dy= f(x,y),(3.1)命题1初值问题（3.1）等价于求积分方程dx/y(xo)=y0(3.5）的连续解f(t,y)dty=yo+Xo证明方法：代入方法。证明： 若y=p(x)为(3.1)的连续解,则do(x)2 = f(x,p(x)dxp(x)=yo对第一式从x.到x取定积分得p(x)-p(x) =/f(x, p(x)dx即(x) = yo + [ f(x, 0(x)dx故y=p(x)为(3.5)的连续解AM《常微分方程》教学课件广东第二师范学院首页结束一市面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 命题1 初值问题(3.1)等价于求积分方程 0 0 ( , ) (3.5) x x y y f t y dt = + 的连续解。 证明: 若y =(x)为(3.1)的连续解,则 , ( ) ( , ( )) ( ) 0 0 = = x y f x x dx d x 对第一式从x0 到x取定积分得x x f x x dx x x − = 0 ( ) ( ) ( , ( )) 0 即 x y f x x dx x x = + 0 ( ) ( , ( )) 0 故y =(x)为(3.5)的连续解. ,(3.1) ( ) ( , ) 0 0 = = y x y f x y dx dy 证明方法：代入方法
反之若y=(x)为(3.5)的连续解则有p(x)= yo + [" f(t,p(t)dt由于f(xy)在R上连续，从而f(t,p(t)连续故对上式两边求导，得dp(x)2 = f(x,p(x)dx且 p(xo)= yo + ( f(x, p(x)dx = yo即y=p(x)为(3.1)的连续解证毕。AI《常微分方程》教学课件广东第二师范学院上二市结束首页二面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 反之 若y =(x)为(3.5)的连续解,则有 x y f t t dt x x = + 0 ( ) ( , ( )) 0 由于f (x, y)在R上连续, 从而f (t,(t))连续, 故对上式两边求导,得 ( , ( )) ( ) f x x dx d x = 且 0 0 0 0 0 (x ) y f (x, (x))dx y x x = + = 即y =(x)为(3.1)的连续解. 证毕
构造Picard逐步逼近函数列,(x）Po(x)=yo(3.7)P,()=yo+/f(5,Pn-1(E))dExo≤x≤xo+h(n =1,2,..)注一般来说连续函数β(x)可任取,但实际上为方便，往往取p（x）=y的常数值问题：这样构造的函数列是否行得通，即上述的积分是否有意义？A>《常微分方程》教学课件广东第二师范学院首页上一真结束二面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 构造Picard逐步逼近函数列 { (x)} n 0 0 (x) = y 0 0 1 0 0 ( ) ( , ( )) x n n x x y f d x x x h = + + − (n =1,2, ) (3.7) 问题:这样构造的函数列是否行得通, 即上述的积分 是否有意义? , ( ) . ( ) , 0 0 0 方便 往往取 的常数值 一般来说连续函数 可任取 但实际上为 x y x = 注