证明思路（1）初值问题（3.1）的解等价于积分方程(3.5)y= yo + /" f(t, y)dt的连续解(2）构造(3.5)近似解函数列（,(x))任取一连续函数p(x)p(x)-yo≤b,代入(3.5)右侧的y,得0(x)= yo + /"f(5,po(E)dXO若(x)=P(x),则p(x)为解,否则将p(x)代入(3.5）右侧的y,得f(,P())dP2(x)= y +XA《常微分方程》教学课件广东第二师范学院首页结束一市二面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 (1) 初值问题(3.1)的解等价于积分方程 ( , ) (3.5) 0 0 y y f t y dt x x = + 的连续解. 证明思路 (2) 构造(3.5)近似解函数列 { (x)} n 0 1 0 0 ( ) ( , ( )) x x x y f d = + 右侧的 得 任取一连续函数 代入 , ( ), ( ) , (3.5) 0 0 0 y x x − y b 右侧的 得 若 则 为解 否则将 代入 , ( ) ( ), ( ) , ( ) (3.5) 1 0 0 1 y x = x x x 0 2 0 1 ( ) ( , ( )) x x x y f d = +
若p(x)=(x),则g(x)为解,否则将2(x)代入(3.5)右侧的y……Pn+(x)= yo + ["f(E, P,(E)dE,这里要求,(x)-yo<b,若pn+(x)=p,(x),则p,(x)为解否则一直下去可得函数列（x））（逐步求（3.5）的解，逐步逼近法）A《常微分方程》教学课件广东第二师范学院首页上一真结束二面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 , ( ) ( ), ( ) , ( ) (3.5) 2 1 1 2 y x x x x 右侧的 若 = 则 为解 否则将 代入 0 1 0 ( ) ( , ( )) , x n n x x y f d + = + ( ) , 这里要求n x − y0 b ( ) ( ), ( ) , 若n+1 x =n x 则n x 为解 { (x)} 否则一直下去可得函数列 n (逐步求(3.5)的解,逐步逼近法)
(3)函数序列g,(x))在[x-h,x+h]上一致收敛于g(x)lim Pn+ (x)=o+limf(E,p()ds这是为了n>00n->00Jxolim f(,p,())d=yo+Xon->α即p(x)= yo + /f(5,p()dE,只需函数列(f(x,p,(x))在[xo-h,x+h]上致收敛于f(x,p(x))由f(x,p,(x)-f(x,p(x)≤Lp,(x)-p(x)只需(p,(x))在[x-h,x+h]上一致收敛于p(x)《常微分方程》教学课件广东第二师范学院首页店结束
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 (3) { ( )} [ , ] ( ). 0 0 x x h x h x 函数序列 n 在 − + 上一致收敛于 这是为了 0 1 0 lim ( ) lim ( , ( )) x n n n n x x y f d + → → = + 0 0 lim ( , ( )) x n x n y f d → = + 即 0 0 ( ) ( , ( )) , x x x y f d = + ( , ( )). { ( , ( ))} [ , ] 0 0 f x x f x n x x h x h 致收敛于 只需函数列 在 − + 上一 f (x, (x)) f (x, (x)) L (x) (x) 由 n − n − { ( )} [ , ] ( ). 0 0 x x h x h x 只需 n 在 − + 上一致收敛于
W由于P(x)+E(p(x)-Pk-1(x)=pn(x),k=-1于是函数列(p,(x)在[x-h,x+h]上一致收敛性，等价于函数项级数8E(p,(x)-pn-i(x),Po(x)+n=1在[x-h,x+h]上致收敛性（4）p(x）是积分方程（3.5）定义于[x-h,x+h上连续解且唯一A《常微分方程》教学课件广东第二师范学院上一真结束首页二面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 ( ) ( ( ) ( )) ( ), 1 0 1 x x x x n n k + k −k = = 由于 − 敛性 等价于函数项级数 于是函数列 在 上一致收 , { ( )} [ , ] n x x0 − h x0 + h ( ) ( ( ) ( )), 1 0 1 = + − − n n n x x x [ , ] . 在 x0 − h x0 + h 上一致收敛性 . (4) ( ) (3.5) [ , ] 0 0 且唯一 x 是积分方程 定义于 x − h x + h 上连续解
下面分五个命题来证明定理，为此先给出积分方程如果一个数学关系式中含有定积分符号且在定积分符号下含有未知函数，则称这样的关系式为积分方程如：y=e+y(t)dt,就是一个简单的积分方程积分方程的解对于积分方程y=yo+f(t,y)dt,如果存在定义在区间=[α,β]上的连续函数y=p(x,使得p(x)=yo +"f(t,p(t)dt在区间I上恒成立，则称y=(x）为该积分方程的解二《常微分方程》教学课件广东第二师范学院首页结束
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 下面分五个命题来证明定理,为此先给出 积分方程的解 如果一个数学关系式中含有定积分符号且在定积分符 号下含有未知函数, 则称这样的关系式为积分方程. 积分方程 : ( ) , . 0 如 = + 就是一个简单的积分方程 x x y e y t dt , ( ) . ( ) ( , ( )) [ , ] ( ), ( , ) , 0 0 0 0 在区间 上恒成立 则称 为该积分方程的解 上的连续函数 使得 对于积分方程 如果存在定义在区间 I y x x y f t t dt I y x y y f t y dt x x x x = = + = = = +