《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 命题1 初值问题(3.1)等价于求积分方程 0 0 ( , ) (3.5) x x y y f t y dt = + 的连续解。 证明: 若y =(x)为(3.1)的连续解,则 , ( ) ( , ( )) ( ) 0 0 = = x y f x x dx d x 对第一式从x0 到x取定积分得x x f x x dx x x − = 0 ( ) ( ) ( , ( )) 0 即 x y f x x dx x x = + 0 ( ) ( , ( )) 0 故y =(x)为(3.5)的连续解. ,(3.1) ( ) ( , ) 0 0 = = y x y f x y dx dy 证明方法：代入方法
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 反之 若y =(x)为(3.5)的连续解,则有 x y f t t dt x x = + 0 ( ) ( , ( )) 0 由于f (x, y)在R上连续, 从而f (t,(t))连续, 故对上式两边求导,得 ( , ( )) ( ) f x x dx d x = 且 0 0 0 0 0 (x ) y f (x, (x))dx y x x = + = 即y =(x)为(3.1)的连续解. 证毕
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 构造Picard逐步逼近函数列 { (x)} n 0 0 (x) = y 0 0 1 0 0 ( ) ( , ( )) x n n x x y f d x x x h = + + − (n =1,2, ) (3.7) 问题:这样构造的函数列是否行得通, 即上述的积分 是否有意义? , ( ) . ( ) , 0 0 0 方便 往往取 的常数值 一般来说连续函数 可任取 但实际上为 x y x = 注