《电磁场》课程教学资源_习题训练_思考与练习

思考与练习一1.证明矢量A=é,+é,2-é.3和B=é+e,+e.相互垂直。2.已知矢量A=e,5.8+e.1.5和B=-e,6.93+e.4，求两矢量的夹角。3.如果A,B.+4,B,+A.B.=0，证明矢量A和B处处垂直。4.导出正交曲线坐标系中相邻两点弧长的一般表达式。5.根据算符v的与失量性，推导下列公式：(A·B)= B×(V×A)+(B. V)A+A×(V×B)+(A.V)BAx(V×A)-↓VA*-(4.V)4V.[ExH]=H.VxE-E.VxH6.设u是空间坐标x,y,z的函数，证明：()-u, V.A()=u,V× 4(a)= Vux, V[V×A(x,y,=)]=0 dududu7.设R=-l=Vx-x)+(y-y)+(=-为源点x到场点×的距离，R的方向规定为从源点指向场点。证明下列结果，VR=-V'R-R,V--I--R,R=0,VR=-VR=0(R+0)(最V"R'VR=-VR=R'"R3R3R5后一式在R=0点不成立）。8.求v[Esin(k.r)]及V×[Esin(k·r)]，其中a,E为常矢量。9.应用高斯定理证明【dV×f=fds×f，应用斯克斯（Stokes）定理证明[dsxo=f dlg.10.证明Gauss积分公式·ds=[[+。11.导出在任意正交曲线坐标系中.F(g1,92.9s)、V[V.F(g1,9293)]、f(gq2q)的表达式。12.从梯度、散度和旋度的定义出发，简述它们的意义，比较它们的差别导出它们在正交曲线坐标系中的表达式

思考与练习一 1．证明矢量 A = e ˆ x + e ˆ y 2 − e ˆ z 3 和 x y z B = e ˆ + e ˆ + e ˆ 相互垂直。 2. 已知矢量 A = e ˆ y 5.8 + e ˆ z1.5 和 B = −e ˆ y 6.93 + e ˆ z 4 ，求两矢量的夹角。 3. 如果 AxBx + AyBy + AzBz = 0 ，证明矢量 A 和 B 处处垂直。 4. 导出正交曲线坐标系中相邻两点弧长的一般表达式。 5．根据算符  的与矢量性，推导下列公式： (AB) = B( A)+ (B)A+ A(B)+ (A)B A ( A) A (A )A 2   =  −  2 1 E H = H  E − E  H 6．设 u 是空间坐标 x, y,z 的函数，证明： u du df f (u) =  ， ( ) du d u u A  A =   ， ( ) du d u u A   A =   ， A(x, y,z) = 0。 7．设 2 2 2 R = r − r  = (x − x ) + (y − y ) + (z − z ) 为源点 x  到场点 x 的距离，R 的方向规 定为从源点指向场点。证明下列结果， R R R R  = − = ， 3 1 1 R R R R  = − = − ， 0 3  = R R ， 0 3 3   = − = R R R R (R  0) （最 后一式在 R = 0 点不成立）。 8. 求  sin( ) 0  E k r 及  sin( ) 0  E k r ，其中 a E0 , 为常矢量。 9. 应用高斯定理证明    =  v s dV f ds f ，应用斯克斯（Stokes）定理证明    = s L dS  dl 。 10.证明 Gauss 积分公式      =    +  s V   d     dv 2 s 。 11. 导出在任意正交曲线坐标系中 ( ) 1 2 q3 F q ,q , 、  ( ) 1 2 q3  F q ,q , 、 ( ) 1 2 3 2  f q ,q ,q 的表达式。 12. 从梯度、散度和旋度的定义出发，简述它们的意义，比较它们的差别， 导出它们在正交曲线坐标系中的表达式

思考与练习二1.证明均匀线电荷密度圆环在圆环平面内任意点的电场强度为零。求圆环平面外任意点的电场的表达式。2.有一内外半径分别为r和r,的空心介质球，介电常数为，使介质内均匀带静止自由电荷密度为pr，求空间电场及极化体电荷和极化面电荷分布。3．已知一个电荷系统偶极矩定义为P(t)=J,p(r',t)rdV"，利用电荷守恒定律证明P的变化率为当-1,c.or。4．内外半径分别为r和r,的无穷长中空导体圆柱，沿轴向流有恒定均匀自由电流J，，导体的磁导率为μ，求磁感应强度和磁化电流。5.证明均匀介质内极化电荷密度p,等于自由电荷密度p，的-1-倍86.简述Maxwe11方程组各式所对应的实验定律，式中各项的物理意义。为什么说Maxwel方程组预言了电磁场具有波动的运动形式。7.利用Maxwe11方程组，导出电荷守恒定律的表达式。8.何谓位移电流，说明位移电流的物理实质及意义，比较传导电流和位移电流之间的异同点。9.证明Maxwe11方程组的四个方程中只有两个是独立的，利用两个独立方程组导出电磁场的波动方程。10.利用电磁场与介质相互作用的机理，分析介质在电磁场中的性质，并根据介所表现出的质宏观特性进行分类。11.证明当两种绝缘介质的分界面上不带面自由电荷时，电场力线的曲折满足%-%，其中c,和s分别为两种介质的介电常数，0,和0.分别为界面两侧tane,电场线与法线的夹角。12.假设自然界存在磁荷，磁荷的运动形成磁流。又假设磁荷产生磁场同电荷产生电场满足同样的实验定律；磁流产生电场同电流产生磁场满足同样的实验定律。请导出在这一假设前提下的Maxwell方程组表达式

思考与练习二 1. 证明均匀线电荷密度圆环在圆环平面内任意点的电场强度为零。求圆环 平面外任意点的电场的表达式。 2. 有一内外半径分别为 1 r 和 2 r 的空心介质球，介电常数为  ，使介质内均 匀带静止自由电荷密度为  f ，求空间电场及极化体电荷和极化面电荷分布。 3. 已知一个电荷系统偶极矩定义为  =    V P(t) (r ,t )r dV ，利用电荷守恒定律 证明 P 的变化率为  =   V ,t dV dt d J(r ) P 。 4. 内外半径分别为 1 r 和 2 r 的无穷长中空导体圆柱，沿轴向流有恒定均匀自由 电流 f J ，导体的磁导率为  ，求磁感应强度和磁化电流。 5. 证明均匀介质内极化电荷密度  p 等于自由电荷密度  f 的         0 － 1－ 倍。 6. 简述 Maxwell 方程组各式所对应的实验定律，式中各项的物理意义。为什 么说 Maxwell 方程组预言了电磁场具有波动的运动形式。 7. 利用 Maxwell 方程组，导出电荷守恒定律的表达式。 8. 何谓位移电流，说明位移电流的物理实质及意义，比较传导电流和位移电 流之间的异同点。 9. 证明 Maxwell 方程组的四个方程中只有两个是独立的，利用两个独立方程 组导出电磁场的波动方程。 10. 利用电磁场与介质相互作用的机理，分析介质在电磁场中的性质，并根 据介所表现出的质宏观特性进行分类。 11. 证明当两种绝缘介质的分界面上不带面自由电荷时，电场力线的曲折满 足 1 2 1 2 tan tan     = ，其中 1  和 2  分别为两种介质的介电常数，  1 和  2 分别为界面两侧 电场线与法线的夹角。 12. 假设自然界存在磁荷，磁荷的运动形成磁流。又假设磁荷产生磁场同电 荷产生电场满足同样的实验定律；磁流产生电场同电流产生磁场满足同样的实验 定律。请导出在这一假设前提下的 Maxwell 方程组表达式

思考与练习三1.利用电场Gauss定律分别求电荷面密度为e.的无穷大导体板和半无穷大导体在上半空间导体平面附近产生的电场，比较所得到结果的差别。你能从这一差别中得到什么结论。面电荷密度p（a）无穷大导体薄板（b）半无穷大导体2.求如图所示的一同轴线如图所示，内外导体的半径分别为a和b，将其与电压为V电源相连接，内导体上的电流强度为I。求同轴线内电场和磁场的分布，计算穿过两导体间Φ=常数平面单位长度上的磁通量。3.证明在无电荷分布的区域，电位既不能达到极大值，也不能达到极小值。4.平行板电容器内有两层介质，厚度分别为1和2，介电常数为8,和82，今在两板极接入电动势8为的电池，求（1）电容器两板上的自由电荷面密度のr；（2）介质分界面上的自由电荷面密度の。若介质是漏电的，电导率分别为，和2，当电流达到恒定时，上述两个结果如何？5.电位函数在理想导体边界上有两种表述形式：（1）Φ=（常数）；（2）

思考与练习三 1. 利用电场 Gauss 定律分别求电荷面密度为  s 的无穷大导体板和半无穷大 导体在上半空间导体平面附近产生的电场，比较所得到结果的差别。你能从这一 差别中得到什么结论。 面电荷密度  s （a） 无穷大导体薄板 （b）半无穷大导体 2. 求如图所示的一同轴线如图所示，内外导体的半径分别为 a 和 b，将其与 电压为 V 电源相连接，内导体上的电流强度为 I。求同轴线内电场和磁场的分布， 计算穿过两导体间  = 常数 平面单位长度上的磁通量。 b V 3. 证明在无电荷分布的区域，电位既不能达到极大值，也不能达到极小值。 4. 平行板电容器内有两层介质，厚度分别为 l1 和 l2，介电常数为 1  和 2  ， 今在两板极接入电动势 ε 为的电池，求 （1）电容器两板上的自由电荷面密度  f ； （2）介质分界面上的自由电荷面密度  f 。 若介质是漏电的，电导率分别为  1 和  2 ，当电流达到恒定时，上述两个结 果如何？ 5. 电位函数在理想导体边界上有两种表述形式：（1）  =（常数） 0 ；（2）

o0-%-P.。指出这两个边界条件所对应的物理模型和导体所处的状态。6.一长为1的圆筒形电容器，内外半径分别为α和b，两导体之间充满了介电常数为的介质。（1）当电容器带电荷量Q时，忽略边缘效应，求电容器内电场的分布；（2）求电容器的电容；（3）假设将电容器接到电压为V电源上，并且电容器内介质被部分的拉出电容器，忽略边缘效应，求介质受到的作用力的大小和方向。7.比较恒定电流的电场与静电场的异同点，证明当两种导电介质内流有恒定电流时，分界面上电场力线的曲折满足an2=2，其中。和z分别为两种介tang,o质的电导率。8.面偶极层为带等量正负面电荷密度土而靠得很近的两个面所形成面偶极层，定义为：P=limdl。证明下述结果：（1）在面电荷两侧，电位法向微商140有跃变，而电位是连续的。（2）在面偶极层两侧，电位有跃变－=二i·P。而60电位法向微商是连续的。9.证明在试用A表示一个沿方向的均匀恒定磁场Bo，写出A的两种不同表示式，证明二者之差为无旋矢量场。10.证明两载有恒定电流的闭合线圈之间的相互作用力的大小相等，方向相反（但两个电流元之间的相互作用力一般并不服从牛顿第三定律）。11.已知某个磁场的磁矢势A=é，PB。，其中Bo是常数。证明该磁场是2均匀的。12.在什么样的情况下，可以用磁标位描述磁场，磁标位满足什么样的方程和边界条件。13.电阻、电容和电感是电路理论中基本元件，它们反应的是什么特性参数，表达了导电介质和导体系统的什么性质。14.总结静电场、恒定电流电场和恒定电流磁场的基本性质，分析它们性质的异同点。思考为什么静态电磁场（包括静电场、恒定电流电场和恒定电流磁场）满足同样类型的数学物理方程

s n    =   − 。指出这两个边界条件所对应的物理模型和导体所处的状态。 6. 一长为 l 的圆筒形电容器，内外半径分别为 a 和 b，两导体之间充满了介 电常数为  的介质。 （1）当电容器带电荷量 Q 时，忽略边缘效应，求电容器内电场的分布； （2）求电容器的电容； （3）假设将电容器接到电压为 V 电源上，并且电容器内介质被部分的拉出 电容器，忽略边缘效应，求介质受到的作用力的大小和方向。 7. 比较恒定电流的电场与静电场的异同点，证明当两种导电介质内流有恒 定电流时，分界面上电场力线的曲折满足 1 2 1 2 tan tan     = ，其中  1 和  2 分别为两种介 质的电导率。 8. 面偶极层为带等量正负面电荷密度  而靠得很近的两个面所形成面偶 极层，定义为： P l  0 lim → → = l 。证明下述结果：（1）在面电荷两侧，电位法向微商 有跃变，而电位是连续的。（2）在面偶极层两侧，电位有跃变 − = nˆ  P 0 2 1 1    。而 电位法向微商是连续的。 9. 证明在试用 A 表示一个沿 z 方向的均匀恒定磁场 B0，写出 A 的两种不同 表示式，证明二者之差为无旋矢量场。 10. 证明两载有恒定电流的闭合线圈之间的相互作用力的大小相等，方向相 反（但两个电流元之间的相互作用力一般并不服从牛顿第三定律）。 11. 已知某个磁场的磁矢势 2 B0 eˆ  A＝  ，其中 B0 是常数。证明该磁场是 均匀的。 12. 在什么样的情况下，可以用磁标位描述磁场，磁标位满足什么样的方程 和边界条件。 13. 电阻、电容和电感是电路理论中基本元件，它们反应的是什么特性参数， 表达了导电介质和导体系统的什么性质。 14. 总结静电场、恒定电流电场和恒定电流磁场的基本性质，分析它们性质 的异同点。思考为什么静态电磁场（包括静电场、恒定电流电场和恒定电流磁场） 满足同样类型的数学物理方程

思考与练习四1.设有无穷长的线电流I沿=轴流动，在Z<0的空间内充满磁导率为μ的均匀介质，Z>0的区域为真空，试用唯一性定理求磁感应强度B，然后求出磁化电流分布。2.总结分离变量方法的基本步骤，讨论分离变量方法应用的前提，分析分离变量方法的基本思想，概括分离变量方法的实质，归纳常用的三个坐标系中分离变量方法的基本方程。3．在均匀外电场中置入半径为α的导体球，用分离变量法求导体球上电势Φ。和导体球带总电荷Q两种情况下的电位函数（设未置入导体球前坐标原点的电位为9。）。4．在很大的电解槽中充满电导率为,的液体，使其中流有均匀的电流Jro，今在液体中置入一个电导率为，的小球，求稳恒时电流分布和面电荷分布，讨论,>>,及,>>,两种情况的电流分布的特点。5.在接地的导体平面上有一半径为a的半球凸部（如图），半球的球心在导体平面上，点电荷Q位于系统的对称轴上，并与平面相距为b(b>a)，试用镜象法求空间电位。V!b:第6题图第7题图6.如图所示，求解两同轴圆锥面之间区域内电场分布。已知外圆锥面的电位为零，内圆锥面的电位为Vo。在两圆锥的顶点绝缘。7.一块极化介质的极化失量为p()，根据电偶极子静电位的公式，极化介质所产生的电位为=一【Pr)dv，另外，根据极化电荷公式p=-".P(r)4元8gJr3及，=n.P，极化介质所产生的电势又可表为

思考与练习四 1. 设有无穷长的线电流 I 沿 z 轴流动，在 Z<0 的空间内充满磁导率为  的 均匀介质，Z>0 的区域为真空，试用唯一性定理求磁感应强度 B，然后求出磁化 电流分布。 2. 总结分离变量方法的基本步骤，讨论分离变量方法应用的前提，分析分 离变量方法的基本思想，概括分离变量方法的实质，归纳常用的三个坐标系中分 离变量方法的基本方程。 3. 在均匀外电场中置入半径为 a 的导体球，用分离变量法求导体球上电势  0 和导体球带总电荷 Q 两种情况下的电位函数（设未置入导体球前坐标原点的 电位为  0 ）。 4. 在很大的电解槽中充满电导率为  2 的液体，使其中流有均匀的电流 J f 0， 今在液体中置入一个电导率为  1 的小球，求稳恒时电流分布和面电荷分布，讨 论 1  2 及  2 1 两种情况的电流分布的特点。 5. 在接地的导体平面上有一半径为 a 的半球凸部（如图），半球的球心在导 体平面上，点电荷 Q 位于系统的对称轴上，并与平面相距为 b(b  a) ，试用镜象法 求空间电位。 V0 b V＝0 a 第 6 题图 第 7 题图 6. 如图所示，求解两同轴圆锥面之间区域内电场分布。已知外圆锥面的电 位为零，内圆锥面的电位为 V0。在两圆锥的顶点绝缘。 7. 一块极化介质的极化矢量为 p(r) ，根据电偶极子静电位的公式，极化介 质所产生的电位为 ( ) dV r V    =  3 4 0 1 p r r   ，另外，根据极化电荷公式 = −  P(r)  P 及  p = n ˆ  P ，极化介质所产生的电势又可表为