[)与[0)的关系（续）由于[a,at]=1，对由a及a+组成的函数，求与该函数的对易0等价，a与-%等关系时，a与等价，有Qataeαat-αa [0 >= αeαa'-αa [0>故eαa*-αa0>是a的本征值为α的本征态h2hI ateiot + a(0)e-iot< α / x(t) / α >=cos ot = Lcos otα >=2momo考虑到a并非厄米算符，本征值不一定为实数，可对在复平面作解析延拓，记为入，即I>=eat-a[0>
与 的关系（续） ◼ 由于[a,a+ ]=1，对由a及a +组成的函数，求与该函数的对易 关系时，a与 等价， a + 与 等价，有 ◼ 故 是a的本征值为 α的本征态 ◼ 考虑到a并非厄米算符，本征值不一定为实数，可对在复 平面作解析延拓，记为λ，即 0 + a a − | 0 | 0 a a a a ae e + + − − = − + | 0 a a e 0 2 | ( )| | (0) | cos cos 2 i t i t t a e a e t L t m m + − = + = = = − + | | 0 * a a e
2.6传播子和Feynman路径积分一、波动力学的传播子不含时哈密顿量体系的时间演化，可以用与H对易的观测量的本征展开初态即可求得：H(-t)/α,taa,>(0)I α,to;t>=ea或y(X, t)=(x'lα,to;t) =Zca.(t。)ua.(x")e-iEa.(t-to)/ha'其中，ua (x')=<x'|a'>Ca(to)=<a'lα,t。>=Jd'x'<a'lx'><x'lα,t。>(d'x'ua (x')y(x',to)
2.6 传播子和Feynman路径积分 一、波动力学的传播子 ◼ 不含时哈密顿量体系的时间演化，可以用与H对易的观测 量的本征矢展开初态即可求得： ◼ 或 ◼ 其中， a' 0 iE (t t )/ 0 0 0 0 a' iH(t t ) / | α, t ;t e | α, t | a' a' | α, t e − − − − = = ' 0 iE (t t )/ 0 ' 0 ' a' ψ(x', t) ' , ; (t ) ( ')e a a a x t t c u x − − = = ua' (x') = x'| a' 3 ' 0 0 0 3 * ' 0 (t ) ' | , t ' ' | ' ' | , t ' ( ') ( ',t ) a a c a d x a x x d x u x x = = =
将上述表达式改写成：<x"|α,to;t >=Z<x"[a'><a'lα,t >e-i.(-0)/a=Jd'xZ<x"[a'a'| x"><xlα,t >e-F.(-0)/ha'=Jd'xZ<x"[a'>a'|x">y(x,to)e-E.(-0)/ha'即(x",t)=[d'x'K(x",t;x',to)w(x',t。)K(x",t,x',to)=Z<x"|a'><a'|x>e-iEa(t-t0)/h这里称为传播子。传播子与初态无关，但依赖于势。一旦能量的本征函数和本征值已知，则传播子可构造出。可见：1)波函数的时间演化由K确定(波动力学是纯粹的因果理论：2）波函数的时间变化与经典力学物理量一样完全确定。3不同处：当测量介入时，波函数将转化为所测观测量的本征函数之一。该转化或“投影”呈概率性，但统计几率确定
◼ 将上述表达式改写成： ◼ 即 ◼ 这里 ◼ 称为传播子。传播子与初态无关，但依赖于势。一旦能量 的本征函数和本征值已知，则传播子可构造出。 ◼ 可见：1) 波函数的时间演化由K确定(波动力学是纯粹的因果理 论); 2) 波函数的时间变化与经典力学物理量一样完全确定。3) 不同处：当测量介入时，波函数将转化为所测观测量的本征函 数之一。该转化或“投影”呈概率性，但统计几率确定。 ' 0 ' 0 ' 0 ( )/ 0 0 ' 3 ( )/ 0 ' 3 ( )/ 0 ' "| , ; "| ' ' | , ' "| ' ' | ' ' | , ' "| ' ' | ' ( ', ) a a a iE t t a iE t t a iE t t a x t t x a a t e d x x a a x x t e d x x a a x x t e − − − − − − = = = (x" , t) d x'K(x" , t; x' , t ) (x' , t ) 0 0 3 = ' 0 ( )/ 0 ' ( ", ; ', ) "| ' '| ' a iE t t a K x t x t x a a x e− − =
二、传播子的基本性质K(x",t;x,t)=Z<x"|a'×a'|x">e-iE(-0)/h1.传播子 K(x",t;x",t)满足含时薛定谔波动方程（x",t>to为变h: ih% k(x",t,x',to)=[-量，to,x不变）：V"2+V(x")]K(x",t,x',to)at2m2. limK(x",t;x,to)=S'(x'-x")（即<x"[x'>)t-→to这两性质说明传播子可看作是to时处于x’的粒子在时刻的波函数( K(x",t;x,t。)=<x"le-iH(-to)/h[x">初态有空间分布时，则将初态波函数乘以传播子并对空间积分，与静电学求电势相似（但K有“相位”）d(x) = / d3x _P(x)[x-x3.传播子是含时波动方程的格林函数 2 +V(x"))-iaK"(x",t;x',to) = -in83(x'-x")8(t -to)2mat和边界条件 K(x",t;x',t）=O（对t<to）
二、传播子的基本性质 ◼ 1. 传播子 满足含时薛定谔波动方程（ ,t>t0为变 量， 不变）： ◼ 2. （即 ） ◼ 这两性质说明传播子可看作是t0 时处于 的粒子在t时刻的波 函数（ ） ◼ 初态有空间分布时，则将初态波函数乘以传播子并对空间积分， 与静电学求电势相似（但K有“相位”）： ◼ 3. 传播子是含时波动方程的格林函数： ◼ 和边界条件 （对t<t0）. 0 K x t x t ( ", ; ', ) x" t , x' 0 x x "| ' 0 3 0 t lim ( ", ; ', t ) ( ' ") t K x t x x x → = − = − − K(x" , t; x' ,t ) x"| e | x' i H(t t ) / 0 0 x ' | x x'| (x') (x) d x' 3 − = 2 2 0 0 ( ", ; ', t ) [ '' ( '')] ( ", ; ', t ) 2 i K x t x V x K x t x t m = − + ' 0 ( )/ 0 ' ( ", ; ', ) "| ' '| ' a iE t t a K x t x t x a a x e− − = K"(x" ,t;x' ,t ) i (x' x") (t t ) t " V(x") i 2m 0 3 0 2 2 = − − − − + − K(x" ,t;x' ,t 0 ) = 0
K(x",t,x,to)=Z<x"|a'>a'|x>e-.(-0)/h三、传播子的例子a传播子的具体形式依赖于粒子所受的势。1.一维自由粒子。P与H对易，共同本征态[p'>, plp'>= p'lp'>, H|p")Ip'2m1ip'x'/h<x'lp's由 /2元h可得1ip'2(t - to)ip'(x"-x)K(x",t.h2mh2元him(x"- x')mexp2h(t -to)V2元ih(t-to)
三、传播子的 例子 ◼ 传播子的具体形式依赖于粒子所受的势。 ◼ 1. 一维自由粒子。P与H对易，共同本征态 ◼ 由 ◼ 可得 2 ' |p' , p|p' p'|p' , ' ' 2 = = p H p p m i p'x'/ e 2 1 x'| p' = 2 0 0 2 0 0 1 '( " ') ' ( ) ( ", ; ' ) 'exp 2 2 ( " ') exp 2 ( ) 2 ( ) ip x x ip t t K x t x t dp m m im x x i t t t t − − − = − − = − − ' 0 ( )/ 0 ' ( ", ; ', ) "| ' '| ' a iE t t a K x t x t x a a x e− − =