《高等量子力学》课程教学课件（PPT讲稿）第一章 基本概念 1.7 坐标与动量空间的波函数 第二章 量子动力学 2.1 时间演化和方程

81.7坐标与动量空间的波函数坐标空间波函数以坐标本征矢|x)为基［xx)=xx），《xx")=(x-x")],得：[α)=[dx|x)(x'[α)展开系数（xα)的物理解释：Kxlα)d’是在x'处dx"范围内找到粒子的几率（属于矢量空间的自然特性）。内积(x|α）就是通常所指的态[α)的波函数：(x)=<xlα)因《βα)=[dx(β|x)<x|α)=[dxy(x)(x)，在[α)找到态[β)的几率振幅《βα)常被称为[α）与[β）的交叠积分。一般态α）以算符本征态展开在坐标表象中可理解为V (x)=(x[α)=Z(x|a")(a'lα)=Ec.U.(x)其中U(x)=(xα）是A的本征值为a"的本征波函数。（这种展开在理论和计算中广泛使用）

§ 1.7 坐标与动量空间的波函数 一、 坐标空间波函数 ◼ 以坐标本征矢 为基[ , ], ◼ 得: ◼ 展开系数 的物理解释： 是在x’处dx’范围内找 到粒子的几率（属于矢量空间的自然特性）。 ◼ 内积 就是通常所指的态 的波函数： ◼ 因 ,在 找到态 的几率 振幅 常被称为 与 的交叠积分。 ◼ 一般态 以算符本征态展开在坐标表象中可理解为 ◼ 其中 是A的本征值为a ’的本征波函数。 ◼ （这种展开在理论和计算中广泛使用） x  x x x x    =   = dx x x    |  x x x x     = −  ( ) x   2 x dx   | x   ( x x ) |       =       dx x x dx x x   ( ) ( )  = =                ' ' ( ') ( ) a a a a x x x a a C U x       = = =        ' ( ) ' a U x x a   =

二、算符在坐标空间的表示(β|A|α)=[dx'dx"(β|x")(x'|A|x")(x"|α)=[ dx'dx"vs(x)(x'[A|x")y. (x")(xIA|x"）是x'和x"的函数。若A是坐标算符的函数，则(x/A(x)x)=A(")数 (x|x")=A(x)6(x"-x")于是(β|A|α)= [dx'y(x)A(x)ya (x)注：上面的记号中，在方程左边的A是算符，而右边是数

二、算符在坐标空间的表示 是x’和x’’的函数。若A是坐标算符的函数， 则 于是 注：上面的记号中，在方程左边的A是算符，而右边是数      =  dx dx x x x x       |  dx dx x x x x     ( ) | ( )  =         x x   |  x x x x x x x x x         | |  =  =  − ( ) ( ) ( ) ( ) 数     | dx x x x   ( ) ( ) ( )   =      

三、坐标表象中的动量算符ipAx)=[dxT(Ax)|x)(x[α) =[dx|x'+Ax')(x[α)=[dx|x)(x'-Ax'[α)1. 由Yx/<x/α)-Arx'adx'xO得 Pla)=[dx|x)(-ih)%(x/aα<xIplα)=-ih或x'aax5O即p在坐标表象的矩阵元为(x'lp|x")=-i2且 <βIplα)=[dx(β|x)(-ih%/-ih(xlα) =fdx'y(x)动量算符在坐标表象的表示，是从动量算符的基本性质中推导出来的类似可证(x"a)=(-ih)(xa);(Bp"a)=Jax(x)(-i)((BIf(p)lα)=Jdxye(x)Jlx-l

三、坐标表象中的动量算符 1. 由 得 或 ◼ 即p在坐标表象的矩阵元为 ◼ 且 ◼ →动量算符在坐标表象的表示，是从动量算符的基本性质 中推导出来的. ◼ 类似可证 ； 1 ( ) ip x   dx x x x     − =            = +  = −  dx x x x dx x x x             dx x x x x x      = −              p dx x i x ( ) x    =       － x p i x | | x      = −   x p x i x x | ( ) x       = − −   | p dx x i x x        = −           dx x i x ( ) ( ) x         = −           | ( ) n n n n x p i x x      = −   | ( )( ) ( ) n n n n p dx x i x x         = −       | f p dx x f i x ( ) ( ) ( ) x           = −          

四、动量空间的波函数plp")= p|p"), (p'lp")=(p'-p"), lα)=[dplp"p'lα)展开系数<pα)具有与(xα)类似的几率解释，即<pα)dp是在p'处dp'范围内粒子出现的几率，或者说是测得粒子动量为p'附近dp'范围内的几率。<p'[α) =Φα (p)《plα）常被称为动量空间波函数：若α）归一，则[dp'(α|p')<p'α)=[dp' (p')P=1

四、动量空间的波函数 ， ， 展开系数 具有与 类似的几率解释，即 是在 处 范围内粒子出现的几率，或者说是测得粒子动 量为 附近 范围内的几率 。 常被称为动量空间波函数： 若 归一，则 p p p p    = p p p p     = −  ( )   = dp p p     p   x   2 | | p dp    p  p  dp dp p   p p     =  ( )  ( ) 2 dp p p dp p | | 1         =  =  

五、x表象与p表象的联系由x-表象到p-表象的变换函数<xp）而联系由(xplp")=-ih(x|p")=p(xp")ax得 (x'|p)=Ce(ip'x/ h)是动量本征态在x-表象的波函数。可见动量本征态波函数是一平面波，这一结论无需通过求解Schrodinger方程。除相位因子处，归一常数c可定出ip'x/n为2，即（xp")=2元h因(x|α)={dpx|p"p'lα)，可知坐标空间波函数与动量空间波函数的关系为，, (m)=[a"()2dx'e-ip'x/nya (x)类似有<pα)=(pl)=dx(px)(xα)与前面的关系互为付氏变换

五、x表象与p表象的联系 由x-表象到p-表象的变换函数 而联系 ◼ 由 ◼ 得 是动量本征态在x-表象的波函数。 ◼ 可见动量本征态波函数是一平面波，这一结论无需通过求 解 方程。除相位因子处，归一常数c可定出 为 ， 即 ◼ 因 ，可知坐标空间波函数与动量空间 波函数的关系为， ◼ 类似有 与前面的关系互为付氏变换 x p   x p p i x p p x p | | x         = − =   (ip x / ) x p Ce     = Schrodinger 1 2 1 / 2 ip x x p e      = x dp x p p        =  ( ) ( ) 1 / 2 ip x x dp e p           =  p p dx p x x          = =  ( )  ( ) 1 / 2 ip x dx e x   −   =   