九、自旋1/2体系的时间反演@=UK因 [n; +)= e-1S:a/he-is,B/h]+) [n;-)=e-iαs:/he-i(m+β)S,/h]+)0[n;+>=e-1S:α/he-1S,B/ho|+）=mln;-）(时间反演的效果)2S,得O= ne"irs,/hK = - inKhe-ins,/h}+)= +/-),e-ins,/h]-)= -[+)由于 有0(c+/+>+c_/->)=+nc*/-)-nc*/+)02(c+1+)+c_/-))= -[ml℃+I+)-Imlc_-)=-(c+/+)+c_/))所以：2=－1对无自旋体系 02=1 很不相同！(02[lm)=0(-)"|1-m)=|lm)(-inxn,)sin(号cosin,sin二gndcos()+in,sin(号)x+n,)sin(in.二元
九、自旋1/2体系的时间反演 Θ=UK ◼ 因 ◼ (时间反演的效果) ◼ 得 ◼ 由于 ◼ 有 ◼ 所以： ◼ 对无自旋体系 Θ2=1 很不相同！ 2 ( ( ) ) m = − − = lm l m lm
十、一般角动量体系的时间反演由①=ne-inly/"K，得0′[α)=0(0Z|jm)(jmα))=0(nZe-i,/"[jm)(jmα)*)=[n/ e-12元,/"Z[jm)(jmα)e-12/,/"[jm)=Z|jm")《jm*le-12/,/"[jm)=《jmle-12/,/"[jm)]jim)=d(2元)=(-1)"[jm)故对任意α>：@jhalf-integer)=-[jhalf-integer)@j integer)= + lj integer)O[l,m) =(-1)"l, - m)此外，由于Olj, m)=(-1)"lj,-m) (j an integer)不妨约定一般地可约定：lj,m）=i2mlj,一m）注：相位约定依处理问题方便而定，但①2=士1与相位约定无关。(j+ m)!(j- m)!(j+ m')!(j- m')!dm(β)=E(-1)k-m+m(j+m-k)k!(j-k-m)!(k-m+m')!kβ)2k-m+m(3.8.33)sin2
十、一般角动量体系的时间反演 ◼ 由 ，得 ◼ 故对任意|α>: ◼ 此外，由于 ◼ 不妨约定 ◼ 一般地可约定： ◼ 注：相位约定依处理问题方便而定，但Θ2=±1与相位约定无关。 / 2 / 2 2 ( ) ( ) *) − − = = = y y i J i J jm jm e jm jm e jm jm 2 / 2 / 2 / ( ) 2 ' ' (2 ) ( 1) − − − = = = = − y y y i J i J i J j j mm e jm jm jm e jm jm e jm jm d jm
<B/α)=(α0αt0-1β)OAO-1=±A十一、球张量的时间反演性质对<α,j,m|A|α,j,m)=±(α,j,一m|A|α,j,-m)若A是T(k）的分量，由于Wigner-Eckart定理2) (a'1'/(aj)(α'j'm|T(k[αjm)=(jk;mq|jk; j'm")/2j+1只要考虑q=0的分量即可。对厄米球张量，其时间反演奇偶性由=0分量确定：①T(0-" =±T().对A=T(-,有<α, j,m|T(k)]α, j,m)=±<α, j, 一m|T(k)Jα, j, -m)(R)T(k)@t(R)= Z /(R)T)*); d(β)lβ= = P(cos 0).q=-kt(0, ^,0)T(k)@(0, ^,0) = (- 1)*T(k) +(q + 0 components)<α, j,m|T(k)|α, j,m)=±(-1)*(α, j,m|T(k)|α, j,m)由于x对应于k=1，且对时间反演是偶的，故对im的本征态<x>=0，这对非宇称本征态亦成立
十一、球张量的时间反演性质 ◼ 对 ◼ 若A是 的分量，由于Wigner-Eckart定理 ◼ 只要考虑q=0的分量即可。 ◼ 对厄米球张量，其时间反演奇偶性由q=0分量确定： ◼ ； ◼ 由于x对应于k=1，且对时间反演是偶的，故对jm的本征态 <x>=0，这对非宇称本征态亦成立 (k ) Tq ( ) ( ) ; ; 2 1 k k q j T j j m T jm jk mq jk j m j = + ( ) 1 ( ) ( ) 0 0 0 A k k k T T T q q q − = = = = = .对 ，有 ΘAΘ-1=±A
十二、粒子与电和磁场的相互作用：Kramers简并电荷在静电场中，V(x)=eΦ(x)，[H,]=0由于[①,U(t,to)]+0,不存在量子数的时间反演守恒。但[H,?]=0导致非简并态波函数为实数更重要的推论是Kramers简并。由于|n>与@|n>同为H的本征态，若非简并，?|n>=ein>.对j半整数体系，则-[n>=@?|n>=ein>=n>,故|n>与|n>不可能为同一状态，存在简并，这不依赖于E的复杂程度因此，具有不同奇偶电子数的晶体在外电场中的行为很不相同。有外磁场时,H含 S.B,P·A+A·P,(B=V×A).由于p,S在时间反演下是奇的，[O,H]0,不存在Kramers简并
十二、粒子与电和磁场的相互作用：Kramers简并 ◼ 电荷在静电场中，V(x)=eΦ(x), [H,Θ]=0 ◼ 由于[Θ,U(t,t0 )]≠0, 不存在量子数的时间反演守恒。但 [H,Θ]=0导致非简并态波函数为实数 ◼ 更重要的推论是Kramers简并。由于|n>与Θ|n>同为H的本 征态，若非简并， Θ|n>=e iδ |n>. ◼ 对j半整数体系，则-|n>=ΘΘ|n>=Θe iδ |n>=|n>,故|n>与Θ|n> 不可能为同一状态，存在简并，这不依赖于E的复杂程度。 因此，具有不同奇偶电子数的晶体在外电场中的行为很不 相同。 ◼ 有外磁场时,H含 ◼ 在时间反演下是奇的, [Θ,H]≠0 ,不存在Kramers简并 S B p A A p B A p S + = , , ( ). , 由于
第五章近似方法大部分量子力学问题需用近似方法及数值解法。数值解常比解析近似精确、灵活，但解析性更益于理解基本物理。85.1不含时微扰理论：非简并情况已知：Hn(o))=En(0))，求Hn)=(H。+V)|n)=E,|n）的近似解V为微扰势(H。+aV)|n(a))= Enn(a)非简并定态微扰理论的起点通常是：或简单写成：H|n)=(H。+V)n)=E,|n)入～[0,1]。入=1是真正要求的微扰问题。引入入可了解微扰作用的特点，且使我们能通过比较入不同幂次的系数而方便地求得微扰展开序列。当然，这意味着本征态与本征值在入的复平面上，对应于入=0附近是解析连续的。此外，如果微扰法在实用上可行，则要求取少数几项展开便应是较好的近似
第五章 近似方法 ◼ 大部分量子力学问题需用近似方法及数值解法。数值解常比解 析近似精确、灵活，但解析性更益于理解基本物理。 §5.1 不含时微扰理论：非简并情况 ◼ 已知： 求 的近似解 ◼ V为微扰势 ◼ 非简并定态微扰理论的起点通常是： ◼ 或简单写成： ◼ λ~[0,1]。 λ=1是真正要求的微扰问题。引入λ可了解微扰作用的 特点，且使我们能通过比较λ不同幂次的系数而方便地求得微扰 展开序列。当然，这意味着本征态与本征值在λ的复平面上，对 应于λ =0附近是解析连续的。此外，如果微扰法在实用上可行， 则要求取少数几项展开便应是较好的近似。 (0) 0 (0) 0 , H n E n = n 0 ( ) H n H V n E n = + = n ( ) ( ) 0 ( ) H V n E n n + = 0 ( ) H n H V n E n = + = n