《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 (1) 初值问题(3.1)的解等价于积分方程 ( , ) (3.5) 0 0 y y f t y dt x x = + 的连续解. 证明思路 (2) 构造(3.5)近似解函数列 { (x)} n 0 1 0 0 ( ) ( , ( )) x x x y f d = + 右侧的 得 任取一连续函数 代入 , ( ), ( ) , (3.5) 0 0 0 y x x − y b 右侧的 得 若 则 为解 否则将 代入 , ( ) ( ), ( ) , ( ) (3.5) 1 0 0 1 y x = x x x 0 2 0 1 ( ) ( , ( )) x x x y f d = +
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 , ( ) ( ), ( ) , ( ) (3.5) 2 1 1 2 y x x x x 右侧的 若 = 则 为解 否则将 代入 0 1 0 ( ) ( , ( )) , x n n x x y f d + = + ( ) , 这里要求n x − y0 b ( ) ( ), ( ) , 若n+1 x =n x 则n x 为解 { (x)} 否则一直下去可得函数列 n (逐步求(3.5)的解,逐步逼近法)
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 (3) { ( )} [ , ] ( ). 0 0 x x h x h x 函数序列 n 在 − + 上一致收敛于 这是为了 0 1 0 lim ( ) lim ( , ( )) x n n n n x x y f d + → → = + 0 0 lim ( , ( )) x n x n y f d → = + 即 0 0 ( ) ( , ( )) , x x x y f d = + ( , ( )). { ( , ( ))} [ , ] 0 0 f x x f x n x x h x h 致收敛于 只需函数列 在 − + 上一 f (x, (x)) f (x, (x)) L (x) (x) 由 n − n − { ( )} [ , ] ( ). 0 0 x x h x h x 只需 n 在 − + 上一致收敛于
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 ( ) ( ( ) ( )) ( ), 1 0 1 x x x x n n k + k −k = = 由于 − 敛性 等价于函数项级数 于是函数列 在 上一致收 , { ( )} [ , ] n x x0 − h x0 + h ( ) ( ( ) ( )), 1 0 1 = + − − n n n x x x [ , ] . 在 x0 − h x0 + h 上一致收敛性 . (4) ( ) (3.5) [ , ] 0 0 且唯一 x 是积分方程 定义于 x − h x + h 上连续解
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 下面分五个命题来证明定理,为此先给出 积分方程的解 如果一个数学关系式中含有定积分符号且在定积分符 号下含有未知函数, 则称这样的关系式为积分方程. 积分方程 : ( ) , . 0 如 = + 就是一个简单的积分方程 x x y e y t dt , ( ) . ( ) ( , ( )) [ , ] ( ), ( , ) , 0 0 0 0 在区间 上恒成立 则称 为该积分方程的解 上的连续函数 使得 对于积分方程 如果存在定义在区间 I y x x y f t t dt I y x y y f t y dt x x x x = = + = = = +