五、2元转动的中子干涉测量研究要观测到态失转2π后的负号，需将转动前后的态失进行比较。如图所示，8interferenceregionBFIGURE 3.2.Experiment to study the predicted minus sign under a 2m rotation当AB中子束在相于区相遇，其磁场导致的相位差为wT/2，T为经过有场区的时间,W为自旋进动频率0=gneB/2m,c干涉区的可观测强度具有周期变化形式cos(wT/2)8元hc产生干涉极大的相邻B为(I为有场区路径长度)：△B3=egntl实验结果证实了量子力学预言的正确性
五、2π转动的中子干涉测量研究 ◼ 要观测到态矢转2π后的负号，需将转动前后的态矢进行 比较。 ◼ 如图所示， ◼ 当AB中子束在相干区相遇，其磁场导致的相位差为ωT/2 , T为经过有场区的时间,ω为自旋进动频率 ◼ 干涉区的可观测强度具有周期变化形式cos(ωT/2). ◼ 产生干涉极大的相邻B为(l为有场区路径长度): ◼ 实验结果证实了量子力学预言的正确性。 2 = n p g eB m c 8 = n c B eg l
83.3正交群、幺正幺模群和Euler转动正交群一个转动可用三个实数表征：转轴的极角和方位角，及转角。可用3×3正交矩阵R描述：不同相继转动的结果可用相应矩阵乘积来表示由于RRT=RTR=1相当于6个独立方程，这3×3正交矩阵的9个元素只有3个是独立的。正交矩阵乘法运算的集合构成一个群，即SO(3)群。S表示特殊，即只考虑了转动，而无反演：O表示正交，即RRT=1：3表示空间维数。SO(3)群的基本性质所有正交矩阵（R）乘法运算的集合满足四要素：1.封闭性：两正交矩阵的乘积为另一正交矩阵R,R =(RR)(RR)=RRR,R=12.结合律：R,(R,R)=(R,R2)R，这是矩阵代数的结果3.有单位矩阵（对应于无转动）：R1=1R=R4.有逆存在（对应于相反角度的转动）：RR-1=R-"R=1
§3.3 正交群、幺正幺模群和Euler转动 一、正交群 ◼ 一个转动可用三个实数表征：转轴的极角和方位角，及转角。可用 3×3正交矩阵R描述：不同相继转动的结果可用相应矩阵乘积来表示。 ◼ 由于RRT=RTR=1 相当于6个独立方程，这3×3正交矩阵的9个元素 只有3个是独立的。 ◼ 正交矩阵乘法运算的集合构成一个群，即SO(3)群。S表示特殊，即 只考虑了转动，而无反演；O表示正交，即RRT=1；3表示空间维数。 ◼ SO(3)群的基本性质 ◼ 所有正交矩阵（R）乘法运算的集合满足四要素： ◼ 1. 封闭性：两正交矩阵的乘积为另一正交矩阵 ◼ 2. 结合律： 这是矩阵代数的结果 ◼ 3. 有单位矩阵（对应于无转动）：R1=1R=R ◼ 4. 有逆存在（对应于相反角度的转动）： 3 3 1 2 1 2 1 2 2 1 ( )( ) 1 T T T T R R R R R R R R R R = = = 1 2 3 1 2 R3 R (R R ) = (R R ) RR R R 1 1 1 = = − −
、幺正幺模群对二分量旋量%，可用一个2×2矩阵的作用来表征一个任意转动：84(-inx-n,)sinn,sincOS12ig·nd02Φ-2+in,sin()sirCO2该矩阵显然是幺正的（UU+=1），不改变的模。幺正幺模矩阵：行列式为1的幺正矩阵。幺正幺模矩阵的一般形式h为： U(a,b)=且[a|2 + [b|2 = 1b*aha*hU(a,b)的行列式为1，且么正:U(a,b)u(a,b)=h*h0对比U与U(a,b)，知U为幺模矩阵，对应于：dRe(a) = cosIm(a)=-n,sin2P?Re(b) = - n,sin(Im(b) = - nxsin22
二、幺正幺模群 ◼ 对二分量旋量 χ，可用一个2×2矩阵的作用来表征一个任意转动： U = ◼ 该矩阵显然是幺正的（UU+=1），不改变χ 的模。 ◼ 幺正幺模矩阵：行列式为1的幺正矩阵。幺正幺模矩阵的一般形式 为： 且 ◼ U(a,b)的行列式为1 ，且幺正： ◼ 对比U与U(a,b)，知U为幺模矩阵，对应于:
上述U(a,b)的集合所构成的群称为SU(2)群。S：特殊，即模为1；U：幺正。1）封闭性：U(ai, b)U(a2,b2) =U(aia2 -b,b,a,b2 +ab1)laia2 -b,b12 +[a,b2 +a*b,12 =1.2) 逆: U-l(a,b)=U(a*, -b).2维幺正矩阵构成U(2)群（有4个独立参数）：6aU-eiy[a]2 + [b]2 = 1,*=Ya*b*SU(2)与SO(3)的关系SU(2)与SO(3)均表征转动，但不同构，即非一一对应。SU(2)与SO(3)的对应是二对一的，即U(a,b)及U(-a,-b)对应于同一个SO(3)矩阵。例如在SU(2)中转2π对应于-1，转4π对应于1，但SO(3)中转2π和4π都对应于1。把U(a,b)和U(-a,-b)分开看，可认为SO(3）与SU(2)局部同构
◼ 上述U(a,b)的集合所构成的群称为SU(2)群。 S：特殊，即模为1；U：幺正。 1）封闭性： 2）逆： ◼ 2维幺正矩阵构成U(2)群（有4个独立参数）： ◼ SU(2)与SO(3)的关系 ◼ SU(2)与SO(3)均表征转动，但不同构，即非一一对应。 ◼ SU(2)与SO(3)的对应是二对一的，即U(a,b)及U(-a,-b)对应于同 一个SO(3)矩阵。例如在SU(2)中转2π对应于-1，转4π对应于1， 但SO(3)中转2π和4π都对应于1。 ◼ 把U(a,b)和U(-a,-b)分开看，可认为SO(3) 与SU(2)局部同构
三、Euler转动三维空间的最一般转动也可用三个相继Euler转动表征：1)将刚体绕z轴转α角。空间(a)z坐标轴与刚体坐标轴在转动前是重合的，转动后刚体y轴B变为y轴；2)使刚体绕y轴转β角，刚体z轴变为z'轴；3)使刚体绕z轴转角，y轴L(b)(c)FIGURE3.4.Eulerrotations变为y"轴。用3×3正交矩阵描述这三个R(α,β,)= R,()R,(β)R,(αEuler转动，结果为：
三、Euler转动 ◼三维空间的最一般转动也可 用三个相继Euler转动表征： 1)将刚体绕z轴转α角。空间 坐标轴与刚体坐标轴在转动 前是重合的，转动后刚体y轴 变为y’轴； 2)使刚体绕y’轴转β角，刚体 z轴变为z’轴； 3)使刚体绕z’轴转γ角，y’轴 变为y’’轴。 用3×3正交矩阵描述这三个 Euler转动，结果为：