第三章静电场一、概述1.概念静电场：自由空间中相对于观察者静止、并且不随时间变化的电荷产生的电场称为静电场。静电场对电荷表现为力的作用。2.内容静电场的基本方程、性质、概念和定律，如高斯定律、库仑定律等。静电场中的导体和介质，介质极化、介质中的场方程。静电场的基本方程在工程中的应用：电容、电场能量及电场力的计算。3.重点场的方程、性质及其应用。实际问题的分析及求解。4.难点正确理解对静电场基本性质的数学表达，即场的散度、旋度和梯度。5.建议循序渐进、由浅入深，加强对概念的理解。注重本质与现象的结合，理论与实际的结合。建议学时：12二、静电场的基本方程1.电场强度定义：单位静止点电荷所受到的电场力，称为电场强度。方E=limV/mq→0 q数学表达式：2.基本方程由亥姆霍兹定理可知，无界空间中的静电场由静电场的散度和旋度方程共同决定。微分形式：V.E=PVxE=060Zq积分形式：E·ds=$E.di=060可以从中看出静电场在自由空间中是有散无旋场。3.方程的物理意义微分形式：自由空间任一点处静电场的散度等于该点体电荷密度与自由空间介电常数的比值，自由空间中静电场的旋度处处为零，即静电场在自由空间中是有散、无旋场。积分形式：自由空间中静电场通过任一闭合曲面的总通量，等于该闭合曲面内所包围的总电荷量与自由空间介电常数之比。在静电场中，电场强度沿任意闭合环路的积分恒为零。4.高斯定律定律：自由空间中静电场通过任一闭合曲面的总通量，等于该闭合曲面内所包围的总电荷量与自由空间介电常数之比
第三章 静电场 一、概述 1．概念 静电场：自由空间中相对于观察者静止、并且不随时间变化的电荷产生的电场称为静 电场。 静电场对电荷表现为力的作用。 2．内容 静电场的基本方程、性质、概念和定律，如高斯定律、库仑定律等。 静电场中的导体和介质，介质极化、介质中的场方程。 静电场的基本方程在工程中的应用：电容、电场能量及电场力的计算。 3．重点 场的方程、性质及其应用。 实际问题的分析及求解。 4．难点 正确理解对静电场基本性质的数学表达，即场的散度、旋度和梯度。 5．建议 循序渐进、由浅入深，加强对概念的理解。 注重本质与现象的结合，理论与实际的结合。 建议学时：12 二、静电场的基本方程 1．电场强度 定义： 单位静止点电荷所受到的电场力，称为电场强度。 数学表达式： 2．基本方程 由亥姆霍兹定理可知，无界空间中的静电场由静电场的散度和旋度方程共同决定。 微分形式： 0 E = E = 0 积分形式： = 0 q E dS E dl = 0 可以从中看出静电场在自由空间中是有散无旋场。 3．方程的物理意义 微分形式：自由空间任一点处静电场的散度等于该点体电荷密度与自由空间介电常数 的比值，自由空间中静电场的旋度处处为零，即静电场在自由空间中是有散、无旋场。 积分形式：自由空间中静电场通过任一闭合曲面的总通量，等于该闭合曲面内所包围 的总电荷量与自由空间介电常数之比。在静电场中，电场强度沿任意闭合环路的积分恒为零。 4．高斯定律 定律: 自由空间中静电场通过任一闭合曲面的总通量，等于该闭合曲面内所包围的总电 荷量与自由空间介电常数之比
C表达式：e-ds=60应用范围：当空间电荷具有对称分布，可以很方便地利用高斯定律求解空间电场强度。5.库仑定律定律：两个点电荷之间的相互作用力与电荷量q1、92的乘积成正比，与两点电荷之间距离R的平方成反比，如果两个点电荷符号相同，它们之间互相排斥，如果两个点电荷符号相反，它们之间互相吸引。4192R2= -表达式：AnEORTER6.点电荷g4R=V(E=4元R单点电荷的电场强度为多电荷：因为点电荷产生的电场与电荷的带电量成正比，因此多个点电荷产生的总电场可以利用叠加原理求得，即对各个点电荷产生的电场进行矢量叠加求和，得E-2_台4元R27.连续分布电荷对连续分布电荷产生的电场，仍可利用叠加的方法，对各区域元电荷PdV"产生的电场在整个电荷分布区域积分，得出总电场。如右图所示的体电荷分布情况，由体积元dV"产生dE- pdV'e.4元R的电场为：对在整个电荷分布区域内进行体积分可得整个带电体产生的总电场：E=[Ep14元gR2ZVds图1.1.2连续体电荷分布的电场图1.1.3连续面电荷分布的电场
表达式： = 0 q E dS 应用范围：当空间电荷具有对称分布，可以很方便地利用高斯定律求解空间电场强度。 5．库仑定律 定律： 两个点电荷之间的相互作用力与电荷量 q1、q2 的乘积成正比，与两点电荷之 间距离 R 的平方成反比，如果两个点电荷符号相同，它们之间互相排斥，如果两个点电荷 符号相反，它们之间互相吸引。 表达式： 6．点电荷 单点电荷的电场强度为 多电荷: 因为点电荷产生的电场与电荷的带电量成正比，因此多个点电荷产生的总电场 可以利用叠加原理求得，即对各个点电荷产生的电场进行矢量叠加求和，得 7．连续分布电荷 对连续分布电荷产生的电场，仍可利用叠加的方法，对各区域元电荷 产生的电场 在整个电荷分布区域积分，得出总电场。如右图所示的体电荷分布情况，由体积元 产生 的电场为： 对在整个电荷分布区域内进行体积分可得整个带电体产生的总电场： 图 1.1.2 连续体电荷分布的电场 图 1.1.3 连续面电荷分布的电场
如果带电区域为如上图所示的面电荷分布，总电场便是对Ps在其分布面上进行面积分，E-epss34元,R2可得：如果带电区域为如右图所示的线电荷分布，总电场是沿线电荷P1进行线积分，可得：[.E.Pidl'E=J14元e,R?X图1.1.4连续线电荷分布的电场8.已知电场力，求电场强度主E=lim9-0q电场强度9.已知电位，求电场强度E=-V电场强度10.电荷分布具有对称性用高斯定律求电场强度三、电位方程1.引入E=-V0由矢量恒等式×(V)=0，电场可以用一个标量场的梯度表示，即在解决实际问题时，可以由电荷分布很方便地求出电位，从而求得电场强度。另外在已知电位分布的情况下，也可以求出空间电荷的分布情况。2.定义将单位正电荷从某一点移至零电位参考点时，电场力所做的功，称为该点的电位。3.数学表达式p=Je.di --fE.dip4.电位方程2a2a272-Ox30z2ay3引入拉普拉斯算符Vp=-泊松方程：60
如果带电区域为如上图所示的面电荷分布，总电场便是对 在其分布面上进行面积分， 可得： 如果带电区域为如右图所示的线电荷分布， 总 电 场 是沿 线 电荷 进 行 线 积 分， 可得 ： 图 1.1.4 连续线电荷分布的电场 8．已知电场力，求电场强度 电场强度 9．已知电位，求电场强度 电场强度 10．电荷分布具有对称性 用高斯定律求电场强度 三、电位方程 1．引入 由矢量恒等式 ，电场可以用一个标量场的梯度表示，即 。 在解决实际问题时，可以由电荷分布很方便地求出电位，从而求得电场强度。另外， 在已知电位分布的情况下，也可以求出空间电荷的分布情况。 2．定义 将单位正电荷从某一点移至零电位参考点时，电场力所做的功，称为该点的电位。 3．数学表达式 = = − P P P E dl E dl 4．电位方程 引入拉普拉斯算符 泊松方程： 0 2 = −
拉普拉斯方程（无源区域的泊松方程）：√?β=05.电位的求解（1）点电荷qβ=4元e,R单点电荷：Nqi9=24元gR多电荷：（2）连续分布的电荷1PaxyaldtP=R4元6体电荷分布：1osasoR4元8.面电荷分布：pialP=4元80R线电荷分布：（3）已知电场强度PE.di=IE dt -电位（4）已知边界电位分布，求解空间电位分布（参见静态场边值型问题解）四、电偶极子1.定义一对等值异号的电荷相距一个小的距离！，称为电偶极子。2.电偶极矩采用一个矢量，其大小等于乘积4"，方向由-q指向+q，称为偶极子的电矩，简称电偶极矩，即P=qi或。=gi(单位:C.m)3电偶极子的场图1.3.1电偶极子上图表示一个电偶极子。采用球坐标系，将原点放在偶极子中心，Z轴与！相合，远处一点(r,8,)的电位等于两点电荷电位的叠加
拉普拉斯方程（无源区域的泊松方程）： 0 2 = 5．电位的求解 （1）点电荷 单点电荷： 多电荷： （2）连续分布的电荷 体电荷分布： 面电荷分布： 线电荷分布： （3）已知电场强度 电位 （4）已知边界电位分布，求解空间电位分布 （参见静态场边值型问题解） 四、电偶极子 1．定义 一对等值异号的电荷相距一个小的距离 ，称为电偶极 子。 2．电偶极矩 采用一个矢量，其大小等于乘积 ，方向由-q 指向+q， 称为偶极子的电矩，简称电偶极矩，即 或 (单 位: ) 3．电偶极子的场 图 1.3.1 电偶极子 上图表示一个电偶极子。采用球坐标系，将原点放在偶极子中心， 轴与 相合，远处 一点 的电位等于两点电荷电位的叠加
_ q(r2 -r)qqP=4元8g4元0724元80rr2(1)r2 +rlcose其中1/2rlcoser2因为r>>！，将"1、3用二项式定理展开，并略去高阶项，得：r1-cosersr+-coseriar-221Nr2r-riwlcosgp.erp.fqlcose0=4元8gr34元gr4元gr?4元60故得（2）偶极子的电场由上式取梯度得到：20+1202pcosepsineE=-V0=arrae4元gr34元8r3.vP.() --4元[()0F)+→()4元E=-V0或：4.电偶极子的等位面和电力线r=C-/cose等位面方程：r=C"sine电力线方程：电场强度与成反比。电场强度具有轴对称性。电力线与等位面垂直。但在实际中，在偶极子附近，实际等位线和电力线的分布如上图所示。实际电力线起始于正电荷，终止于负电荷。图13.2电偶极子的电力线五、静电场中的导体1.静电场中导体的特点静电场中的导体处于静电平衡状态。导体内部电场处处为零。所有电荷分布在导体表面上。导体内部是等位体，导体表面是等位面。导体表面的电场垂直于导体表面。2.说明
（1） 其中 因为 >> ，将 、 用二项式定理展开，并略去高阶项，得： 故得 （2）偶极子的电场由上式取梯度得到： 或： 4．电偶极子的等位面和电力线 等位面方程： 电力线方程： 电场强度与 成反比。 电场强度具有轴对称性。 电力线与等位面垂直。但在实际中，在偶极子附近， 实际等位线和电力线的分布如上图所示。实际电力线起 始于正电荷，终止于负电荷。 图 1.3.2 电偶极子的电力线 五、静电场中的导体 1．静电场中导体的特点 静电场中的导体处于静电平衡状态。 导体内部电场处处为零。 所有电荷分布在导体表面上。 导体内部是等位体，导体表面是等位面。 导体表面的电场垂直于导体表面。 2．说明