《高等量子力学》课程教学课件（PPT讲稿）第二章 量子动力学 2.3 简谐振子

三、几率流连续性方程波函数是态矢在坐标本征函数的展开系数，其模平方是几率密度，p(,)=(,t)=[α,fo;t)在附近d的体积内找到该粒子的几率为p(x,t)d'xp+V.j=0由含时方程可推出连续性方程atLn其中j=-[y"V-(Vy)="I.("Vy2m该结果依赖于势能算符的厄米性即实势能。对复势能，结果会变化，可解释粒子的消失，如入射粒子被核吸收。D几率流与动量有关：「d'x(x,t)m

三、几率流连续性方程 ◼ 波函数是态矢在坐标本征函数的展开系数，其模平方是几 率密度， ◼ 在 附近 的体积内找到该粒子的几率为 ◼ 由含时方程可推出连续性方程 其中 ◼ 该结果依赖于势能算符的厄米性即实势能。对复势能，结 果会变化，可解释粒子的消失，如入射粒子被核吸收。 ◼ 几率流与动量有关： ( ) ( ) 2 2 0    x t x t x t t    , , , ; = = x  3 d x ( ) 3  x t d x   , ( ) ( ) 2 m i j I m m          = −  −  =     ( ) 3 , t p d x j x t m =  j 0 t  +  = 

四、波函数的解释连续性方程与无源无漏区的流体力学连续性方程相似，因此曾被认为是物质密度，e是实际电荷密度。√奇特物理图像：1）一原子的电子可看作连续分布的物质，占据核附近的一定空间。测量使得电子处于某一特定点时，这一连续分布的物质突然收缩为点状无空间延伸的粒子。2）电子的“大小”可变，膨胀的电子没被测量到Born提出了被广泛接受的解释，即W为几率密度的统计解释。不过Born的解释也不是没有争议的重新思考：相位、完整性、电子云

四、波函数的解释 ◼ 连续性方程与无源无漏区的流体力学连续性方程相似，因 此 曾被认为是物质密度， 是实际电荷密度。 →奇特物理图像： 1）一原子的电子可看作连续分布的物质，占据核附近的 一定空间。测量使得电子处于某一特定点时，这一连续分 布的物质突然收缩为点状无空间延伸的粒子。 2）电子的“大小”可变，膨胀的电子没被测量到 ◼ Born提出了被广泛接受的解释，即 为几率密度的统计 解释。 ◼ 不过Born的解释也不是没有争议的 ◼ 重新思考：相位、完整性、电子云 2  2 e 2 

is(x,t)五、波函数的相位y(x,t)= Jp(x,t) exphS为实数，p是几率密度。S的含义？由w=pvp+ovs,得：j=psm可见相位S具有重要的信息：波函数相位的空间变化表征了几率流量。相位变化越激烈，则流量越强。流量的方向与该点上等相位面垂直。对平面波VS=p.VSap+ap2+V.(py)=0虽然形式上我们有atatm但将j解释成pv，需要坐标与速度的同时精确测量而不可能（测不准关系）

五、波函数的相位 ◼ S为实数，ρ是几率密度。S的含义？ ◼ 由 得： ◼ 可见相位S具有重要的信息：波函数相位的空间变化表征 了几率流量。相位变化越激烈，则流量越强。流量的方向 与该点上等相位面垂直。对平面波 ◼ 虽然形式上我们有 ◼ 但将 解释成 需要坐标与速度的同时精确测量而不 可能（测不准关系）。 ( ) ( ) ( , ) , , exp iS x t   x t x t   =       , i      S   =  +  S j m  =  = S p. . 0 ( ) S v t m t          +  = +   =       j v

六、经典极限据薛定方程有：Jpas1- [ ( )/ -中17价hatat若h可看成小量，并设hvs<vs等，则上方程中不含hivsP+V+%=0.与分析力学的Hamilton-Jacobi的部分有at方程相同，其中S(x,t)是哈密顿主函数。因此，薛定波力学在h→0极限下给出经典力学，若将S解释成哈密顿主函数，对不含时哈密顿量，主函数S具有可分离的形式，S(x,t)=W(x)-EtW(x)称为哈密顿特征函数。随着时间的变化，等S面的空间演化与波动光学中的常相位面即波前变化相似(几何光学->波动光学，经典力学->波动力学）

六、经典极限 ◼ 据薛定谔方程有： ◼ 若 可看成小量，并设 等，则上方程中不含 的部分有 与分析力学的Hamilton-Jacobi 方程相同，其中 是哈密顿主函数。 ◼ 因此，薛定谔波力学在 极限下给出经典力学。 ◼ 若将S解释成哈密顿主函数，对不含时哈密顿量，主函数 S具有可分离的形式， ◼ 称为哈密顿特征函数。 ◼ 随着时间的变化，等S面的空间演化与波动光学中的常相 位面即波前变化相似(几何光学->波动光学，经典力学->波动力学) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 . 2 i i S S S V m          −  +   −  +  +         i S i t t       = +         2 2    S S 1 2 0, 2 S S V m t   + + =  S x t ( , ) →0 S x t W x Et ( , ) = − ( ) W x( )

七、半经典(WKB)近似：一维定态薛定谔方程的近似解经典Hamilton-Jacobi方程的解是S(x,t)=W(x)-Et =±[*dx' /2m[E-V(x)]Eaasap1ap2=0,由连续性方程对定态atm oxOxat得。dw1故P=constant=±pJ2m[E-V]=constantOdx(x)72E-Vclass与经典中在某处找到粒子的几率反比于速度一致WKB解：iEtconstantdx'/2m|E-V(x(x,t):CXIhE-V

七、半经典(WKB)近似：一维定态薛定谔方程的近似解 ◼ 经典Hamilton-Jacobi方程的解是 ◼ 对定态 由连续性方程 ◼ 得 故 ◼ 与经典中在某处找到粒子的几率反比于速度一致 ◼ WKB解： ( , 2 ' ) = − =  − − ( )    ( )    x S x t W x Et dx m E V x Et 0, t  =  1 0 S t m x x        + =        2   dW m E V constant dx   =  − = ( ) 1 4 1 class constant E V x v  =    −   ( ) ( ) ( ) 1 4 , exp 2 constant i iEt x x t dx m E V x E V x      − −          −     