin      =  求辐射电阻； （5）求方向性系数

NI,d1=元/2r1/2题9.3图（1）解（1）沿z方向的电流"：在空间任意一点P(r,①)产生的矢量磁位为A (6,0)=1e-k-dz4元_12 r假设>>，则[r~r-zcosal~+zcoso11~1rrr将以上二式代入4(6，0)的表示式，得cos(k)e-krcos(k-)eHolmA. (r,0)=4元rorocos(k)e-(o-=coso)cos(kz)e-(+cos)Holm4元roroHolme[cos kz (ejkcoso +e-jkcos) dz4元4. (r0,0)= 40/mme-jkr[2cos(k=)cos(kzcos0)dz4元10Holm e-Jko(cos[ k-(1+cos0)]+cos[k (1-cos0)7)d4元cos）(1+cos)cos(cos)coscos)Molsin’esin’04元10LcosO)cos(Holmsin?2元kr由此得证

1 I dz 2 r 1 r 0 r  l /2 l /2 l =  /2 z 题 9.3 图（1） 解 （1）沿 z 方向的电流 z I 在空间任意一点 0 P r( , )  产生的矢量磁位为 ( ) / 2 0 0 / 2 , 4 l jkr z z l I e A r dz r    − − =  假设 0 r l  ，则 1 0 2 0 cos cos r r z r r z     −    + 1 2 0 1 1 1 r r r   将以上二式代入 ( ) 0 , A r z  的表示式，得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 0 0 0 / 2 0 0 0 0 / 2 0 0 / 2 cos cos 0 0 0 0 / 2 0 cos cos 0 0 cos cos , d d 4 cos cos d 4 cos d 4 l jkr jkr m z l l jk r z jk r z m l m jkr jkz jkz I kz e kz e A r z z r r I kz e kz e z r r I e kz e e z r            − − − − − − + − −     = +           = +       = +         ( ) ( ) ( ) 0 / 2 0 0 0 0 , 2cos cos cos d 4 l m jkr z I A r e kz kz z r     − =   ( ) ( )  0 / 2 0 0 0 cos 1 cos cos 1 cos d 4 l m jkr I e kz kz z r     − = + + −          ( ) ( ) 0 0 2 2 0 1 cos cos( cos ) 1 cos cos( cos ) 2 2 4 sin sin m jkr I e r           −   − +   = +       0 0 2 0 cos( cos ) 2 2 sin m jkr I e kr      − = 由此得证

（2）远区的磁场和电场为ersinderoe.aaa111VXA:H=a0asarorsingHloArsingAroA.而A, = A. cosOAg=-A, sinGA,=0得元cos)cos(Ime-jkga2H.(rA, sing)2元0singoroOroH,=0,H。=0由麦克斯韦方程1E=-VxHjos得E,=nH,= jle cos(co0)2元10sinE,=0,E=0由远区场的表示式，可得其方向性函数为元cos(=cosの)2f (0)=sing在极坐标系下E面和H面的方向图如题9.3图（2）所示。ZEA北EXE面方向图H面方向图题9.3图（2）（3）平均坡印廷矢量为S.=ReExH*n

（2）远区的磁场和电场为 0 0 2 0 0 0 0 0 0 sin 1 1 1 sin sin r r r r r r A r A r A               =  =    e e e H A 而 cos sin 0 r z z A A A A A     = = − = 得 ( ) 0 0 0 0 0 0 cos( cos ) 1 2 sin 2 sin jkr m z I e H r A j r r r        −  = =   0, 0 H H r = = 由麦克斯韦方程 1 j E H =   得 0 0 0 0 cos( cos ) 2 2 sin jkr m I e E H j r         − = =  0, 0 E E r = =  由远区场的表示式，可得其方向性函数为 ( ) cos( cos ) 2 sin f     = 在极坐标系下 E 面和 H 面的方向图如题 9.3 图（2）所示。 y z  E x y E  E 面方向图 H 面方向图 题 9.3 图（2） （3）平均坡印廷矢量为 1 Re 2 av  =      S E H

-[E = .cos(gcoso)2r8元1sin（4）由总辐射功率cos(cos)2 nl22.ds=rsinedede-018元sin’e2元-cos0)ocos12PRde=4元sine20故辐射电阻-cos0)-cos①)cos?x/2COsnono222R, =de-de2元sing2元sine由题给条件元("cosの)x/2cosLdo=0.609sine0所以%×0.609 = 73(2)R, =元（5）方向系数D-PP（最大辐射方向考察点的电场强度相等）式中Po表示理想无方向性天线的辐射功率，P表示考察天线的辐射功率，于是[Em P,=4元2.S=4元2no元-cos90°cos(no/me-Jikanoli12=4元2nosin 90°2元2元cos'( cos 0)221.n132dsrsinodedpsin"e08元alipcos'(gcos0)cos①)2xCOs701222de=desing2元sin4元则1Po1D:=1.64P0.609Tcos)Cosdesine

2 2 2 0 2 2 2 0 0 cos ( cos ) 1 1 2 2 2 8 sin m av I E H E r          S = = =  （4）由总辐射功率 2 2 2 0 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 0 2 0 cos ( cos ) 2 d sin d d 8 sin cos ( cos ) 1 2 d 4 sin 2 m av s m m r I P r r I I R                =  =  = =     S S 故辐射电阻 2 2 / 2 0 0 0 0 cos ( cos ) cos ( cos ) 2 2 d 2 d 2 sin 2 sin Rr               = =   由题给条件 2 / 2 0 cos ( cos ) 2 d 0.609 sin      =  所以 ( ) 0 0.609 73 R r   =  =  （5）方向系数 P0 D P = （最大辐射方向考察点的电场强度相等） 式中 P0 表示理想无方向性天线的辐射功率， P 表示考察天线的辐射功率，于是 0 2 2 2 max 0 0 0 0 2 2 2 0 0 0 0 0 4 4 2 cos( cos90 ) 1 2 4 2 2 sin 90 2 jkr m m E P r r I e I r j r           − =  =      =    =       S 2 2 2 0 2 2 2 2 0 0 0 0 cos ( cos ) 2 d sin d d 8 sin m av s I P r r         =  =     S S 2 2 2 2 / 2 0 0 0 0 cos ( cos ) cos ( cos ) 2 2 d d 4 sin 2 sin m m I I               = =   则 0 2 / 2 0 1 1 1.64 0.609 cos ( cos ) 2 d sin P D P      = = = = 

用分贝表示D= 10loglo 1.64 = 2.15(dB)9.4半波天线的电流振幅为1A，求离开天线1km处的最大电场强度。解半波天线的电场强度为元cos)Eg= o/me-ko cos(12元rsine=90%=1×10（m）代入上式，得可见，当0=90°，时电场为最大值。将60[Em / = 10 /m =-= 60×10-3 (V/m)1032元2α=900d=X9.5在二元天线阵中，设求阵因子方向图。解在如题9.5图中，天线0和天线1为同类天线。其间距为d，它们到场点P的距离,=ml.e-j分别为和。天线0和天线1上的电流关系为当考察点远离天线计算两天线到P点的距离采用=ro，计算两天线到P点的相位差采用=-dsingcosp则天线1的辐射场到达P点时较天线0的辐射场超前相位=kdsinocosp-αZ4P(r,0.0)天线01V天线题9.5图天线0和天线1在P点产生的总的辐射场为E=E+E,=E.(1+me/)其模为[E|=|E +E|=E (1+ me)=E//1+m2+2mcosy=E/ /1+m+2mcos(kdsincosΦ-α)=Elf(0,g)式中f(0,g)= 1+m2+2mcos(kd sinocosp-α)

用分贝表示 ( ) 10 D = = 10log 1.64 2.15 dB 9.4 半波天线的电流振幅为 1A，求离开天线 1km 处的最大电场强度。 解 半波天线的电场强度为 0 0 0 cos( cos ) 2 2 sin jkr m I e E r       − =  可见，当 0  = 90 ，时电场为最大值。将 ( ) 0 3 0  = =  90 , 1 10 r m 代入上式，得 ( ) 0 3 max 3 0 60 60 10 V/m 2 10 m I E r   − = = =  9.5 在二元天线阵中，设 0 , 90 4 d  = =  ，求阵因子方向图。 解 在如题 9.5 图中，天线 0 和天线 1 为同类天线。其间距为 d，它们到场点 P 的距离 分别为 0 r 和 1 r 。天线 0 和天线 1 上的电流关系为 1 0 j I mI e−  = 当考察点远离天线计算两天线到 P 点的距离采用 1 0 r r  ，计算两天线到 P 点的相位差采 用 1 0 r r d  − sin cos   。 则天线 1 的辐射场到达 P 点时较天线 0 的辐射场超前相位  = − kd sin cos    P r( , ,   )   0 r 天线 1 天线 0 x y Z d 1 r 题 9.5 图 天线 0 和天线 1 在 P 点产生的总的辐射场为 0 1 0 (1 ) j me  E E E E = + = + 其模为 ( ) ( ) ( ) 0 1 0 2 0 2 0 0 1 1 2 cos 1 2 cos sin cos , j me m m m m kd f        = + = + = + + = + + − = E E E E E E E 式中 ( ) ( ) 2 f m m kd      , 1 2 cos sin cos = + + −