《高等量子力学》课程教学课件（PPT讲稿）第五章 近似方法 5.3 微扰理论应用举例

5.3微扰理论应用举例（续）

5.3 微扰理论应用举例（续）

一、类氢原子的动能相对论修正(p")2-11AK=p°c? +m*c+-mc?- PH8m2c2m2mca1a2apaaHsing2marsingag00sin?0 ap2maiL1(1 +1)Ze2naaC1.1.22mh?rOr0arar2m217-mZe41能级：E°mc2z2α2 (n=k+l+1)2h'n?2Ze2110)2+2E(0)(nlml[nlm)+(nlm|()[nlm)]22mc

一、类氢原子的动能相对论修正 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 ( ) ( ) [ (sin ) ] ( ) 2 2 sin sin 1 1 ( 1) ( ) ( ) ( ) 2 2       −        = + = + + +          −   −   + −     = − + = − +             p H V r r V r m m r r r r L l l Ze r V r r m r r r r m r r r r r 2 4 0 2 2 2 2 2 1 E =- Z ( 1) 2 2 能级：  − n = = + + mZ e mc n k l n 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 0 ( ) 1 ( ) 2 8 2 K= -mc - −  + = − = + p p Ze p c m c H m m c mc r 2 2 (1) (0) 2 (0) 2 2 1 [( ) 2 ( ) ] 2  = − + + nl n n Ze Ze E E nlm nlm nlm nlm mc r r

一、类氢原子的动能相对论修正（续）Ze-1微扰V,(r)==;V(t)-(Ze? → Ze? -);m(Ze? - 2)?dE,(a)E,(a)=E(1=0)+2h'n?da-nlm)=-2Enim元h=1(I + 1)h1(l'+1)α h1(l+1)对微扰势：V,(r)=722mr222mr?2mr?mZedE,(a)E.(a)(2h2(k+1'+1)da4nEonlm1 +23n)moh242t修正为原能级能量的(Zα/n)^2倍的量级

一、类氢原子的动能相对论修正（续） 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 0 2 4 0 2 2 ( 1) ( 1) '( ' 1) V (r) 2 2 2 ( ) ( ) ( 0) | . 2 ( ' 1) 4 ( ) 1 2 对微扰势：  ，         = + + + = → + = = − = = + + + + → = + n n n n l l l l l l r mr mr r mr mZ e dE E E k l d Z e n nlm nlm E r l 2 2 (1) 0 2 4 4 2 4 3 3 1 3 1 [ )] [ ] 4 2 4 1 1 ( ) 2 2 (- + -   = = − +  + + nl n Z n E mc Z n n l n l 2 2 2 2 2 2 2 0 V (r) ;V(r) - (Ze ); ( ) ( ) ( ) ( 0) | . 2 微扰            = − = → → − − = − = = + + n n Ze Ze r r m Ze dE E E n d 2 0 = −2 n Ze nlm nlm E r 修正为原能级能量的(Zα/n)^2倍的量级

原子的精细结构：自旋轨道作用类似氢的原子如碱金属，外层电子所受势为非纯库仑形式的中心势。不同1的能级分裂，1越大能量越高。自旋轨道作用可定性地理解为：在电场中运动的电子感受到等效磁场V×E=二×VV(r），其对电子磁矩作用导致（李纳-韦谢尔势）B effCceespdv(r)1x1dvHis = -ii . B.(L. S)XFm2c2rdrrdrmcmce上式比实际大一倍，需用相对论性量子力学解释。下面我们取11dVJ?-L-$21 dv1(L.S)Hts2m,c222mc2rdrrdr对Ho=p2/2m+Vc(r)，可选基：[s;mm,>或[Is;jm,>由于HLs与J2、J对易，选[Is;jm>为基：中nlm=Rn/(r)j-1±12.m

二、 原子的精细结构：自旋轨道作用 ◼ 类似氢的原子如碱金属, 外层电子所受势为非纯库仑形式的中心势。 不同l 的能级分裂，l 越大能量越高。 ◼ 自旋轨道作用可定性地理解为：在电场中运动的电子感受到等效磁场 ◼ , 其对电子磁矩作用导致（李纳-韦谢尔势） ◼ 上式比实际大一倍，需用相对论性量子力学解释。 ◼ 下面我们取 ◼ 对H0=p2 /2m+Vc (r) ，可选基：|ls;mms >或|ls;jmj> ◼ 由于HLS与J 2 、Jz对易，选|ls;jmj>为基： ( ) eff c v v B E V r c ce = −  =   2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 ( ) 2 2 2 c c LS e e dV dV J L S H L S m c r dr m c r dr − − =  = ( ) ( ) 1 1 2 2 L S dr dV dr m c r dV r r x mce p mc eS H B c c L S eff        = −  = −   = 

由于Hs在中nlm下已对角化，故一级能量修正为1i=2152OV（朗德间隔定则）2/[-(1+1)]2m2c21dr2dv1ayRLddrdrCHLs对不同j产生的能移差正比于(2I+1)和<dV/rdr>nl对Na,基态为(1s)2(2s)2(2p)(3s),3p与3s能量不简并，而HLs使3p1/2和3p3/2进一步分裂，使其向3s的跃迁产生所谓Na的两条D线，波长为5890和5896A(黄光)由于<dV/rdr>n~e2/ag3,精细结构的分裂量级为：2)(h)=e即约为Balmer分裂(e2/ao)的aomnα2=(1/137)2倍，非常小，与相对论质量修正导致的能移同量级

◼ 由于HLS在Ψnlm下已对角化，故一级能量修正为 ◼ HLS对不同 j 产生的能移差正比于(2l+1)和<dVc /rdr>nl ◼ 对Na,基态为(1s)2 (2s)2 (2p)6 (3s),3p与3s能量不简并，而HLS使3p1/2和3p3/2 进一步分裂，使其向3s的跃迁产生所谓Na的两条D线，波长为5890和 5896A(黄光) ◼ 由于<dVc /rdr>nl ~ e2 /a0 3 , 精细结构的分裂量级为： ◼ 即约为Balmer分裂(e2 /a0 )的 α 2=(1/137)2倍，非常小，与相对论质量修正导致的能移同量级。 2 2 2 2 2 2 3 2 0 0 0 ( )( ) ( ) ( ), = = e e e e e a a m c a c m e （朗德间隔定则）